|
|
Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
§ 5.4. Сложное колебание и его гармонический спектр
Как видно из § 5.3, сложение колебаний приводит к более сложным формам колебаний. Для практических целей бывает необходимой противоположная операция: разложение сложного колебания на простые, обычно гармонические, колебания.
Ж. Фурье показал, что периодическая функция любой сложности может быть представлена в виде суммы гармонических функций, частоты которых кратны частоте сложной периодической функции.
Такое разложение периодической функции на гармонические Составляющие и, следовательно, разложение различных периодических процессов (механические, электрические и т. п.) на гармонические колебания называется гармоническим анализом. Существуют математические выражения, которые позволяют найти составляющие гармонические функции. Автоматически гармонический анализ колебаний, в том числе и для целей медицины, осуществляется специальными приборами — анализаторами.
Совокупность гармонических колебаний, на которые разложено сложное колебание, называется гармоническим спектром сложного колебания.
Гармонический спектр удобно представить как набор частот (или круговых частот) отдельных гармоник совместно с соответствующими им амплитудами. Наиболее наглядно такое представление выполняется графически. В качестве примера на рис. 5.16, а изображены графики сложного колебания (кривая 4) и составляющих его гармонических колебаний (кривые 1, 2 и 3); на рис. 5.16, б показан гармонический спектр, соответствующий этому примеру.
Гармонический анализ позволяет достаточно детально описать и проанализировать любой сложный колебательный процесс, он находит применение в акустике, радиотехнике, электронике и других областях науки и техники.
§ 5.5. Вынужденные колебания. Резонанс
Вынужденными колебаниями называются колебания, возникающие в системе при участии внешней силы, изменяющейся по периодическому закону.
Предположим, что на материальную точку, кроме квазиупругой силы и силы трения, действует внешняя вынуждающая сила
где Fo— амплитуда, со — круговая частота колебаний вынуждающей силы. Составим дифференциальное уравнение (второй закон Ньютона):
или
Решение дифференциального уравнения (5.41) является суммой двух слагаемых. Одно из них, соответствующее уравнению затухающих колебаний (5.20), играет роль только при установлении колебаний (см. рис. 5.6). Со временем им можно пренебречь. Другое слагаемое описывает смещение материальной точки в установившихся вынужденных колебаниях:
Как видно из (5.42), установившееся вынужденное колебание, происходящее под воздействием гармонически изменяющейся вынуждающей силы, тоже является гармоническим. Частота вынужденного колебания равна частоте вынуждающей силы. Вынужденные колебания, график которых представлен на рис. 5.17, сдвинуты по фазе относительно вынуждающей силы.
Амплитуда вынужденного колебания (5.43) прямо пропорциональна амплитуде вынуждающей силы и имеет сложную зависимость от коэффициента затухания среды и круговых частот собственного и вынужденного колебаний.
Заданы, то амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение при некоторой определенной частоте вынуждающей силы, называемой резонансной. Само явление — достижение максимальной амплитуды вынужденных колебаний для заданных ωо φ — называют резонансом.
Подставив (5.45) в (5.43), находим амплитуду при резонансе:
Резонансную круговую частоту можно найти из условия минимума знаменателя в (5.43):
Из (5.46) видно, что при отсутствии сопротивления (β = 0) амплитуда вынужденных колебаний при резонансе неограниченно возрастает. При этом из (5.45) следует, что φрез = ω0, т. е. резонанс в системе без затухания наступает тогда, когда частота вынуждающей силы совпадает с частотой собственных колебаний. Графическая зависимость амплитуды вынужденных колебаний от круговой частоты вынуждающей силы при разных значениях коэффициента затухания показана на рис. 5.18.
Механический резонанс может быть как полезным, так и вредным явлением. Вредное действие резонанса связано главным образом с разрушением, которое он может вызвать. Так, в технике, учитывая разные вибрации, необходимо предусматривать возможное возникновение резонансных условий, в противном случае могут быть разрушения и катастрофы. Тела обычно имеют несколько собственных частот колебаний и соответственно несколько резонансных частот.
Если бы коэффициент затухания внутренних органов человека бы невелик, то резонансные явления, возникшие в этих органах под воздействием внешних вибраций или звуковых волн, могли бы привести к трагическим последствиям: разрыву органов, повреждению связок и т. п. Однако такие явления при умеренных внешних воздействиях практически не наблюдаются, так как коэффициент затухания биологических систем достаточно велик. Тем не менее резонансные явления при действии внешних механических колебаний происходят во внутренних органах. В этом, видимо, одна из причин отрицательного воздействия инфразвуковых колебаний и вибраций на организм человека (см. § 6.7 и 6.8).
§ 5.6. Автоколебания
Как было показано в § 5.5, незатухающие колебания могут поддерживаться в системе даже при наличии сил сопротивления, если на систему периодически оказывается внешнее воздействие (вынужденные колебания). Это внешнее воздействие не зависит от самой колеблющейся системы, в то время как амплитуда и частота вынужденных колебаний зависят от этого внешнего воздействия.
Однако существуют и такие колебательные системы, которые сами регулируют периодическое восполнение растраченной энергии и поэтому могут колебаться длительное время.
Незатухающие колебания, существующие в какой-либо системе с затуханием при отсутствии переменного внешнего воздействия, называются автоколебаниями, а сами системы — автоколебательными.
Амплитуда и частота автоколебаний зависят от свойств самой автоколебательной системы, в отличие от вынужденных колебаний они не определяются внешними воздействиями.
Во многих случаях автоколебательные системы можно представить тремя основными элементами: 1) собственно колебательная система; 2) источник энергии; 3) регулятор поступления энергии в собственно колебательную систему. Колебательная система каналом обратной связи (рис. 5.19) воздействует на регулятор, информируя регулятор о состоянии этой системы.
Классическим примером механической автоколебательной системы являются часы, в которых маятник или баланс являются колебательной системой, пружина или поднятая гиря — источником энергии, а анкер — регулятором поступления энергии от источника в колебательную систему.
Многие биологические системы (сердце, легкие и др.) являются автоколебательными. Характерный пример электромагнитной автоколебательной системы — генераторы электромагнитных колебаний (см. гл. 18).
§ 5.7. Уравнение механической волны
Механической волной называют механические возмущения, распространяющиеся в пространстве и несущие энергию.
Различают два основных вида механических волн: упругие волны (распространение упругих деформаций) и волны на поверхности жидкости.
Упругие волны возникают благодаря связям, существующим между частицами среды: перемещение одной частицы от положения равновесия приводит к перемещению соседних частиц. Этот процесс распространяется в пространстве с конечной скоростью.
Уравнение волны выражает зависимость смещения колеблющейся точки (s), участвующей в волновом процессе, от координаты ее равновесного положения и времени. Для волны, распространяющейся вдоль направления ОХ, эта зависимость записывается в общем виде:
Если sи х направлены вдоль одной прямой, то волна продольная, если они взаимно перпендикулярны, то волна поперечная.
Выведем уравнение плоской волны. Пусть волна распространяется вдоль оси ОХ (рис. 5.20) без затухания так, что амплитуды колебаний всех точек одинаковы и равны А. Зададим колебание точки с координатой х = 0 (источник колебаний)
Так как время и скорость распространения волны связаны зависимостью т = x/v, то вместо (5.47) получаем
До точки с некоторой произвольной координатой х возмущение от начала координат дойдет через время τ, поэтому колебания этой точки запаздывают:
Это и есть уравнение плоской волны, которое позволяет определить смещение любой точки, участвующей в волновом процессе, в любой момент времени. Аргумент при косинусе называют фазой волны. Множество точек, имеющих одновременно одинаковую фазу, называют фронтом волны. Для рассмотренного случая фронтом волны будет плоскость х = const (плоскость, перпендикулярная оси ОХ), всем точкам которой соответствует одновременно одинаковая фаза. Отсюда и название — плоская волна.
Скорость распространения фиксированной фазы колебаний называют фазовойСледовательно, скорость распространения фиксированной фазы колебаний и есть скорость распространения волны.
Кроме фазовой скорости различают еще групповую скорость, которую вводят тогда, когда реальная волна не может быть представлена одним гармоническим уравнением (5.48), а является суммой группы синусоидальных волн.
Длиной волны называют расстояние между двумя точками, фазы которых в один и тот же момент времени отличаются на 2π. Она равна расстоянию, пройденному волной за период колебания:
Уравнение волны (5.48) — одно из возможных решений общего дифференциального уравнения с частными производными, описывающего процесс распространения возмущения в среде. Такое уравнение называют волновым.
Чтобы иметь представление о волновом уравнении, продифференцируем (5.48) дважды по времени tи дважды по координате х.
Решение уравнений с частными производными выходит за пределы данного курса. Одно из решений (5.48) известно. Однако важно отметить следующее. Если изменение какой-либо физической величины: механической, тепловой, электрической, магнитной и т. д. — отвечает уравнению (5.52), то это означает, что соответствующая физическая величина распространяется в виде волны со скоростью v.
Сравнивая вторые производные в (5.50) и (5.51), получаем одномерное ярлновое уравнение
§ 5.8. Поток энергии и интенсивность волны
Волновой процесс связан с распространением энергии. Количественной характеристикой перенесенной энергии является поток анергии.
Поток энергии волн (Ф) характеризуется средней энергией, переносимой волнами в единицу времени через некоторую поверхность. Усреднение должно быть сделано за время, значительно большее периода колебаний.
Единицей потока энергии волн является ватт (Вт). Найдем связь потока энергии волн с энергией колеблющихся точек и скоростью распространения волны.
Выделим объем среды, в которой распространяется волна, в виде прямоугольного параллелепипеда (рис. 5.21); площадь его основания S, а длина ребра численно равна скорости vи совпадает е направлением распространения волны. В соответствии с этим за X с сквозь площадку Sпройдет та энергия, которой обладают колеблющиеся частицы в объеме параллелепипеда Sv. Это и есть поток энергии волн:
Так средняя объемная плотность энергии колебательного движения (среднее значение энергии колебательного движения частиц, участвующих в волновом процессе и расположенных в 1 м3). Поток энергии волн, отнесенный к площади, ориентированной перпендикулярно направлению распространения волн,
Единицей плотности потока энергии волн являётся ватт на квадратный метр (Вт/м2).
называют плотностью потока энергии волн, или интенсивностью волн
где А — амплитуда колебаний точек среды, р — плотность. Подставляя (5.55) в (5.54), имеем
Энергия, переносимая упругой волной, складывается из потенциальной энергии деформации и кинетической энергии колеблющихся частиц. Приведем без вывода выражение для средней объемной плотности энергии волн:
Таким образом, плотность потока энергии упругих волн пропорциональна плотности среды, квадрату амплитуды колебаний частиц, квадрату частоты колебаний и скорости распространения волны.
§ 5.9. Ударные волны
Один из распространенных примеров механической волны — звуковая волна (см. гл. 6). В этом случае максимальная скорость колебаний отдельной молекулы воздуха составляет несколько сантиметров в секунду даже для достаточно большой интенсивности, т. е. значительно меньше скорости распространения волны (скорость звука в воздухе около 300 м/с). Это соответствует, как принято говорить, малым возмущениям среды.
Однако при больших возмущениях (взрыв, сверхзвуковое движение тел, мощный электрический разряд и т. п.) скорость колеблющихся частиц среды может уже стать сравнимой со скоростью звука, возникает ударная волна.
При взрыве высоконагретые продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают слои окружающего воздуха. С течением времени объем сжатого воздуха возрастает. Тонкую переходную область, которая отделяет сжатый воздух от невозмущенного, в физике называют ударной волной. Схематично скачок плотности газа при распространении в нем ударной волны показан на рис. 5.22, а. Для
сравнения на этом же рисунке по-
но изменение плотности среды при прохождении звуковой волны (рис. 5.22, б).
Ударная волна может обладать значительной энергией, так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50% энергии взрыва. Поэтому ударная волна, достигая биологических и технических объектов, способна причинить смерть, увечья и разрушения.
§ 5.10. Эффект Доплера
Эффектом Доплера называют изменение частоты волн, воспринимаемых наблюдателем (приемником волн), вследствие относительного движения источника волн и наблюдателя.
Представим себе, что наблюдатель приближается со скоростью vBк неподвижному относительно среды источнику волн. При этом он встречает за один и тот же интервал времени больше волн, чем при отсутствии движения. Это означает, что воспринимаемая частота v' больше частоты волны, испускаемой источником. Но так как длина волны, частота и скорость распространения волны связаны соотношением или с учетом
Другой случай: источник волн и движется со скоростью Uи к неподвижному относительно среды наблюдателю (рис. 5.23, о). Так как источник движется вслед за испускаемой волной, то длина волны будет меньше, чем при неподвижном источнике. В самом деле, длина волны равна расстоянию между двумя точками с разностью фаз 2π. За время Т, равное одному периоду, волна распространится на расстояние X(рис. 5.23, б), источник волн переместится на расстояние АВ = vJT. Фазы точек В и С при этом различаются на 2πr следовательно, расстояние между ними равно длине волны А/, образуемой при движении источника излучения. Используя рис. 5.23 и зная, что, выполним некоторые вычисления
В этом случае наблюдатель воспринимает волну, частота колебаний которой
При одновременном движении друг к другу наблюдателя и источника формула для воспринимаемой частоты получается подстановкой в формулу (5.59) [см. (5.57)] вместо v:
Как видно из (5.60), при сближении источника волн и наблюдателя воспринимается частота больше испускаемой. Изменив знаки у DB и ии в (5.60), можно получить аналогичную формулу при удалении источника от наблюдателя (приемника). Таким образом, можно записать общую формулу
и называется доплеровским сдвигом частоты.
В медицинских приложениях скорость ультразвука значительно больше скорости движения объекта (и » d0). Для этих случаев из (5.64) имеем
Таким образом, разница частот равнаЭффект Доплера используется для определения скорости кровотока (см. § 9.5), скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов
ГЛАВА 6 Акустика
Акустика — область физики, исследующая упругие колебания и волны от самых низких частот до предельно высоких (1013 Гц). Современная акустика охватывает широкий круг вопросов, в ней выделяют ряд разделов: физическая акустика, которая изучает особенности распространения упругих волн в различных средах,- физиологическая акустика, изучающая устройство и работу звуковоспринимающих и звукообразующих органов у человека и животных, и др. В узком смысле слова под акустикой понимают учение о звуке, т. е. об упругих колебаниях и волнах в газах, жидкостях и твердых телах, воспринимаемых человеческим ухом (частоты от 16 до 20 000 Гц).
§ 6.1. Природа звука и его физические характеристики
Звуковые колебания и волны — частный случай механических колебаний и волн. Однако в связи с важностью акустических понятий для оценки слуховых ощущений, а также и в связи с медицинскими приложениями, целесообразно некоторые вопросы разобрать специально.
Принято различать следующие звуки: 1) тоны, или музыкальнее звуки; 2) шумы; 3) звуковые удары.
Тоном называется звук, являющийся периодическим процессом. Если этот процесс гармонический, то тон называется простым шли чистым, а соответствующая плоская звуковая волна описывается уравнением (5.48). Основной физической характеристикой чистого тона является частота. Ангармоническомуколебанию соответствует сложный тон. Простой тон издает, например, камертон, сложный тон создается музыкальными инструментами, аппаратом речи (гласные звуки) и т. п.
Сложный тон может быть разложен на простые. Наименьшая частота v0 такого разложения соответствует основному тону, остальные гармоники (обертоны) имеют частоты, равные 2v0, 3v0 и т. д. Набор частот с указанием их относительной интенсивности (или амплитуды А) называется акустическим спектром (см. § 5.4). Спектр сложного тона линейчатый; на рис. 6.1 показаны акустические спектры одной и той же ноты (v0 = 100 Гц), взятой на рояле (а) и кларнете (б). Таким образом, акустический спектр — важная физическая характеристика сложного тона.
Шумом называют звук, отличающийся сложной неповторяющейся временной зависимостью.
К шуму относятся звуки от вибрации машин, аплодисменты, шум пламени горелки, шорох, скрип, согласные звуки речи и т. п.
Шум можно рассматривать как сочетание беспорядочно изменяющихся сложных тонов. Если попытаться с некоторой степенью условности разложить шум в спектр, то окажется, что этот спектр будет сплошным, например спектр, полученный от шума горения бунзеновской газовой горелки (рис. 6.2).
S Звуковой удар — это кратковременное звуковое воздействие: хлопок, взрыв и т. п. Не следует путать звуковой удар с ^ударной волной (см. § 5.9).
Энергетической характеристикой звука как механической вол|ны является интенсивность (см. § 5.8).
На практике для оценки звука удобнее использовать не интенсивность, а звуковое давление, дополнительно возникающее при |прохождении звуковых волн в жидкой или газообразной среде. Шля плоской волны интенсивность связана со звуковым давлени|ем р зависимостью
где р — плотность среды, с — скорость звука.
Отношение этих интенсивностей равно 1013, поэтому удобнее использовать логарифмические единицы (см. § 1.1) и логарифмическую шкалу. Шкала уровней интенсивностей звука создается следующим образом: значение /0 принимают за начальный уровень шкалы, любую другую интенсивность I выражают через десятичный логарифм ее отношения к I0 (в белах, см. § 1.1):
Строго говоря, в этой формуле под р следует понимать амплитуду : звукового давления.
Измерение звукового давления в газах производится измерительным микрофоном, который состоит из датчика, преобразующего акустическую величину в электрический сигнал, электронного усилителя и электрического измерительного прибора (рис. 6.3). Эта схема является частным случаем общей структурной схемы (см. § 17.1).
|
|
|
Скачать 9.74 Mb.