Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня

• Название: Математика в примерахизадачах Часть 4 под общ ред. Л. И. Майсеня
• Дата: 01.10.2019
• Размер: 1.84 Mb.
• Имя файла: n1.pdf
• Тип: Учебное пособие; #88200
• страница: 30 из 31

Решение. 1) Используем метод исключения. Дифференцируем первое уравнение системы по x:
2 2
2
cos .
d y
dz
z
x
dx
dx
=
+
Подставив в полученное уравнение из второго уравнения системы выражение вместо
,
dz
dx
имеем:
2 2
2
cos
2
d y
y
z
x
z
dx
=
+
или
2 2
cos .
d y
y
x
dx
− =
(22.74)
Последнее уравнение – линейное неоднородное дифференциаль-
234 ное уравнение 2-гопорядка со специальной правой частью. Его соот- ветствующее однородное уравнение:
0.
y
y
′′ − =
Характеристическое уравнение последнего:
2 1
0,
λ
− =
корни которого
1,2 1.
λ
= ±
Тогда общее решение одно- родного уравнения:
0 1
2
x
x
y
C e
C e
−
=
+
Ищем частное решение полученного неоднородного уравнения
(22.74) в виде cos sin ,
ч
y
A
x
B
x
=
+
где A, B – неопределенные коэффициенты.
Вычисляем производные: sin cos ,
ч
y
A
x
B
x
′ = −
+
cos sin .
ч
y
A
x
B
x
′′ = −
−
Подставляем их в уравнение (22.74), группируем относительно sin x и cos x, приравниваем коэффициенты.
Получаем систему
{
2 1,
2 0,
A
B
−
=
−
=
из которой находим
1
,
0.
2
А
В
= −
=
Общее решение дифференциального уравнения 2-гопорядка:
1 2
cos
2
x
x
x
y
C e
C e
−
=
+
−
(22.75)
Возвращаемся к первому уравнению заданной системы, из которо- го выражаем
2
:
z
2
sin .
dy
z
x
dx
=
−
Подставляя в это уравнение продифференцированное общее ре- шение (22.75), получим:
2 2
1
sin
2
x
x
x
z
C e
C e
−
=
−
−
(22.76)
Функции (22.75) и (22.76) составляют общее решение заданной системы.
2) Применим метод исключения. Выразим из первого уравнения системы
2
:
y
1 2
1 2 .
dy
y
y
dx
=
−
Отсюда, дифференцируя по x, получим:
2 2
1 1
2 2
dy
d y
dy
dx
dx
dx
=
−

235
Подставим правую часть полученного равенства вместо
2
dy
dx
во второе уравнение системы:
2 1
1 1
1 1
2 2
4 8
d y
dy
dy
y
y
dx
dx
dx
−
=
−
−
или
1 1
1 6
9 0.
y
y
y
′′
′
−
+
=
Получили однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Его характеристическое уравнение:
2 6
9 0;
λ
λ
−
+ =
решая которое, находим:
3
λ
=
– корень кратности 2.
Тогда
3 3
1 1
2
( )
x
x
y x
C e
C xe
=
+
Продифференцируем функцию
1
:
y
3 3
1 1
2 3
(3 1).
x
x
dy
C e
C e
x
dx
=
+
+
Возвращаясь к первому уравнению системы, имеем:
3 3
3 3
2 1
2 1
2
( )
3
(3 1) 2(
).
x
x
x
x
y x
C e
C e
x
C e
C xe
=
+
+ −
+
Упрощаем:
3 3
3 2
1 2
2
( )
x
x
x
y x
C e
C xe
C e
=
+
+
Таким образом, получаем общее решение заданной системы:
3 1
1 2
3 2
1 2
2
( )
(
),
( )
(
).
x
x
y x
e
C
C x
y x
e
C
C x C

=
+

=
+
+

3) Используем метод исключения. Дифференцируем первое урав- нение системы:
2 3
1 2
2
dy
d y
dy
dx
dx
dx
=
−
Подставив в него выражения для
3
dy
dx
и
2
dy
dx
из 2-го и 3-го урав- нений системы, получим линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка:
2 1
1 2
0.
d y
y
dx
+
=
Его характеристическое урав- нение имеет вид:
2 1
0,
λ
+ =
корни которого
1,2
i
λ
= ±
– простые ком- плексно-сопряженные. Тогда общим решением однородного диффе- ренциального уравнения будет:
1 1
2
( )
cos sin .
y x
C
x C
x
=
+
Из третьего уравнения системы получаем:
3 3
1
dy
y
y
dx
−
= −
236
Подставим в него найденное выражение для
1
,
y получим линей- ное неоднородное дифференциальное уравнение 1-го порядка:
3 3
1 2
cos sin .
dy
y
C
x C
x
dx
−
= −
−
(22.77)
Решим его методом Эйлера. Характеристическое уравнение соот- ветствующего однородного
1 0,
λ
− =
корень которого
1.
λ
=
Тогда общее решение соответствующего однородного:
0 3
3
x
y
C e
=
Частное решение неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде
3
cos sin ,
ч
y
A
x
B
x
=
+
где A, B – неопределенные коэффициенты.
Вычисляем
3
sin cos
ч
y
A
x
B
x
′ = −
+
и подставляем в неоднородное уравнение (22.77).
Для определения A и B приходим к системе
{
1 2
,
,
B
A
C
B
A
C
− = −
− − = −
из которой находим
1 2
2 1
,
2 2
Ñ
Ñ
Ñ
Ñ
À
Â
+
−
=
=
Тогда получаем:
( )
1 2
2 1
3 3
cos sin .
2 2
x
C
C
C
C
y
x
C e
x
x
+
−
=
+
+
Из первого уравнения заданной системы выразим
2
:
y
1 2
3
dy
y
y
dx
=
−
Подставим в это равенство найденные
3
y и
1
,
dy
dx
получим:
( )
1 2
1 2
2 3
cos sin .
2 2
x
C
C
C
C
y
x
C e
x
x
−
+
=
+
+
Таким образом, получено решение заданной системы дифферен- циальных уравнений:
( )
( )
( )
1 1
2 1
2 1
2 2
3 1
2 2
1 3
3
cos sin ,
cos sin ,
2 2
cos sin .
2 2
x
x
y x
C
x C
x
C
C
C
C
y
x
C e
x
x
C
C
C
C
y
x
C e
x
x
=
+


−
+

=
+
+


+
−
=
+
+


237
Пример 2. Методом интегрируемых комбинаций решить систему
1,
1.
dx
y
dt
dy
x
dt

= −



= −

Решение. Воспользуемся методом интегрируемых комбинаций.
Сложив оба уравнения системы, получим:
2
dx
dy
x
y
dt
dt
+
= + −
или
(
)
2.
x
y
x
y
′
+
= + −
Обозначим
,
x
y
z
+ =
где
( ),
z
z t
=
получим:
2
z
z
′ = −
– уравнение с разделяющимися переменными. Запишем его в виде
2
dz
z
dt
= −
или
2
dz
dt
z
=
−
Отсюда находим
1 2.
t
z
C e
=
+
Возвращаемся к старым переменным:
1 2.
t
x
y
C e
+ =
+
Выразим теперь y через x:
1 2
t
y
C e
x
=
+ −
Продифференцируем это равенство и подставим вместо
dy
dt
во 2-е уравнение системы:
1
t
y
C e
x
′
′
=
−
После подстановки:
1 1
t
C e
x
x
′
− = −
или
1 1
t
x
x
C e
′ + =
+
– это линейное уравнение 1-го порядка. Решим его методом Бернулли.
Пусть
,
x
uv
=
тогда
1 1.
t
u v uv
uv
C e
′
′
+
+
=
+
Отсюда
,
t
v
e
−
=
2 1
2
,
2
t
t
C
u
e
e
C
=
+ +
тогда
( )
( )
1 2
1 2
1,
2 1.
2
t
t
t
t
C
x t
e
C e
C
y t
e
C e
−
−

=
+
+



=
−
+

Это и есть общее решение исходной системы.
238
22.9. Системы линейных однородных
дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами
Система дифференциальных уравнений вида
1 11 1 12 2
1 2
21 1 22 2
2 1 1 2
2
,
,
....................................... ,
,
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
dy
a y
a y
a y
dx
dy
a y
a y
a y
dx
dy
a y
a y
a y
dx

=
+
+ +



=
+
+ +



=
+
+ +


(22.78) где
11
,...,
nn
a
a – числа, называется системой линейных од-
нородных дифференциальных уравнений с постоянными ко-
эффициентами. Решение системы (22.78) ищут в виде
1 1
2 2
,
, ...,
,
x
x
x
n
n
y
e
y
e
y
e
λ
λ
λ
γ
γ
γ
=
=
=
(22.79) где
1 2
,
, ...,
,
n
γ γ
γ λ – постоянные, которые подбираются по системе (22.78). Подставляя эти функции в систему (22.78), по- лучаем систему n алгебраических уравнений с n неизвестными
11 1
12 2 1
21 1 22 2
2 1 1 2 2
(
)
0,
(
)
0,
... (
)
0.
n n
n n
n
n
nn
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
λ γ
γ
γ
γ
λ γ
γ
γ
γ
λ γ
−
+
+ +
=


+
−
+ +
=


+
+ +
−
=

(22.80)
Чтобы система (22.80) имела ненулевое решение, необходи- мо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:
11 12 1
21 22 2
1 2
0.
n
n
n
n
nn
a
a
a
a
a
a
a
a
a
λ
λ
λ
−
−
=
−
(22.81)
Уравнение (22.81) называется характеристическим урав-
нением системы (22.78). Оно имеет n корней, вид которых опре- деляет решение системы (22.78).
Правило нахождения общего решения системы
линейных однородных уравнений
1. Любому простому действительному корню
1
λ характери- стического уравнения (22.81) соответствует решение

239 1
1 1
11 11 21 21 1
1
,
, ...,
,
x
x
x
n
n
y
e
y
e
y
e
λ
λ
λ
γ
γ
γ
=
=
=
где коэффициенты
n
γ
γ
γ
,
,
,
2 1
K
определяют из системы
(22.80) при найденном
1
,
λ т. е.
11 1
1 12 2 1
21 1 22 1
2 2
1 1 2 2 1
(
)
0,
(
)
0,
... (
)
0.
n
n
n n
n
n
nn
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
λ γ
γ
γ
γ
λ γ
γ
γ
γ
λ γ
−
+
+ +
=


+
−
+ +
=


+
+ +
−
=

(22.82)
Тогда общее решение системы (22.78) записывают в виде
1 1 11 2 12 1
,
n
n
y
C y
C y
C y
=
+
+ +
2 1 21 2
22 2 ,
n
n
y
C y
C y
C y
=
+
+ +
................................................,
1 1
2 2
,
n
n
n
n
nn
y
C y
C y
C y
=
+
+ +
K
где
1 2
,
,...,
n
C C
C – произвольные постоянные.
2. Каждому комплексному корню
1
a
bi
λ
= +
и ему сопря- женному
2
a
bi
λ
= −
соответствуют два линейно-независимых действительных решения. Для построения этих решений нахо- дим комплексное решение по формуле (22.79) для корня
1
,
λ как и в случае 1, и выделяем действительную и мнимую части этого решения (корень
2
λ уже не рассматриваем, так как новых реше- ний системы (22.78) он не дает).
3. Если
0
λ λ
=
– корень кратности k, то решение, соответст- вующее этому корню, ищут в виде
( )
( )
( )
0 0
0 1
2 1
1 2
1 1
( )
,
( )
, ...,
( )
,
n
x
x
x
k
k
n
k
y
P
x e
y
P
x e
y
P
x e
λ
λ
λ
−
−
−
=
=
=
(22.83) где
( )
1
( )
i
k
P
x
−
– многочлен с неопределенными коэффициента- ми степени
1,
1, .
k
i
n
−
=
Чтобы найти коэффициенты многочленов
( )
1
( ),
i
k
P
x
−
1, ,
i
n
=
подставляем решение (22.83) в систему (22.78) и приравниваем коэффициенты подобных членов в левой и правой частях уравне- ний. Выразив все коэффициенты через любые k, полагаем по оче- реди один из них равным единице, а остальные равными нулю.
Пример 1. Решить систему однородных дифференциальных урав- нений с постоянными коэффициентами:
240 1)
1 1
2 2
1 2
8
,
;
dy
y
y
dx
dy
y
y
dx

= +



=
−

2)
3
,
5
dx
x
y
dt
dy
y
x
dt

=
+



=
−

Решение. 1) Характеристическое уравнение системы имеет вид:
1 8
0.
1 1
λ
λ
−
=
− −
Вычисляя определитель, получаем
2 9,
λ
=
откуда
1 3,
λ
= −
2 3
λ
=
– простые действительные корни. Частные решения системы ищем в виде
1 1
( )
,
x
y x
e
λ
γ
=
2 2
( )
x
y x
e
λ
γ
=
При
1 3
λ
= −
система (22.82) имеет вид:
{
1 2
1 2
4 8
0,
2 0.
γ
γ
γ
γ
+
=
+
=
Эта система имеет бесконечное множество решений. Для опреде- ленности положим
1 2,
γ
= −
тогда
2 1.
γ
=
Получаем частные решения:
3 11
( )
2
,
x
y
x
e
−
= −
3 21
( )
x
y
x
e
−
=
При
2 3
λ
=
система (22.82) принимает вид:
{
1 2
1 2
2 8
0,
4 0.
γ
γ
γ
γ
−
+
=
−
=
Положим
1 4,
γ
=
тогда
2 1.
γ
=
Значит, корню
2 3
λ
=
соответствуют частные решения:
3 12
( )
4
,
x
y
x
e
=
3 22
( )
x
y
x
e
=
Общее решение исходной системы запишется в виде
3 3
1 1
2 3
3 2
1 2
( )
2 4
,
( )
x
x
x
x
y x
C e
C e
y x
C e
C e
−
−

= −
+

=
+

2) Характеристическое уравнение системы
3 1
0,
1 5
γ
λ
−
=
−
−
которое приобретает вид (3
)(5
) 1 0
λ
λ
−
− + =
или
2 8
16 0.
λ
λ
−
+
=
Уравнение имеет двукратный корень
4.
λ
=
Ему соответствует реше- ние вида
4
( )
(
)
,
t
x t
At
B e
=
+
4
( )
(
)
t
y t
Ct
D e
=
+
Продифференцируем функции x(t) и y(t) и подставим в исходную систему:

241 4
4 4
4
(
4 4 )
(3 3
),
(
4 4 )
(
5 5 ).
t
t
t
t
e
A
At
B
e
At
B Ct
D
e
C
Ct
D
e
At
B
Ct
D

+
+
=
+
+
+

+
+
=
− − +
+

Сокращаем на
4 0
t
e
≠
и группируем. Получаем систему для коэф- фициентов
0,
0,
0.
A C
A B
D
B C
D
− =

+ − =

+ − =

Так как кратность корня
4
λ
=
равна двум (k = 2), то выразим все коэффициенты последней системы через любые два, например, через
A и B:
{
,
C
A
D
A
B
=
= +
Полагая
1,
A
=
0,
B
=
находим
1,
C
=
1.
D
=
Полагая
0,
A
=
1,
B
=
находим
0,
C
=
1.
D
=
Получаем два линейно-независимых частных решения:
4 1
4 1
( )
,
( )
(
1)
t
t
x t
te
y t
t
e

=

= +

и
4 2
4 2
( )
,
( )
t
t
x t
e
y t
e

=

=

Общее решение исходной системы имеет вид:
4 4
1 2
4 4
1 2
( )
,
( )
(
1)
t
t
t
t
x t
C te
C e
y t
C t
e
C e

=
+

=
+
+
