Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
 Скачать 9.74 Mb.
|
|
§ 8.3. Механические свойства твердых тел Изменение взаимного расположения точек тела, которое приводит к изменению его формы и размеров, называют деформацией. Деформации могут быть вызваны внешними воздействиями (механическими, электрическими или магнитными) или изменение температуры тела. Здесь рассматриваются деформации, возникающие при действии сил на тело. В твердых телах деформацию называют упругой, если после прекращения действия силы она исчезает. Если же деформация сохраняется и после прекращения внешнего воздействия, то ее называют пластической. Промежуточный случай, т, е. неполное исчезновение деформации, принято называть упругопластической деформацией. Наиболее простым видом деформации является растяжение (сжатие). Оно, например, возникает в стержне (рис. 8.11) при действии силы, направленной вдоль его оси. Если стержень длинной I при этом удлинился на ∆1, то е = ∆l/l является мерой деформации растяжения и называется относительным удлинением. Другим видом деформации является сдвиг (рис. 8.12). Сила, касательная к одной из граней прямоугольного параллелепипеда, вызывает его деформацию, превращая в косоугольный параллелепипед (см. штриховые линии на рисунке). Угол у называют углом сдвига, a tg γ — относительным сдвигом. Так как обычно угол у мал, то можно считать tg γ = γ. При действии на тело внешней деформирующей силы расстояние между атомами (ионами) изменяется. Это приводит к возникновению внутренних сил, стремящихся вернуть атомы (ионы) в первоначальные положения. Мерой этих сил является механическое напряжение (или просто напряжение). Непосредственно напряжение не измеряется. В ряде случаев его можно вычислить через внешние силы, действующие на тело. Косвенно напряжение можно определить по некоторым физическим эффектам (см., например, § 20.5). Применительно к деформации растяжения напряжение а можно выразить как отношение силы к площади поперечного сечения стержня (см. рис. 8.11, б): Для деформации сдвига напряжение т выражают как отношение силы к площади грани, к которой сила касательна (см. рис. 8.12, б). В этом случае τ называют касательным напряжением: Упругие деформации подчиняются закону Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Для двух рассмотренных случаев (растяжение-сжатие и сдвиг) это аналитически записывается так: где Е — модуль Юнга, a G — модуль сдвига. Экспериментальная кривая растяжения приведена на рис. 8.13. Участок ОА соответствует упругим деформациям, точка В — пределу упругости, характеризующему то максимальное напряжение, при котором еще не имеют места деформации, остающиеся в теле после снятия напряжения (остаточные деформации). Горизонтальный участок CD кривой растяжения соответствует пределу текучести — напряжению, начиная с которого деформация возрастает без увеличения напряжения. И наконец, напряжение, определяемое наибольшей нагрузкой, выдерживаемой перед разрушением, является пределом прочности. Между упругими свойствами кристаллических мономеров и полимерных материалов существует огромная и принципиальная разница, например, в пределах прочности сталь разрывается уже при растяжении на 0,3%, а мягкие резины можно растягивать до,300%. Это связано с качественно другим механизмом упругости высокомолекулярных соединений. Как уже говорилось, при деформации кристаллических твердых тел, например стали, силы упругости всецело определяются, изменением межатомных расстояний. Структура высокомолекулярных соединений не регулярна. Они состоят из очень длинных гибких молекул, которые причудливо изогнуты, части молекул находятся в хаотическом тепловом движении так, что их форма и длина все время изменяются. Но в каждый данный момент большинство молекул в недеформированном образце имеет длину, близкую к наиболее вероятной. При приложении нагрузки к материалу (рис. 8.14, а) его молекулы выпрямляются в соответствующем направлении и длина образца увеличивается (рис. 8.14, б). После снятия нагрузки вследствие хаотического теплового движения длина каждой молекулы восстанавливается и образец укорачивается. Упругость, свойственную полимерам, называют каучукоподобной эластичностью (высокой эластичностью или высокоэластичностью). Приведем данные по механическим свойствам некоторых материалов (табл. 16). Таблица 16
Различие между деформацией кристаллических мономеров и полимерных материалов проявляется и во временной ее зависимости. Дело в том, что практически все материалы обладают ползучестью: под действием постоянной нагрузки происходит их деформация. В полимерах распрямление молекул при нагрузке материала и скольжение макромолекул происходят более длительно, чем, например, ползучесть в металлах. В какой-то мере при ползучести процессы, происходящие в полимере, соответствуют течению вязкой жидкости. Сочетание вязкого течения и высокой эластичности позволяет называть деформацию, характерную для полимеров, вязкоупругой. Упругие и вязкие свойства тел удобно моделировать. Это дает возможность нагляднее представить механические свойства биологических объектов (см. § 8.4). В качестве модели упругого тела (упругой деформации) выберем пружину (рис. 8.15, а), малая деформация которой соответствует закону Гука. Моделью вязкого тела является поршень с отверстиями, движущийся в цилиндре с вязкой жидкостью (рис. 8.15, б). С илу сопротивления среды в этом случае примем пропорциональной скорости перемещения поршня [см. (5.16)]: Преобразуем уравнение (8.2), основываясь на аналогии. Вместо силы сопротивления запишем напряжение (Fconp → σ), т. е. силу, отнесенную к единице площади, коэффициент трения, характеризующий свойство среды оказывать сопротивление движущемуся в ней телу, заменим коэффициентом вязкости среды (r → η), смещение тела — относительным удлинением (x → ε). Тогда вместо (8.2) получим связь между скоростью вязкой деформации и напряжением: В справедливости (8.3) частично можно убедиться проверкой размерностей: σ [Па], η[Па • с], dε/dt[с-1]. Из (8.3) видно, что напряжение зависит не от самой деформации, а от ее скорости (скорости перемещения поршня). Вязкоупругие свойства тел моделируются системами, состоящими из различных комбинаций двух простых моделей: пружина и поршень. Рассмотрим некоторые из них. Наиболее простой системой, сочетающей упругие и вязкие свойства, является модель Максвелла, в которой последовательно соединены упругий и вязкий элемент (рис. 8.15, в). При воздействии постоянной силой пружина упруго мгновенно удлиняется до значения, определяемого законом Гука, а поршень движется с постоянной скоростью до тех пор, пока действует сила (напряжение). Так реализуется на модели ползучесть материалa. Если быстро растянуть модель Максвелла и закрепить это состояние, то деформация будет сохраняться. Пружина после быстрого растяжения начнет сокращаться, вытягивая поршень. Со временем будет происходить релаксация, т. е. уменьшение (расслабление) напряжения. О пишем математически эту модель. Из закона Гука (8.1) следует εупр = σ/E, где εупр — упругая часть общей деформации в модели Максвелла. Скорость этой деформации равна Скорость вязкой деформации выразим из (8.3): С уммируя (8.4) и (8.5), находим скорость общей (суммарной) деформации модели Максвелла: Из уравнения (8.6) можно получить временные зависимости как деформации, так и напряжения. Если σ= const и dσ/dt = 0 (постоянная сила приложена к модели), то из (8.6) следует И нтегрируя последнее выражение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и ε, получаем Это соответствует ползучести (рис. 8.16, а). Если ε = const и dε/dt = 0 (поддерживается постоянная деформация), то из (8.6) следует Интегрируя последнее выражение от начального момента времени и начального напряжения σ0 до текущих значений t и σ, получаем: Это соответствует релаксации напряжения (рис. 8.16, б). В рамках модели Максвелла под действием нагрузки происходит, как было показано, быстрое (мгновенное) первоначальное упругое растяжение. В реальных полимерах вязкоупругая деформация обычно происходит сразу же после приложения нагрузки. Поэтому более подходящей может оказаться модель Кельвина — Фойхта, состоящая из параллельно соединенных пружины и поршня, нечто вроде амортизатора в автомашине (см. рис. 8.15, г). Если мгновенно создать в такой системе напряжение приложив постоянную силу, то деформация системы будет возрастать. Используя (8.1) и (8.3), преобразуем (8.9): Проинтегрируем последнее выражение от начального момента времени и нулевой деформации до текущих значений t и ε: П отенцируя, имеем Как видно, в рамках модели Кельвина—Фойхта деформация экспоненциально возрастает со временем. При снятии нагрузки (σ = 0 в момент t1 деформация начнет экспоненциально убывать. Оба эти случая показаны на рис. 8.17. В полимерах реализуются разные виды деформации: упругая обратимая (модель — пружина), вязкоупругая обратимая (модель Кельвина—Фойхта) и необратимая вязкая (модель — поршень). Сочетание этих трех элементов позволяет создавать модели, наиболее полно отражающие механические свойства тел и, в частности, биологических объектов. Моделирование механических свойств тел широко используется в реологии. Основная задача реологии — это выяснение зависимости напряжения от относительной деформации: σ = f(ε); напряжения от времени (релаксация напряжения): σ = f(t) при ε = const; относительной деформации от времени (ползучесть): ε = f(t) при σ = const. § 8.4. Механические свойства биологических тканей Под механическими свойствами биологических тканей понимают две их разновидности. Одна связана с процессами биологической подвижности: сокращение мышц животных, рост клеток, движение хромосом в клетках при их делении и др. Эти процессы обусловлены химическими процессами и энергетически обеспечиваются АТФ, их природа рассматривается в курсе биохимии. Условно указанную группу называют активными механическими свойствами биологических систем. Другая разновидность — пассивные механические свойства биологических тел. Рассмотрим этот вопрос применительно к биологическим тканям. Как технический объект биологическая ткань — композиционной материал, он образован объемным сочетанием химически разнородных компонентов. Механические свойства биологической ткани отличаются от механических свойств каждого компонента, взятого в отдельности. Методы определения механических свойств биологических тканей аналогичны методам определения этих свойств у технических материалов. Костная ткань. Кость — основной материал опорно-двигательного аппарата. В упрощенном виде можно считать, что 2/3 массы компактной костной ткани (0,5 объема) составляет неорганический материал, минеральное вещество кости — гидроксилапатит ЗСа3(РО4)2 • Са(ОН)2. Это вещество представлено в форме микроскопических кристалликов. В остальном кость состоит из органического материала, главным образом коллагена (высокомолекулярное соединение, волокнистый белок, обладающий высокоэластичностью). Кристаллики гидроксилапатита расположены между коллагеновыми волокнами (фибриллами). Плотность костной ткани 2400 кг/м3. Ее механические свойства зависят от многих факторов, в том числе от возраста, индивидуальных условий роста организма и, конечно, от участка организма. Композиционное строение кости придает ей нужные механические свойства: твердость, упругость и прочность. Зависимость σ = = f(ε) для компактной костной ткани имеет характерный вид, показанный на рис. 8.18, т. е. подобна аналогичной зависимости для твердого тела (см. рис. 8.13); при небольших деформациях выполняется закон Гука. Модуль Юнга около 10 ГПа, предел прочности 100 МПа. Полезно эти данные сопоставить с данными для капрона, армированного стеклом (см. табл. 16, заметно хорошее соответствие). Примерный вид кривых ползучести компактной костной ткани приведен на рис. 8.19. Участок 0А соответствует быстрой де- формации, АВ — ползучести. В момент t1 соответствующий точке В, нагрузка была снята. ВС соответствует быстрой деформации сокращения, CD — обратной ползучести. В результате даже за - длительный период образец кости не восстанавливает своих прежних размеров, сохраняется некоторая остаточная деформация εост. Этой зависимости приближенно соответствует модель (рис. 8.20, а), сочетающая последовательное соединение пружины с моделью Кельвина—Фойхта. Временная зависимость относительной деформации показана на рис. 8.20, б. При действии постоян- ной нагрузки мгновенно растягивается пружина 1 (участок ОА), затем вытягивается поршень (ползучесть АВ), после прекращения нагрузки происходит быстрое сжатие пружины 1 (ВС), а пружинa 2 втягивает поршень в прежнее положение (ползучесть CD). В предложенной модели не предусматривается остаточная деформация. Схематично можно заключить, что минеральное содержимое и кости обеспечивает быструю деформацию, а полимерная часть (коллаген) определяет ползучесть. Если в кости или в ее механической модели быстро создать постоянную деформацию, то скачкообразно возникает и напряжение (участок ОА на рис. 8.20, в). На модели это означает растяжение пружины 1 и возникновение в ней напряжения. Затем (участок АВ) эта пружина будет сокращаться, вытягивая поршень и растягивая пружину 2, на пряжение в системе будет убывать r (релаксация напражения). Однако даже спустя значительное время сохранится остаточное напряжение σост. Для модели это означает, что не возникнет при постоянной деформации такой ситуации, чтобы пружины вернулись в недеформированное состоя ние. Кожа. Она состоит из волокон коллагена, эластина (так же как и коллаген, волокнистый белок) и основной ткани — матрицы. Коллаген составляет около 75% сухой массы, а эластин — около 4%. Примерные данные по механическим свойствам приведены в табл. 17. Эластин растягивается очень сильно (до 200—300%), примерно как резина. Коллаген может растягиваться до 10%, что соответствует капроновому волокну. Таблица 17
Из сказанного ясно, что кожа является вязкоупругим материалом с высокоэластическими свойствами, она хорошо растягивается и удлиняется. Мышцы. В состав мышц входит соединительная ткань, состоящая из волокон коллагена и эластина. Поэтому механические свойства мышц подобны механическим свойствам полимеров. Релаксация напряжения в гладких мышцах соответствует модели Максвелла (см. рис. 8.15, в; 8.16, б). Поэтому гладкие мышцы могут значительно растягиваться без особого напряжения, что способствует увеличению объема полых органов, например мочевого пузыря. Механическое поведение скелетной мышцы соответствует модели, представленной на рис. 8.20, а. При быстром растяжении мышц на определенную величину напряжение резко возрастает, а затем уменьшается до σост (см. рис. 8.20, в). Зависимость σ = f(ε) для скелетной мышцы нелинейна (рис. 8.21). Анализ этой кривой показывает, что примерно до ε ≈ 0,25 в портняжной мышце лягушки механизм деформации обусловлен распрямлением молекул коллагена (см. § 8.3). При большей деформации происходит увеличение межатомных расстояний в молекулах. Ткань кровеносных сосудов (сосудистая ткань). Механические свойства кровеносных сосудов определяются главным образом свойствами коллагена, эластина и гладких мышечных волокон. Содержание этих составляющих сосудистой ткани изменяется по ходу кровеносной системы: отношение эластина к коллагену в общей сонной артерии 2:1, а в бедренной артерии 1:2. С удалением от сердца увеличивается доля гладких мышечных волокон, в артериолах они уже являются основной составляющей сосудистой ткани. При детальном исследовании механических свойств сосудистой ткани различают, каким образом вырезан из сосуда образец (вдоль или поперек сосуда). Можно, однако, рассматривать деформацию сосуда в целом как результат действия давления изнутри на упругий цилиндр. Рассмотрим цилиндрическую часть кровеносного сосуда длиной l, толщиной h и радиусом внутренней части r. Сечения вдоль и поперек оси цилиндра показаны на рис. 8.22, а, б. Две половины цилиндрического сосуда взаимодействуют между собой по сечениям стенок цилиндра (заштрихованные области на рис. 8.22, а). Общая площадь этого «сечения взаимодействия» равна 2hl. Если в сосудистой стенке существует механическое напряжение а, то сила взаимодействия двух половинок сосуда равна Э та сила уравновешивается силами давления на цилиндр изнутри (они показаны стрелками на рис. 8.22, б). Силы направлены под разными углами к горизонтальной плоскости (на рисунке). Для того чтобы найти их равнодействующую, следует просуммировать горизонтальные проекции. Однако проще найти равнодействующую силу, если умножить давление на проекцию площади полуцилиндра на вертикальную плоскость ОО'. Эта проекция равна 2rl. Тогда выражение для силы через давление имеет вид П риравнивая (8.10) и (8.11), получаем σ • 2hl = р • 2rl, откуда Это уравнение Ламе. Будем считать, что при растяжении сосуда объем его стенки не изменяется (площадь стенки возрастает, а толщина убывает), т. е. не изменяется площадь сечения стенки сосуда (рис. 8.22, б): С учетом (8.13) преобразуем (8.12): Из (8.14) видно, что в капиллярах (r→ 0) напряжение отсутствует (σ → 0). В заключение отметим разделы и направления медицины, для которых особо важно иметь представление о пассивных механических свойствах биологических тканей:
Этот перечень не исчерпывает значения материала, изложенного в настоящей главе, для врачебного образования. ГЛАВА 9 Физические вопросы гемодинамики Гемодинамикой называют область биомеханики, в которой исследуется движение крови по сосудистой системе. Физической основой гемодинамики является гидродинамика. Течение крови зависит как от свойств крови, так и от свойств кровеносных сосудов. В главе рассматриваются также физические основы работы некоторых технических устройств, используемых в связи с кровообращением. |