Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики

• Название: Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
• Анкор: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Дата: 08.12.2017
• Размер: 9.74 Mb.
• Имя файла: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Тип: Документы; #10792
• страница: 6 из 41

§ 4.3. Вестибулярный аппарат как инерциальная система ориентации

В обычных условиях положение свободно подвешенного маятника указывает направление силы тяжести (рис. 4.8, а). Если маятник покоится относительно ускоренно движущейся системы от­счета (неинерциальная система отсчета), то его положение зави­сит от ускорения системы а (рис. 4.8, б). Как следует из рисунка, по второму закону Ньютона,

где результирующая сила равна по величине откуда

 

Следовательно, даже простой математический маятник в прин­ципе может быть использован для определения модуля и направ­ления ускорения системы.

Более удобным индикатором ускорения системы является уст­ройство, изображенное на рис. 4.9, — тело известной массы ук­реплено на шести пружинках. По деформации пружин




можно определить значение и направление силы, действующей на тело, а отсюда и ускорение системы, если учесть ускорение свободного падения. Такого рода индикаторы используются в инерциальной навигации, получившей развитие в связи с решением космиче­ских задач.

В самом деле, если известно ускорение системы, например ра­кеты, в каждый момент времени, то можно найти зависимость скорости от времени:

Определив v = f(t), можно найти положение системы в любой момент

Наш организм приспособился к действию силы тяжести; соот­ветствующую привычную информацию клетки вестибулярного аппарата сообщают в мозг, поэтому состояния невесомости и пере­грузок воспринимаются нами посредством вестибулярного аппа­рата (и других органов) как необычные состояния, к которым не­обходимо приспособиться.

Если оказывается периодическое воздействие на вестибуляр­ный аппарат человека, например, при качке корабля, то это мо­жет привести организм в особое состояние, называемое морской болезнью.

Т
аким образом, можно без помощи средств, находящихся вне ракеты, автономно установить ее местоположение, скорость и ус­корение в любой момент времени.

Соответствующие устройства называются инерциальными системами ориентации.

В человеческом организме имеется орган, который тоже, по су­ществу, является инерциальной системой ориентации, — это вес­тибулярный аппарат. Он расположен во внутреннем ухе и состо­ит из трех взаимно перпендикулярных полукружных каналов К и полости — преддверия В (рис. 4.10). На внутренней поверхнос­ти стенок преддверия и в части полукружных каналов находят­ся группы чувствительных нервных клеток, имеющих свободные окончания в форме волосков. Внутри преддверия и полукружных каналов есть студенистая масса (эндолимфа), содержащая мелкие кислого кальция (отолиты). Уско­ренное перемещение головы вызыва­ет перемещение эндолимфы и отоли­тов, что воспринимается нервными клетками (через волоски). Вестибу­лярный аппарат, как и любая дру­гая физическая система, не отличает гравитационное воздействие от воз­действий, возникающих при уско­ренном движении системы.

Г Л А В А 5

_{Механические колебания и волны}

Повторяющиеся движения или изменения состояния называ­ют колебаниями (переменный электрический ток, движение маятника, работа сердца и т. п.). Всем колебаниям, независи­мо от их природы, присущи некоторые общие закономер­ности. В зависимости от характера взаимодействия колеблю­щейся системы с окружающими телами различают колебания свободные, вынужденные и автоколебания. Колебания рас­пространяются в среде в виде волн. В данной главе рассмат­риваются механические колебания и волны.

§ 5.1. § 5.1. Свободные механические колебания (незатухающие и затухающие)

Свободными (собственными) колебаниями называют такие, которые совершаются без внешних воздействий за счет первона­чально полученной телом энергии. Характерными моделями та­ких механических колебаний являются материальная точка на пружине (пружинный маятник) и материальная точка на нерас­тяжимой нити (математический маятник).

В этих примерах колебания возникают либо за счет первона­чальной потенциальной энергии (отклонение материальной точки 6т положения равновесия и движение без начальной скорости), либо за счет кинетической (телу сообщается скорость в начальном

положении равновесия), либо за счет и той и другой энергии (со­общение скорости телу, отклоненному от положения равновесия). Рассмотрим пружинный маятник. В положении равновесия (рис. 5.1, а) упругая сила уравновешивает силу тяжести mg. Если оттянуть пружину на расстояние х (рис. 5.1, б), то на мате­риальную точку будет действовать большая упругая сила. Изме­нение значения упругой силы (F), согласно закону Гука, пропор­ционально изменению длины пружины или смещению х точки:

где k— коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, который в данном случае является жесткостью пружины; знак минус показывает, что сила всегда направлена в сторону по­ложения равновесия: F < 0 при х > О, F > О при х < 0.

Другой пример. Математический маятник (рис. 5.2) отклонен от положения равновесия на такой небольшой угол α, чтобы мож­но было считать траекторию движения материальной точки пря­мой линией, совпадающей с осью ОХ. При этом выполняется при­ближенное равенство:

где х — смещение материальной точки относительно положения равновесия, I— длина нити маятника.

где k— коэффициент пропорциональности между силой и смеще­нием, который в данном случае равен

На материальную точку (рис. 5.2) действуют сила натяжения нити Fи сила тяжести mg, модуль их равнодействующей равен. Сравнивая (5.3) и (5.1), видим, что в этом примере равнодейст­вующая сила подобна упругой, так как пропорциональна смеще­нию материальной точки и направлена к положению равновесия. Такие силы, неупругие по природе, но аналогичные по свойствам силам, возникающим при малых деформациях упругих тел, на­зывают квазиупругими.

На материальные точки, рассмотренные в этих примерах, кро­ме упругой и квазиупругой силы действует и сила сопротивления |трения), модуль которой обозначим F_c(на рисунках не показана).

Дифференциальное уравнение, описывающее движение мате­риальной точки, получаем на основании второго закона Ньютона (произведение массы тела на его ускорение равно сумме всех дей­ствующих сил):

Выражение для смещения материальной точки, которое полу­чается из решения этого уравнения, рассмотрим для некоторых частных случаев.

Незатухающие колебания. Рассмотрим модель, в которой пренебрегают силой сопротивления (F_с = 0). Из (5.5) имеем:

и преобразуя, получаем следующее дифференциальное уравнение второго порядка:

Его решение, в чем можно убедиться подстановкой, приводит к гармоническому колебанию:

где (ω₀t+ φ„ = φ — фаза колебаний, φ₀ — начальная фаза (при t = 0), ω₀ — круговая частота колебаний, А — их амплитуда.

Амплитуда и начальная фаза колебаний определяются началь­ными условиями движения, т. е. положением и скоростью мате­риальной точки в момент t= 0.

Среди различных видов колебаний гармоническое колебание является наиболее простой формой.

Т
аким образом, материальная точка, подвешенная на пружине (пружинный маятник) или нити (математический маятник), со­вершает гармонические колебания, если не учитывать силы со­противления.

При преобразовании дифференциального уравнения гармонического колебания величина ю₀ была введена формально [см. (5.6)], однако она имеет важный физический смысл, так как определяет частоту колебаний системы и показывает, от каких факторов (параметров) эта частота зависит: от жесткости пружины и массы в одном примере, длины нити и ускорения свободного паде­ния в другом.

Период колебаний может быть найден из формулы

На основании тригонометрических формул преобразуем (5.12):

 

Используя (5.6), получаем период колебаний пружинного ма­ятника подставляя вместо kвыражение (5.4), находим период колебаний математического маятника

Очень удобно изображать гармонические колебания с по­мощью векторных диаграмм. Этот метод состоит в следующем. Из начала оси абсцисс проведем вектор А(рис.5.3), проекция которо­го на ось ОХ равна Acos φ. Если вектор А будет равномерно вращать­ся с угловой скоростью ю₀ против часовой стрелки, то φ = ω_оf+ φ₀, где φ₀ — начальное значение , и проекция вектора А на ось ОХ бу­дет изменяться со временем по закону (5.8). В таком представлении амплитуда колебаний есть модуль равномерно вращающегося векто­ра А, фаза колебаний — угол между вектором А и осью ОХ, началь­ная фаза — начальное значение этого угла, круговая частота колеба­ний — угловая скорость вращения вектора А, смещение х колеблю­щейся точки — проекция вектора А на ось ОХ.

где v_m= Аω₀ — максимальная скорость (ампли­туда скорости).

Ч
тобы найти скорость материальной точки при гармоничес­ком колебании, нужно взять производную от выражения (5.8) по времени:

 

 

Сравнивая (5.13) и (5.8), замечаем, что фаза скорости на π/2 больше фазы смещения, т. е. скорость опережает по фазе смеще­ние на π/2.

Продифференцировав (5.12), найдем ускорение:

где а_т= Аω₀ — максимальное ускорение (амплитуда ускорения). Вместо (5.14) запишем

Из сравнения (5.15) и (5.8) следует, что фазы ускорения и сме­щения различаются на п, т. е. эти величины изменяются в противофазе. Графики зависимости смещения, скорости и ускорения от времени показаны на рис. 5.4, а их векторные диаграммы — на рис. 5.5.

Затухающие колебания. В реальном случае на колеблющее­ся тело действуют силы сопротивления (трения), характер движе­ния изменяется, и колебание становится затухающим. Для того чтобы из уравнения (5.5) найти временную зависимость затухаю­щего колебания, необходимо знать, от каких параметров и как за­висит сила сопротивления. Обычно предполагают, что при не очень больших амплитудах и частотах эта сила пропорциональна скорости движения и, естественно, направлена противоположно Скорости: F_c= -rv, где r— коэффициент трения (сопротивления), характеризующий свойства среды оказывать сопротивление.

Допустим, что частоты скла­дываемых колебаний одинаковы (ω₁ = <ω₂ = ω₀), тогда результи­рующее смещение точки

Выполним такое сложение с по­мощью векторной диаграммы. Изо­бразим положение векторов А_ги А„ в начальный момент времени (рис. 5.9), углы между этими век-

торами и осью ОХ равны начальным фазам слагаемых колебаний ω₁ и ω₂. Вектор А — амплитуда результирующего колебания. Так как А₁и А₂вращаются с одинаковой угловой скоростью, то и сумма их — вектор А — будет вращаться с той же угловой скоро­стью, т. е. результирующее движение является гармоническим с круговой частотой ω_о:

Выразим амплитуду А этого колебания и начальную фазу φ₀ через заданные значения A₁ А₂, φ₀₁ и φ₀₂. Применяя теорему ко­синусов к треугольнику, заштрихованному на рис. 5.9, получаем


79



Как видно из рис. 5.9, tg φ равен отношению проекции А на ось OYк проекции А на ось ОХ, т. е. А_у/А_х. Учитывая, что проек­ция суммы равна сумме проекций, имеем:

П
рименительно к одномерному движению последней формуле

 

Подставим выражение (5.16) в уравнение (5.5) и получим:

Разделив обе части уравнения на т, запишем его в стандарт­ной форме:

После замены получаем окончательную за­пись дифференциального уравнения свободных колебаний с уче­том сил сопротивления:

где р — коэффициент затухания; ω_о — круговая частота соб­ственных колебаний системы (без затухания).

График этой функции показан на рис. 5.6 сплошной кривой 1; штриховой линией 2 изображено изменение амплитуды:

Решение (5.19) существенно зависит от знака разности ω² = ω— Р², где ω — круговая частота затухающих колебаний. При ω² - Р² > 0 круговая частота ω является действительной величи­ной и решение уравнения (5.19) будет следующим:

где значение А_оприведено на рисунке.

Период затухающих колебаний зависит от коэффициента тре­ния и определяется формулой:

При очень малом трении период затухающего колеба­ния близок к периоду незатухающего свободного колебания:

Быстрота убывания амплитуды колебаний определяется коэф­фициентом затухания: чем сильнее тормозящее действие среды, тем больше р и тем быстрее уменьшается амплитуда. На практи­ке, однако, степень затухания часто характеризуют логарифми­ческим декрементом затухания, понимая под этим величину, равную натуральному логарифму

отношения двух последовательно.

 

Следовательно, коэффициент затухания и логарифмический документ затухания связаны достаточно простой зависимостью:

При сильном затухании φ² > ω² из формулы (5.22) видно, что период колебания является мнимой величиной. Движение в этом случае уже не будет периодическим и называется апериодическим..

Возможные апериодические движения представлены в виде графиков на рис. 5.7. Этот случай применительно к электриче­ским явлениям рассматривается в гл. 14.

§ 5.2. Кинетическая и потенциальная энергии колебательного движения

Кинетическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону, можно вычислить по известной фор­муле, используя выражение (5.12):

 

 

Потенциальную энергию колебательного движения найдем, исходя из общей формулы для потенциальной энергии упругой деформации Е_и = -кх²и используя выражение (5.8):

 

При отсутствии сил трения полная механическая энергия сис­темы не изменяется:

Складывая кинетическую (5.24) и потенциальную (5.25) энер­гии, получаем полную механическую энергию материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону:

Графически зависимости кинетической, потенциальной и пол­ной механической энергий колеблющейся системы от времени по­казаны на рис. 5.8.

§ 5.3. Сложение гармонических колебаний

Материальная точка может одновременно участвовать в несколь­ких колебаниях. В этом случае, чтобы найти уравнение и траекто­рию результирующего движения, следует сложить колебания. Наи­более просто выполняется сложение гармонических колебаний. Рас­смотрим две такие задачи.

Сложение гармонических колебаний, направленных по одной прямой. Пусть материальная точка одновременно участву­ет в двух колебаниях, происходящих вдоль одной линии. Анали­тически такие колебания выражаются следующими уравнениями:

 

Таким образом, поставленная задача решена: по формулам (5.30) и (5.31) можно найти амплитуду и начальную фазу резуль­тирующего колебания. Из выражения (5.30) вытекают следую­щие частные случаи:

т. е. амплитуда результирующего колебания равна сумме ампли­туд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна четному числу к (рис. 5.10, а);

т. е. амплитуда результирующего колебания равна разности амп­литуд слагаемых колебаний, если разность начальных фаз равна нечетному числу п (рис. 5.10, б). В частности, при А_г= А₂имеем А = 0, т. е. колебания нет (рис. 5.10, в). Это достаточно очевидно: если материальная точка участвует одновременно в двух колеба­ниях, имеющих одинаковую амплитуду и совершающихся в противофазе, то точка неподвижна. Если частоты складываемых ко­лебаний не одинаковы, то сложное колебание уже не будет гармо­ническим.

Интересен случай, когда частоты слагаемых колебаний мало отличают­ся друг от друга:

Результирующее колебание при этом подобно гармоническому, но с медлен­но изменяющейся амплитудой (ампли­тудная модуляция). Такие колебания называются биениями (рис. 5.11).

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний. Пусть материальная точка одновременно участвует в двух колебаниях: одно направлено вдоль оси ОХ, другое — вдоль оси OY. Колебания заданы следующими уравнениями:

Уравнения (5.35) задают траекторию движения материальной точки в параметрической форме. Если в эти уравнения подставлять разные значения t, то можно определить координаты х и у, а сово­купность координат и есть траектория. Более наглядно траекторию должно представить в виде зависимости у = f(x), для получения ко­торой следует исключить время из уравнений (5.35). Произведя ма­тематические преобразования, получим уравнение эллипса:

Таким образом, при одновременном участии в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях одинаковой частоты материальная точка движется по эллиптической траектории (рис. 5.12).

Из выражения (5.36) вытекают некоторые частные случаи:

Это каноническая форма уравнения эллипса, соответствующая симметричному расположению его относительно осей координат (рис. 5.13, а). Из (5.37) при А_х= А₂= R(рис. 5.13, б) получаем уравнение окружности радиусом R:

 

 

 

2) φ₀₂ - φ₀₁ = kn, где k = О, 1, 2, ...; cos kn= ± 1, sin² be = 0, и тогда это уравнение прямой линии, в которую вырождается эл­липс [рис. 5.14, а соответствует знаку «+» в уравнении (5.40); рис. 5.14, б — знаку «-»].

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний разных частот получаются различные траектории материальной точки, названные фигурами Лиссажу.

Вид фигур Лиссажу зависит как от соотношения амплитуд А₁и А₂, так и от отношения частот и разности начальных фаз φ₀₁ - φ₀₂ слагаемых колебаний (рис. 5.15):