Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики

• Название: Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
• Анкор: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Дата: 08.12.2017
• Размер: 9.74 Mb.
• Имя файла: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Тип: Документы; #10792
• страница: 3 из 41

§ 2.2. Случайная величина. Закон распределения. Числовые характеристики

Определение случайной величины. Многие случайные собы­тия могут быть оценены количественно случайными величинами.

Случайной называют такую величину, которая принима­ет значения в зависимости от стечения случайных обсто­ятельств.

Случайными величинами являются: число больных на приеме у врача, число студентов в аудитории, число рождений в городе, продолжительность жизни отдельного человека, скорость моле­кулы, температура воздуха, погрешность в измерении какой-либо величины и др. Если пронумеровать шары в урне примерно так, как это делают при разыгрывании тиража лото, то произвольное вынимание шара из урны покажет число, являющееся случайной величиной.

Различают дискретные и непрерывные случайные величины.

Случайная величина называется дискретной, если она принимает счетное множество значений: число букв на произ­вольной странице книги, энергия электрона в атоме, число волос на голове человека, число зерен в колосьях, число молекул в вы­деленном объеме газа и т. п.

Непрерывная случайная величина принимает любые зна­чения внутри некоторого интервала: температура тела, масса зерен в колосьях пшеницы, координата места попадания пули в цель (принимаем пулю за материальную точку) и др.

Распределение дискретной случайной величины. Диск­ретная случайная величина считается заданной, если указаны ее возможные значения и соответствующие им вероятности. Обозна­чим дискретную случайную величину X, ее значения x₁x₂, …., а вероятности Р(х₁) = p_1, Р(х₂) = р₂и т. д. Совокупность Xи Р называется распределением дискретной случайной величи­ны (табл. 1).

Таблица 1

X	X1	X2	X3	X4	X5	…
P	P1	P2	P3	P4	P5	…

 

Так как все возможные значения дискретной случайной вели-чины-яредставляют полную систему (см. § 2.1), то сумма вероят­ностей равна единице:

Здесь предполагается, что дискретная случайная величина имеет и значений. Выражение (2.9) называется условием норми­ровки.

Случайной величиной является число очков, выпадающих на верх­ней грани игральной кости. Указать распределение этой случайной вели­чины (табл. 2).

Таблица 2

X	1	2	3	4	5	6
р	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

 

Случайной величиной является номер вида спорта в игре «Спортло-10». Общее число видов равно 49. Указать распределение этой случайной величины (табл. 3).

Таблица 3

X	1	2	3	…	49
р	1/49	1/49	1/6	…	1/49

Биномиальное распределение. Пусть некоторое испытание проводится трижды и при этом событие А происходит Iраз (I— случайная величина, которая при тройном испытании может при­нимать значения 0, 1, 2 и 3). Вероятность наступления события А равна Р(А); вероятность того, что событие А не происходит, т. е. имеет место противоположное событие А, равна [1 - Р(А)].

З
начение 1 = 0 соответствует такому случаю, при котором трижды подряд событие А не происходило. Вероятность этого сложного события, по теореме умножения вероятностей (2.6), равна

З
начение I = 1 относится к случаю, при котором событие А про­изошло в одном из трех испытаний. По формуле (2.6) получаем

Так как при l = 1 происходят также и два других сложных со­бытия: (А и А и А)и(А и А и А), то необходимо, воспользовав­шись теоремой сложения вероятностей (2.4), получить полную ве­роятность для l = 1, сложив трижды предыдущее выражение:

Значение I = 2 соответствует случаю, при котором событие А произошло в двух из трех испытаний. Рассуждениями, подобны­ми приведенным выше, получим полную вероятность для этого случая:

При 1 = 3 событие А появляется во всех трех испытаниях. Ис­пользуя теорему умножения вероятностей, находим

В
общем случае биномиальное распределение позволяет опре­делить вероятность того, что событие А произойдет lраз при п испытаниях:

На основе многолетних наблюдений вызов врача в данный дом оце­нивается вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что в течение шести дней произойдет четыре вызова врача; Р(А) = 0,5, п = 6,1 = 4. Т Воспользуемся формулой (2.10):

Числовые характеристики дискретной случайной величи­ны. Во многих случаях, наряду с распределением случайной ве­личины или вместо него, информацию об этих величинах могут дать числовые параметры, получившие название числовых ха­рактеристик случайной величины. Рассмотрим наиболее упот­ребительные из них.

Математическое ожидание (среднее значение) случайной величины есть сумма произведений всех возможных ее значе­
ний на вероятности этих значений:

Пусть при большом числе испытаний п дискретная случайная величина Xпринимает значения x_vx₂, ..., х_псоответственно m_{1 ,} m_г, ..., т_праз. Среднее значение равно

Если п велико, то относительные частоты т₁/п, т₂/п, ... будут стремиться к вероятностям, а средняя величина — к математиче­скому ожиданию. Именно поэтому математическое ожидание час­то отождествляют со средним значением.

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Используем формулу (2.11):

Найти математическое ожидание для дискретной случайной вели­чины, которая определяется тиражом «Спортлото» (см. табл. 3). Согласно формуле (2.11), находим

 


Возможные значения дискретной случайной величины рассеяны во­круг ее математического ожидания, часть из них превышает М{Х), часть — меньше М{Х). Как оценить степень разброса случайной величины отно­сительно ее среднего значения? Может показаться, что для решения та­кой задачи следует вычислить отклонения всех случайных величин от ее математического ожидания X - М(Х), а затем найти математическое ожидание (среднее значение) этих отклонений: М[Х - М(Х)]. Вез доказа­тельства отметим, что эта величина равна нулю, так как отклонения слу­чайных величин от математического ожидания имеют как положитель­ные, так и отрицательные значения. Поэтому целесообразно учитывать либо абсолютные значения отклонений М[Х — М (X)], либо их квадраты М[Х - М(Х)]². Второй вариант оказывается предпочтительнее, так при­ходят к понятию дисперсии случайной величины.

Дисперсией случайной величины называют математиче­ское ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Б
ез вывода приведем удобную для вычисления дисперсии фор­мулу

 


Она означает, что дисперсия равна разности между математи­ческим ожиданием квадрата случайной величины Xи квадратом ее математического ожидания.

Найти дисперсию случайной величины, которая задается цифрой на грани при бросании игральной кости (см. табл. 2).

Математическое ожидание этого распределения равно 3,5. Запишем значения квадратов отклонения случайных величин от математического ожидания: (1 - 3,5)² = 6,25; (2 - 3,5)² = 2,25; (3 - 3,5)² = 0,25; (4 - 3,5)² = 0,25; (5 - 3,5)² = 2,25; (6 - 3,5)² = 6,25. По формуле (2.12) с учетом (2.11) няходим дисперсию:

Как следует из (2.12), дисперсия имеет размерность квадрата размерности случайной величины. Для того чтобы оценивать расстояние случайной величины в единицах той же размерности, вводят понятие среднего квадратического отклонения, под которым понимают квадратный корень из дисперсии:

 

Распределение и характеристики непрерывной случайной величины. Непрерывную случайную величину нельзя задать тем же законом распределения, что и дискретную. В этом случае поступают следующим образом.

Пусть dP — вероятность того, что непрерывная случайная величина Xпринимает значения между х и х + dx. Очевидно, что Ирм больше интервал dx, тем больше и вероятность dP: dP dx. Шроме того, вероятность должна зависеть и от самой случайной Величины, вблизи которой расположен интервал, поэтому

 

где f(x) — плотность вероятности, или функция распределения вероятностей. Она показывает, как изменяется вероятность, отнесенная к интервалу dxслучайной величины, в зависимости от значения самой этой величины:

 

Интегрируя выражение (2.15) в соответствующих пределах, находим вероятность того, что случайная величина принимает какое-либо значение в интервале (ab):

 

Условие нормировки для непрерывной случайной величины имеет вид

Как видно из (2.19), эта функция равна вероятности того, что случайная величина принимает значения, меньшие х:

 

Для непрерывной случайной величины математическое ожи­дание и дисперсия записываются соответственно в виде

 

 

§ 2.3. Нормальный закон распределения

В теории вероятностей и математической статистике, в различ­ных приложениях важную роль играет нормальный закон рас­пределения (закон Гаусса). Случайная величина распределена по этому закону, если плотность вероятности ее имеет вид

где α= М(Х) — математическое ожидание случайной величины; — среднее квадратическое отклонение; следовательно, дисперсия случайной величины.

Изменение а при постоянной а не влияет на форму кривой, а лишь сдвигает ее вдоль оси абсцисс. Площадь, заключенная под кривой, согласно условию нормировки, равна единице. На рисунке 2.1 изображены три кривые. Для кривых 1 и 2 а = 0, эти кривые отличаются зна­чением σ (σ₁ < σ₂); кривая 3 имеет а = 0 (σ = σ₂). Вычислим функцию распределения (2.19) для этого случая:

Обычно используют иное выражение функции нормального распределения. Введем новую переменную t= (x-a)/σ, следовательно, dx = σdt. Подставив эти значения в (2.23), получим

 

Значения функции Ф(t) обычно находят в специально составленных таблицах (см. [2]), так как интеграл (2.24) через элементарные функции не выражается. График функции Ф(t) изображен рисунке 2.2.На основании (2.17) можно вычислить вероятность того, что случайная величина при нормальном распределении находится в интервале (x₁x₂). Без вывода, по аналогии с (2.24), укажем, что эта вероятность равна

 

 

 

 

Воспользуемся выражением (2.25) для вычисления следующих вероятностей:

 

Отметим, что Ф(-t) = 1 - Ф(t), поэтому Р = 2Ф(1) - 1. По таб­лице находим Ф(+1) = 0,8413. откуда

 

По таблице находим Ф(2) = 0,9772, откуда

 

По таблице находим Ф(3) = 0,9986. откуда

 

 

На рисунке 2.3 приведено нормальное распределение (σ = 0) и штриховкой показаны области, площади которых равны вероят­ностям 0,683 и 0,954.

Допустим, что произвольно из нормального распределения вы­бираются группы по п значений случайных величин. Для каждой группы можно найти средние значения, соответственно x_1, х₂, ..., x_i, ... . Эти средние значения сами образуют нормальное распреде­ление (в отличие от изложенного выше нормального распределе­ния здесь каждому среднему значению x_iбудет соответствовать не вероятность, а относительная частота). Математическое ожидание такого «нового» нормального распределения равно математическому ожиданию исходного нормального распределения, а дисперсия (D_n) и среднее квадратическое отклонение (σ_п) отличаются соответственно в п и в √nраз относительно этих характеристик исходного распределения:

Это положение здесь не доказывается, но его можно проиллюстрировать рисунком 2.4, на котором приведены графики нормальных распределений, полученных для групп со значениями п, активными 1,4, 16, и n→∞. Рассмотрим крайние частные случаи. При п = 1 приходим к исходному нормальному распределению, потому σ_n = σ. При п →∞ σ_n → 0; фактически в этом случае «группами случайных величин» — это все исходное распределение, Других групп нет, поэтому среднее значение выражается только одним числом и оно соответствует математическому ожиданию. юсе распределение сводится к этому значению математического ожидания (на графике представлено вертикальной линией).

 

§2.4. Распределения Максвелла и Больцмана

Распределение Максвелла (распределение молекул газа по скоростям). В равновесном состоянии параметры газа (давление, объем и температура) остаются неизменными, однако микросостояния — взаимное расположение молекул, их скорости — непрерывно изменяются. Из-за огромного количества молекул прак­тически нельзя определить значения их скоростей в какой-либо момент, но возможно, считая скорость молекул непрерывной случайной величиной, указать распределение молекул по скоростям. Выделим отдельную молекулу. Хаотичность движения позволяет, например, для проекции скорости v_xмолекулы принять нормальный закон распределения. В этом случае, как показал Дж. К. Максвелл, плотность вероятности записывается следующим образом:

где т₀— масса молекулы, T — термодинамическая температура газа, k— постоянная Больцмана.

Аналогичные выражения могут быть получены для f(v_y) и f(v_z). На основании формулы (2.15) можно записать вероятность то­го, что молекула имеет проекцию скорости, лежащую в интервале от vдо v_x + dv_x:

аналогично для других осей

Каждое из условий (2.29) и (2.30) отражает независимое событие. Поэтому вероятность того, что молекула имеет скорость, проек­ции которой одновременно удовлетворяют всем условиям, можно найти по теореме умножения вероятностей [см. (2.6)]:

Используя (2.28), из (2.31) получаем

Отметим, что из (2.32) можно получить максвелловскую функ­цию распределения вероятностей абсолютных значений скорости (распределение Максвелла по скоростям):

и вероятность того, что скорость молекулы имеет значение, лежа­щее в интервале от vдо v + dv:

График функции (2.33) изображен на рисунке 2.5. Скорость, соответствующую максимуму кривой Максвелла, называют наивероятнейшей v_в. Ее можно определить, используя условие максимума функции:

или

откуда

Среднюю скорость молекулы (математическое ожидание) можно найти по общему правилу [см. (2.20)]. Так как определяется среднее значение скорости, то пределы интегрирования берут от 0 до ∞ (математические подробности опущены):

 

где М ⁼ M₀N_a — молярная масса газа, R = kN_A— универсальная ■вазовая постоянная, N_A— число Авогадро. При увеличении температуры максимум кривой Максвелла смещается в сторону больших скоростей и распределение молекул по vвидоизменяется (рис. 2.6; Т₁ < Т₂).

Распределение Максвелла позволяет вычислить число молекул, скорости которых лежат в определенном интервале ∆v. Получим соответствующую формулу.

Так как общее число Nмолекул в газе обычно велико, то вероятность dPможет быть выражена как отношение числа dNмолекул, скорости которых заключены в некотором интервале dv, к общему числу Nмолекул:

Из (2.34) и (2.37) следует, что

 

Формула (2.38) позволяет определить число молекул, скорости которых лежат в интервале от v₁до v_2.Для этого нужно проинтег­рировать (2.38):

либо графически вычислить площадь криволинейной трапеции в пределах от и₁до v₂(рис. 2.7).

Если интервал скоростей dvдостаточно мал, то число молекул, скорости которых соответствуют этому интервалу, может быть рассчитано приближенно по формуле (2.38) или графически как площадь прямоугольника с основанием dv.

На вопрос, сколько молекул имеют скорость, равную како­му-либо определенному значению, следует странный, на первый взгляд, ответ если совершенно точно задана скорость, то интер­вал скоростей равен нулю (dv= 0) и из (2.38) получаем нуль, т. е. ни одна молекула не имеет скорости, точно равной наперед задан­ной. Это соответствует одному из положений теории вероятнос­тей: для непрерывной случайной величины, каковой является скорость, невозможно «угадать» совершенно точно ее значение, которое имеет по крайней мере хотя бы одна молекула в газе.

Распределение молекул по скоростям подтверждено различны­ми опытами.

Распределение Максвелла можно рассматривать как распреде­ление молекул не только по скоростям, но и по кинетическим энергиям (так как эти понятия взаимосвязаны).

Распределение Больцмана. Если молекулы находятся в ка­ком-либо внешнем силовом поле, например гравитационном поле Земли, то можно найти распределение по их потенциальным энергиям, т. е. установить концентрацию частиц, обладающих не­которым определенным значением потенциальной энергии.

Распределение частиц по потенциальным энергиям в си­ловых полях — гравитационном, электрическом и др. — называют распределением Больцмана.

Применительно к гравитационному полю это распределение может быть записано в виде зависимости концентрации п моле­кул от высоты hнад уровнем Земли или от потенциальной энер­гии молекулы m₀gh:

Выражение (2.40) справедливо для частиц идеального газа. Графи­чески эта экспоненциальная зависимость изображена на рис. 2.8.

Такое распределение молекул в поле тяготения Земли можно ка­чественно, в рамках молекулярно-кинетических

объяснить тем, что на молекулы оказывают влияние два противоположных фактора: гравитационное поле, под действием которого все молекулы притягиваются к Земле, и молекулярно-хаотическое движение, стремящееся равномерно разбросать молекулы по всему , возможному объему.

В заключение полезно заметить некоторое сходство экспоненциальных членов в распределениях Максвелла и Больцмана:

 

Г ЛАВА 3

Математическая статистика

Методы математической статистики позволяют систематизи­ровать и оценивать экспериментальные данные, которые рассматриваются как случайные величины.