Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики

• Название: Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
• Анкор: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Дата: 08.12.2017
• Размер: 9.74 Mb.
• Имя файла: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Тип: Документы; #10792
• страница: 10 из 41

§ 7.3. Движение тел в вязкой жидкости. Закон Стокса

Вязкость проявляется при движении не только жидкости по трубам, но и тел в жидкости. При небольших скоростях сила со­противления движущемуся телу в соответствии с уравнением Ньютона пропорциональна вязкости жидкости, скорости движе­ния тела и зависит от размеров тела. Так как невозможно указать общую формулу для силы сопротивления, то ограничимся рас­смотрением частного случая.

Н
аиболее простой формой тела является сфера. Для сфериче­ского тела (шарика) зависимость силы сопротивления при его движении в сосуде с жидкостью от перечисленных выше факто­ров выражается законом Стокса:

где r — радиус шарика, v — скорость движения. Этот закон полу­чен в предположении, что стенки сосуда не влияют на движение тела.

При падении шарика в вязкой среде (рис. 7.6) на него действу­ют три силы: а) сила тяжести mg = ⁴/₃ ρπr²g; б) выталкивающая (архимедова) сила F_A = m_жg = ⁴/₃ p_жρr³g, где m_ж — масса вытес­ненной шаром жидкости, ρ_ж — ее плотность; в) F_Tp — сила сопро­тивления, вычисляемая по формуле (7.13).

П
ри попадании шарика в вязкую жидкость его скорость умень­шается. Так как сила сопротивления прямо пропорциональна скорости, то и она будет уменьшаться до тех пор, пока движение не станет равномерным. В этом случае (рис. 7.6)
и
ли в скалярной форме при подстановке соответст­вующих выражений для сил

 

г
де v₀ — скорость равномерного движения (паде­ния) шарика. Из (7.14) получаем

 

Формула (7.15) справедлива для движения шари­ка не только в жидкости, но и в газе. Она может быть использована, в частности, для вычисления времени выпадения пы­ли в воздухе. Поясним это следующим примером. Для воздуха — среды, в которой взвешены различные частицы пыли, — вязкость η = 0,000175 П. Около 80% пыли, обнаруженной в легких умерших людей, составляют частицы размером от 5 до 0,2 мкм. Если считать пылинки шарообразными, а плотность пыли равной плотности зем­ли (р = 2,5 г/см³), то, вычисляя скорость падения этих пылинок по формуле (7.15), найдем, что ее значения находятся в пределах 0,2— 0,0003 см/с. Для полного выпадения такой пыли в комнате высотой 3 м потребуется около 12 суток при условии полной неподвижности воздуха и отсутствия броуновского движения.

§ 7.4. Методы определения вязкости жидкости. Клинический метод определения вязкости крови

 

Совокупность методов измерения вязкости называют вискози­метрией, а приборы, используемые для таких целей, — вискозиметрами. Рассмотрим наиболее распространенные методы вискозиметрии. Капиллярный метод основан на формуле Пуазейля и заключается в измерении времени протекания через капилляр жидкости известной массы под действием силы тяжести при определенном' перепаде давлений. Капиллярные вискозиметры различной формы показаны на рис. 7.7, а, б (1 — измерительные резервуары, М₁ и М₂ — метки, обозначающие границы этих резервуаров, 2 — капилляры, 3 — приемные сосуды).

Капиллярный вискозиметр применяется для определения вяз­кости.
 

 

 

 

 

 

 

 

Капиллярными вискозиметрами измеряют вязкость от значений 10^-5 Па • с, свойственных газам, до значений 10⁴ Па • с, ха­рактерных для консистентных смазок.

Метод падающего шарика используется в вискозиметрах, осно­ванных на законе Стокса. Из формулы (7.15) находим

Таким образом, зная величины, входящие в правую часть этой формулы, и измеряя скорость равномерного падения шарика, можно найти вязкость данной жидкости.

Предел измерений вискозиметров с движущимся шариком со­ставляет 6 • 10⁴- 250 Па•с.

Применяются также ротационные вискозиметры, в которых жидкость находится в зазоре между двумя соосными телами, на­пример цилиндрами. Один из цилиндров (ротор) вращается, а другой неподвижен. Вязкость измеряется по угловой скорости ро­тора, создающего определенный момент силы на неподвижном цилиндре, или по моменту силы, действующему на неподвижный цилиндр, при заданной угловой скорости вращения ротора.

С помощью ротационных вискозиметров определяют вязкость жидкостей в интервале 1—10⁵ Па • с, т. е. смазочных масел, рас­плавленных силикатов и металлов, высоковязких лаков и клеев, глинистых растворов и т. п.

В ротационных вискозиметрах можно менять градиент скорости, задавая разные угловые скорости вращения ротора. Это позволяет измерять вязкость при разных градиентах и установить зависимость η = f(dv/dx), которая характерна для неньютоновских жидкостей.

В
настоящее время в клинике для определения вязкости крови используют вискозиметр Гесса с двумя капиллярами. Схема его устройства дана на рис. 7.7, в. Два одинаковых капилляра a₁b₁ и a₂b₂ соединены с двумя трубочками 1 и 2. Посредством резиновой груши или втягивая воздух ртом через наконечник 3, поочередно благодаря тройнику с краном 4, заполняют капилляр a_lb₁ и трубоч­ку 1 до отметки 0 дистиллированной водой, а капилляр a₂b₂ и тру­бочку 2 до отметки 0 — исследуемой кровью. После этого теми же способами одновременно перемещают обе жидкости до тех пор, по­ка кровь не достигнет цифры 1, а вода — другой отметки в своей трубке. Так как условия протекания воды и крови одинаковы, то объемы наполнения трубок 1 и 2 будут различными вследствие то­го, что вязкости этих жидкостей неодинаковы. Хотя кровь и явля­ется неньютоновской жидкостью, используем с некоторым прибли­жением формулу Пуазейля (7.8) и запишем очевидную пропорцию:

 

У
читывая, что общий объем V жидкости при равномерном ее течении связан с Q формулой V = Qt, где t — время истечения жидкости, вместо (7.16) получаем

 

где V_K — объем крови в трубке 2 от отметки 0 до отметки 1; V_B — объем воды в трубке от отметки 0 до отметки, полученной при измерении; η_к и η_в — соответственно вязкость крови и воды. Отношение вязкости крови к вязкости воды при той же температуре называют относительной вязкостью крови.

В вискозиметре Гесса объем крови всегда одинаков, а объем во­ды отсчитывают по делениям на трубке 1, поэтому непосредствен­но получают значение относительной вязкости крови. Для удобст­ва втсчета сечения трубок 1 и 2 делают различными так, что, не­смотря на разные объемы крови и воды, их уровни в трубках будут примерно одинаковы.

Вязкость крови человека в норме 4—5 мПа • с при патологии колеблется от 1,7 до 22,9 мПа * с, что сказывается на скорости оседания эритроцитов (СОЭ). Венозная кровь обладает несколько большей вязкостью, чем артериальная. При тяжелой физической работе увеличивается вязкость крови. Некоторые инфекционные заболевания увеличивают вязкость крови, другие же, например брюшной тиф и туберкулез, — уменьшают.

§ 7.5. Турбулентное течение. Число Рейнольдса

Рассмотренное ранее течение жидкости является слоистым, или ламинарным. Увеличение скорости течения вязкой жидкос­ти вследствие неоднородности давления по поперечному сечению трубы создает завихрения, и движение становится вихревым, или турбулентным. При турбулентном течении скорость частиц в каждом месте непрерывно и хаотически изменяется, движение является нестационарным.

Х
арактер течения жидкости по трубе зависит от свойств жидкости, скорости ее течения, размеров трубы и определяется числом Рейнольдса:

 

 

где р_ж — плотность жидкости, D — диаметр трубы, v — средняя по сечению трубы скорость течения.

Если число Рейнольдса больше некоторого критического (Re > \ > Re_Kp), то движение жидкости турбулентное. Например, для гладких цилиндрических труб Re_Kp ≈ 2300.

Т
ак как число Рейнольдса зависит от вязкости и плотности жидкости, то удобно ввести их отношение, называемое кинематической вязкостью:

 

И
спользуя это понятие, число Рейнольдса можно выразить в виде

 

 

Единицей кинематической вязкости является квадратный метр в секунду (м²/с), в системе СГС — стоке (Ст); соотношение между ними: 1 Ст = 10^-4 м²/с.

Кинематическая вязкость полнее, чем динамическая, учиты­вает влияние внутреннего трения на характер течения жидкости или газа. Так, вязкость воды приблизительно в 100 раз больше, чем воздуха (при 0 °С), но кинематическая вязкость воды в 10 раз меньше, чем воздуха, и поэтому вязкость сильнее влияет на ха­рактер течения воздуха, чем воды.

Как видно из (7.17), характер течения жидкости или газа суще­ственно зависит от размеров трубы. В широких трубах даже при сравнительно небольших скоростях может возникнуть турбулент­ное движение. Так, например, в трубке диаметром 2 мм течение во­ды становится турбулентным при скорости более 127 см/с, а в трубе диаметром 2 см — уже при скорости примерно 12 см/с (температура 16 °С). Течение крови по такой трубе стало бы турбулентным при скорости 50 см/с, но практически в кровеносных сосудах диаметром 2 см возникает вблизи клапанов сердца. При патологии, когда вязкость бывает меньше нормы, число Рей­нольдса может превышать критическое значение и движение ста­нет турбулентным.

Турбулентное течение связано с дополнительной затратой энергии при движении жидкости, что в случае крови приводит к добавочной работе сердца. Шум, возникающий при турбулентном течении крови, может быть использован для диагностирования заболеваний. Этот шум прослушивают на плечевой артерии при измерении давления крови.

Течение воздуха в носовой полости в норме ламинарное. Одна­ко при воспалении или каких-либо других отклонениях от нормы оно может стать турбулентным, что повлечет дополнительную ра­боту дыхательных мышц.

Число Рейнольдса является критерием подобия. При модели­ровании гидро- и аэродинамических систем, в частности крове­носной системы, модель должна иметь такое же число Рейнольд­са, как и натура, в противном случае не будет соответствия между ними. Это относится также и к моделированию обтекания тел при слежении их в жидкости или газе. Из (7.17) видно, что уменьше­ние размеров модели по сравнению с натурой должно быть ском­пенсировано увеличением скорости течения или уменьшением кинематической вязкости модельной жидкости или газа.

§ 7.6. Особенности молекулярного строения жидкостей

Обычные жидкости изотропны, структурно они являются аморфными телами. Для внутреннего строения жидкостей характерен ближний порядок в расположении молекул (упорядоченное расположение ближайших частиц). Расстояния между молекулами невелики, силы взаимодействия значительны, что приводит к 1 малой сжимаемости жидкостей: небольшое уменьшение расстоя­ния между молекулами вызывает появление больших сил межмолекулярного отталкивания.

Подобно твердым телам, жидкости мало сжимаемы и обладают большой плотностью, подобно газам, принимают форму сосуда, в котором находятся. Такой характер свойств жидкостей связан с особенностями теплового движения их молекул. В газах молекулы движутся беспорядочно, на малых отрезках пути — поступательно, в расположении частиц отсутствует какой-либо порядок. В кристаллических телах частицы колеблются около определенных положений равновесия — узлов кристаллической решетки. По теории Я. И. Френкеля молекулы жидкости, подобно частицам твердого тела, колеблются около положений равновесия, однако эти положения равновесия не являются постоянными. По истечении некоторого времени, называемого временем «оседлой жизни», молекула скачком переходит в новое положение равновесия на расстояние, равное среднему расстоянию между соседними молекулами.

Вычислим среднее расстояние между молекулами жидкости. Можно мысленно представить весь объем жидкости разделенным на небольшие одинаковые кубики с ребром 8. Пусть в среднем в каждом кубике находится одна молекула. В этом случае 5 можно рассматривать как среднее расстояние между молекулами жидкости. Объем жидкости равен V = δ³N, где N — общее количество молекул жидкости. Если n — концентрация молекул (количество молекул в 1 м³), то N = nV. Из этих уравнений получаем

 


Порядок величины 5 составляет 10 ^-10 м, например, для воды δ= 3 • 10^-10 м.

Среднее время «оседлой жизни» молекулы называют време­нем, релаксации τ. С повышением температуры и понижением дав­ления время релаксации сильно уменьшается, что обусловливает большую подвижность молекул жидкости и меньшую ее вязкость.

Д
ля того чтобы молекула жидкости перескочила из одного по­ложения равновесия в другое, должны нарушиться связи с окру­жавшими ее молекулами и образоваться связи с новыми соседя­ми. Процесс разрыва связей требует затраты энергии Е_а (энергии активации), выделяемой при образовании новых связей. Такой переход молекулы из одного положения равновесия в другое яв­ляется переходом через потенциальный барьер высотой Е_а. Энергию для преодоления потенциального барьера молекула по­лучает за счет энергии теплового движения соседних молекул. За­висимость времени релаксации от температуры жидкости и энер­гии активации выражается формулой, вытекающей из распреде­ления Больцмана (см. § 2.4).

 

Где τ₀ — средний период колебаний молекулы около положения равновесия.

З
ная среднее перемещение молекулы, равное расстоянию меж­ду молекулами δ, и среднее время τ, можно определить среднюю скорость движения молекул в жидкости:

Эта скорость мала по сравнению со средней скоростью движе­ния молекул в газе. Так, например, для молекул воды она в 20 раз меньше, чем для молекул пара при той же температуре.

§ 7.7. Поверхностное натяжение

На поверхностях раздела жидкости и ее насыщенного пара, двух несмешиваемых жидкостей, жидкости и твердого тела воз­никают силы, обусловленные различным межмолекулярным вза­имодействием граничащих сред.

Каждая молекула, расположенная внутри объема жидкости, равномерно окружена соседними молекулами и взаимодействует с ними, но равнодействующая этих сил равна нулю. На молекулу, находящуюся вблизи границы двух сред, вследствие неоднород­ности окружения действует сила, не скомпенсированная другими молекулами жидкости. Поэтому для переме­щения молекул из объема в поверхностный слой необходимо совершить работу.

Поверхностное натяжение (коэффициент поверхностного натяжения) определяется от­ношением работы, затраченной на создание некоторой поверхности жидкости при посто­янной температуре, к площади этой поверхности:

Условием устойчивого равновесия жидкостей является мини­мум энергии поверхностного слоя, поэтому при отсутствии внеш­них сил или в состоянии невесомости жидкость стремится иметь Минимальную площадь поверхности при данном объеме и прини­мает форму шара.

Поверхностное натяжение может быть определено не только энергетически. Стремление поверхностного слоя жидкости сокра­титься означает наличие в этом слое касательных сил — сил по­верхностного натяжения. Если выбрать на поверхности жид­кости некоторый отрезок длиной l (рис. 7.8), то можно условно изобразить эти силы стрелками, перпендикулярными отрезку.

Поверхностное натяжение равно отношению силы поверхност­ного натяжения к длине отр
езка, на котором действует эта сила:

Из школьного курса физики известно, что оба определения, (7.21) и (7.22), тождественны. Приведем значения поверхностно­го натяжения для некоторых жидкостей при температуре 20 °С ((табл. 15).

Таблица 15

Жидкость	σ, Н/м	Жидкость	σ, Н/м
Вода Желчь Молоко Моча	0,0725 0,048 0,05 0,66	Ртуть Спирт Сыворотка крови Эфир	0,47 0,022 0,06   0,017

Поверхностное натяжение зависит от температуры. Вдали от критической температуры значение его убывает линейно при уве­личении температуры. Снижения поверхностного натяжения Можно достигнуть введением в жидкость поверхностно-активных веществ, уменьшающих энергию поверхностного слоя.

 

§ 7.8. Смачивание и несмачивание. Капиллярные явления

На границе соприкосновения различных сред может наблю­даться смачивание или несмачивание.

На рисунках показана капля жидкости на поверхности другой, не смешивающейся с ней жидкости (рис. 7.9) и на поверхности твердого тела (рис. 7.10 и 7.11). На поверхностях раздела каждых двух сред (1 и 3, 2 и 1, 3 и 2) действуют силы поверхностного на­тяжения (показаны стрелками). Если эти силы разделить на дли­ну окружности капли (границы трех сред), то получим соответ­ственно σ₁₃, σ₂₁, σ₃₂.

Угол θ между смачиваемой поверхностью и касательной к по­верхности жидкости, отсчитываемый через нее, называют крае­вым.

За меру смачивания принимают величину

 


 



Е
сли σ₃₂ < σ₁₃ (см. рис. 7.10), то θ < πr/2, и жидкость смачивает твердое тело, поверхность которого в этом случае называется гид­рофильной. В случае σ₃₂ < σ₁₃ (см. рис. 7.11) θ > π/2, жидкость не смачивает тело, поверхность его в этом случае называют гид­рофобной. Несмачивающая жидкость не протекает через малые отверстия в твердом теле. При |σ₃₂ — σ₁₃ |> σ₂₁ краевой угол определить нельзя, так как cos θ не может быть больше единицы. В этом случае капля растекается по поверхности твердого тела до тех пор, пока не покроет всей его поверхности или пока не образу­ется мономолекулярный слой. Такой случай является идеальным смачиванием. К нему с некоторым приближением можно отнести растекание спирта или воды по чистой поверхности стек­ла, нефти по воде и пр.

Под действием сил поверхностного натяжения поверхностный слой жидкости искривен

 

 

 

 

 

 

и
оказывает дополнительное по отно­шению к внешнему давление ∆р. Поверхностный слой подобен уп­ругой оболочке, например резиновой пленке. Результирующая cил поверхностного натяжения искривленной поверхности на­правлена в сторону вогнутости (к центру кривизны). В случае сфе­рической поверхности, радиус кривизны которой r, дополнительное давление

Искривление поверхности (мениск), в частности, возникает в узких (капиллярных) трубках в результате смачивания или несмачивания жидкостью их поверхности. При смачивании образу­ется вогнутый мениск (рис. 7.12). Силы давления направлены от жидкости наружу, т. е. вверх, и обусловливают подъем жидкости в капилляре. Это равновесное состояние, показанное на рисунке, наступает тогда, когда давление pgh уравновесит ∆р.

Из рис. 7.12 видно, что r =R/cos θ , где R — радиус капилляра.

 

Поэтому [(см. (7.24)] получаем

 


тогда

 


откуда высота поднятия жидкости в капилляре

Т
. е. зависит от свойств жидкости и материала капилляра, а также от его радиуса.

В случае несмачивания cos θ < 0 и формула (7.26) покажет высоту опус­кания жидкости в капилляре.

Капиллярные явления определя­ют условия конденсации паров, кипения жидкостей, кристаллизации и т. п. Так, например, на молекулупара (рис. 7.13; точка А) над вогнутым ме­ниском жидкости действует больше моле­кул жидкости и, следовательно, большая сила, чем при выпуклом мениске (показа­ны стрелками). Это видно из рис. 7.13, на котором штриховыми линиями условно по­казаны сферы молекулярного действия, а заштрихованные участки — объемы жид­кости, молекулы которых притягивают вы­деленную молекулу пара. В результате это­го возникает капиллярная конденсация в смачиваемых тонких трубках даже при сравнительно малой влажности воздуха. Благодаря этому пористые вещества могут задерживать значительное количество жидкости из паров, что приводит к увлажнению белья, ваты в сырых помещени­ях, затрудняет сушку гигроскопических тел, способствует удержа­нию влаги в почве и т. п. Наоборот, несмачивающие жидкости не проникают в пористые тела. С этим связана, например, непроница­емость для воды перьев птиц, смазанных жиром.

Рассмотрим поведение пузырька воздуха, находящегося в ка­пилляре с жидкостью. Если давление жидкости на пузырек с раз­ных сторон одинаково, то оба мениска пузырька будут иметь оди­наковый радиус кривизны, и силы дополнительного давления будут уравновешивать друг друга F₁ = -F₂ (рис. 7.14, а). При из­быточном давлении с одной из сторон, например при движении жидкости, мениски деформируются, изменятся их радиусы кри­визны (рис. 7.14, б), дополнительное давление ∆р с разных сторон станет неодинаковым. Это приведет к такому воздействию на жидкость со стороны пузырька воздуха (газа), которое затруднит или прекратит движение жидкости. Такие явления могут проис­ходить в кровеносной системе человека.

Попавшие в кровь пузырьки воздуха могут закупорить мелкий сосуд и лишить кровоснабжения какой-либо орган. Это явление, называемое эмболией, может привести к серьезному функци­ональному расстройству или даже летальному исходу. Так, воз­душная эмболия может возникнуть при ранении крупных вен: проникший в ток крови воздух образует воздушный пузырь, пре
 

 

 

ствующий прохождению крови. Пузырьки воздуха не должны попадать в вены при внутривенных вливаниях.

Газовые пузырьки в крови могут появиться у водолазов при быстром подъеме с большой глубины на поверхность, у летчиков космонавтов при разгерметизировании кабины или скафандра на большой высоте (газовая эмболия). Это обусловлено переходом азов крови из растворенного состояния в свободное — газообразное — в результате понижения окружающего атмосферного дав­ления. Ведущая роль в образовании газовых пузырьков при уменьшении давления принадлежит азоту, так как он обусловливает основную часть общего давления газов в крови и не участвует газообмене организма и окружающего воздуха.

ГЛАВА 8

Механические свойства твердых тел и биологических тканей

Характерным признаком твердого тела является способность сохранять форму. Твердые тела можно разделить на кристал­лические и аморфные.

Так же как и в гл. 7, рассматриваемый материал имеет отно­шение к реологии и биореологии.