Биофиз.РЕМИЗОВ. Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики

• Название: Механика. Акустика глава 4 Некоторые вопросы биомеханики
• Анкор: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Дата: 08.12.2017
• Размер: 9.74 Mb.
• Имя файла: Биофиз.РЕМИЗОВ.doc
• Тип: Документы; #10792
• страница: 4 из 41

§ 3.1. Основные понятия математической статистики

В главе 2 были рассмотрены некоторые понятия и закономер­ности, которым подчинены массовые случайные явления. Одной из практических задач, связанных с этим, является создание методов отбора данных (статистические данные) из большой совокупности и их обработки. Такие вопросы рассматриваются в мате­матической статистике.

Математическая статистика — наука о математиче­ских методах систематизации и использования статистиче­ских данных для решения научных и практических задач. Ма­тематическая статистика тесно примыкает к теории вероятностей и базируется на ее понятиях. Однако главным в математической статистике является не распределение случайных величин, а ана­лиз статистических данных и выяснение, какому распределению они соответствуют.

Предположим, что необходимо изучить множество объектов по какому-либо признаку. Это возможно сделать, либо проведя сплош­ное наблюдение (исследование, измерение), либо не сплошное, выбо­рочное.

Выборочное, т. е. неполное, обследование может оказаться предпочтительнее по следующим причинам. Во-первых, естест­венно, что обследование части менее трудоемко, чем обследование целого; следовательно, одна из причин — экономическая. Во-вто­рых, может оказаться и так, что сплошное обследование просто нереально. Для того чтобы его провести, возможно, нужно унич­тожить всю исследуемую технику или загубить все исследуемые биологические объекты. Так, например, врач, имплантирующий электроды в улитку для кохлеарного протезирования (см. § 6.5), должен иметь вероятностные представления о расположении улитки слухового аппарата. Казалось бы, наиболее достоверно та­кие сведения можно было получить при сплошном патологоанатомическом вскрытии всех умерших с производством соответствую­щих замеров. Однако достаточно собрать нужные сведения при выборочных измерениях.

Большая статистическая совокупность, из которой отбирается часть объектов для исследования, называется генеральной сово­купностью, а множество объектов, отобранных из нее, — выбо­рочной совокупностью, или выборкой.

Свойство объектов выборки должно соответствовать свойству объектов генеральной совокупности, или, как принято говорить, выборка должна быть представительной (репрезентативной). Так, например, если целью является изучение состояния здо­ровья населения большого города, то нельзя воспользоваться вы­боркой населения, проживающего в одном из районов города. Ус­ловия проживания в разных районах могут отличаться (различ­ная влажность, наличие предприятий, жилищных строений и т. п.) и таким образом, влиять на состояние здоровья. Поэтому выбор­ка должна представлять случайно отобранные объекты.

Если записать в последовательности измерений все значения величины х в выборке, то получим простой статистический ряд. Например, рост мужчин (см): 171, 172, 172, 168, 170, 169, ... . Та­кой ряд неудобен для анализа, так как в нем нет последователь­ности возрастания (или убывания) значений, встречаются и по­вторяющиеся величины. Поэтому целесообразно ранжировать ряд, например, в возрастающем порядке значений и указать их повторяемость. Тогда статистическое распределение выборки:

Здесь x_i— наблюдаемые значения признака (варианта); n_i— Число наблюдений варианты x_i (частота); р_i* — относительная Частота. Общее число объектов в выборке (объем выборки)

всегo kвариант. Статистическое распределение — это совокупность вариант и соответствующих им частот (или относительных растет), т. е. это совокупность данных 1-й и 2-й строки или 1-й и 3-й строки в (3.1).

В медицинской литературе статистическое распределение, со­стоящее из вариант и соответствующих им частот, получило название вариационного ряда.

Наряду с дискретным (точечным) статистическим распределением, которое было описано, используют непрерывное (интер­вальное) статистическое распределение:

Здесь x_l_ ₁, x_i— 1-й интервал, в котором заключено количествен­ное значение признака; n_i— сумма частот вариант, попавших в этот интервал; р* — сумма относительных частот.

В качестве примера дискретного статистического распределения укажем массы новорожденных мальчиков (кг) и частоты (табл. 5).

 

Таблица 5

2,7	2,8	2,9	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,6	3,7	3,8	3,9	4,0	4,1	4,2	4,3	4,4
1	2	3	7	8	12	13	10	7	6	5	6	6	5	3	3	2	1

Общее количество мальчиков (объем выборки)

Можно это распределение представить и как непрерывное (интер­вальное) (табл. 6).

Таблица 6

2,65-2,75	2,75-2,85	2,85-2,95	2,95-3,05	3,05-3,15	…
1	2	3	7	8	…

Для наглядности статистические распределения изображают графически в виде полигона и гистограммы.

Полигон частот — ломаная линия, отрезки которой соединяют точки с координатами (х₁; п₁), (х₂; п₂), ... или для полигона относи­тельных частот — с координатами (x₁; р*), (х₂; р^*), ... (рис. 3.1). Рис. 3.1 относится к распределению, представленному в табл. 5.

Гистограмма частот — совокупность смежных прямоуголь­ников, построенных на одной прямой линии (рис. 3.2), основания

прямоугольников одинаковы и равны а, а высоты равны отноше­нию частоты (или относительной частоты) к а:











Таким образом, площадь каждого прямоугольника равна соответ­ственно

 

Следовательно, площадь гистограммы частот и площадь гистограммы относительных частот

Наиболее распространенными характеристиками статистическо­го распределения являются средние величины: мода, медиана и средняя арифметическая, или выборочная средняя.

Мода (Мо) равна варианте, которой соответствует наиболь­шая частота. В распределении массы новорожденных (см. табл. 5) Мо = 3,3кг.

Медиана (Me) равна варианте, которая расположена в середи­не статистического распределения. Она делит статистический (ва­риационный) ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных ва­риант. В рассмотренном распределении (см. табл. 5) Me= 3,4 кг. Выборочная средняя (х_в) определяется как среднее арифмети­ческое значение вариант статистического ряда:

 

Для примера (см. табл. 5)

 

Для характеристики рассеяния вариант вокруг своего среднего значения х_ввводят характеристику, называемую выборочной дисперсией, — среднее арифметическое квадратов отклонения ва­риант от их среднего значения:

Квадратный корень из выборочной дисперсии называют выбороч­ный средним квадратическим отклонением:

Для примера (см. табл. 5)

 

 

 

 

§ 3.2. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке

Предположим, что генеральная совокупность является нор­мальным распределением (здесь вместо вероятности следует ис­пользовать относительную частоту). Нормальное распределение полностью определено математическим ожиданием (средним зна­чением) и средним квадратическим отклонением. Поэтому если по выборке можно оценить, т. е. приближенно найти, эти парамет­ры, то будет решена одна из задач математической статистики — определение параметров большого массива по исследованию его части.

Как и для выборки, для генеральной совокупности можно оп­ределить генеральную среднюю х_r— среднее арифметическое значение всех величин, составляющих эту совокупность. Учиты­вая большой объем этой совокупности, можно полагать, что гене­ральная средняя равна математическому ожиданию:

где X— общая запись случайной величины (значения изучаемого признака) генеральной совокупности.

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной сово­купности от их генеральной средней оценивают генеральной дис­персией

(N— объем генеральной совокупности) или генеральным сред­ним квадратическим отклонением

Точечная оценка. Предположим, что из генеральной совокуп­ности производятся разные выборки; делают это так, чтобы вся генеральная совокупность сохранялась неизменной. Для опреде­ленности будем считать объемы этих выборок одинаковыми и рав­ными п. Их выборочные средние х_1, х₂, ..., x_i., ... являются случай­ными величинами, которые распределены по нормальному зако­ну (см. конец § 2.3), а их математическое ожидание равно математическому ожиданию генеральной совокупности, т. е.генеральной средней:

На практике иногда при достаточно большой выборке за генераль­ную среднюю приближенно принимают выборочную среднюю.Для дисперсий положение получается несколько иным. Математическое ожидание дисперсий различных выборок [M(D_вi)], со­ставленных из генеральной совокупности, отличается от генеральной дисперсии:

При большом п получаем

Для генерального среднего квадратического отклонения соответ­ственно из (3.14) и (3.14а) получаем:

На практике иногда при достаточно большой выборке выбороч­ное среднее квадратическое отклонение приближенно принимают за генеральное среднее квадратическое отклонение. Так, если счи­тать, что статистическое распределение (см. табл. 5) является вы­боркой из некоторой генеральной совокупности, то на основании (3.6) и (3.9) можно заключить, что для этой генеральной совокуп­ности x_r ≈ 3,468 кг и σ_г ≈ 0,3896 кг.

Такого рода оценка параметров генеральной совокупности или каких-либо измерений определенными числами называется то­чечной оценкой.

Интервальная оценка генеральной средней. Точечная оцен­ка, особенно при малой выборке, может значительно отличаться от истинных параметров генеральной совокупности. Поэтому при не­большом объеме выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интер­вал, или доверительные границы), в котором с определенной (до­верительной) вероятностью р находится генеральная средняя.

 

Иначе говоря, р определяет вероятность, с которой осуществ­ляются следующие неравенства:

зуя функцию (3.18). Пределы интегрирования необходимо взять из выражения (3.19):

где положительное число е характеризует точность оценки.

Кроме доверительной вероятности используют «противопо­ложное» понятие — уровень значимости

который выражает вероятность непопадания генеральной сред­ней в доверительный интервал.

Доверительную вероятность не следует выбирать слишком ма­ленькой (не следует ее обесценивать). Наиболее часто р прини­мают равной 0,95; 0,99; 0,999. Чем больше р, тем шире интервал, т. е. тем больше е. Чтобы установить количественную связь между этими величинами, необходимо найти выражение для довери­тельной вероятности. Это можно сделать, используя (2.17), одна­ко нужно понять, что при этом следует взять за функцию распределения вероятностей и какие принять пределы ин­тегрирования. Рассмотрим этот вопрос.

Итак, генеральная совокупность распределена по нормальному закону с математическим ожиданием (средним значением) х_Ги дисперсией D_T. Если из этой генеральной совокупности брать раз­ные выборки с одинаковым объемом п, то можно для каждой вы­борки получить среднее значение х_в. Эти средние значения сами являются случайными величинами. Их распределение, т. е. рас­пределение средних значений разных выборок, полученных из одной генеральной совокупности, будет нормальным со средним значением, равным среднему значению генеральной совокупности х_т, дисперсией — и средним квадратическим отклонением (см. конец § 2.2).

Таким образом, х_вуже выступает как случайная величина, для нее можно записать следующую функцию распределения вероят­ностей [см. (2.22)]:

Из (3.16) можно записать для х_вследующие неравенства:

 

Вероятность того, что х_в попадает в этот интервал (доверитель­ную вероятность), можно найти по общей формуле нахождения р по х или т по р можно воспользоваться таол. ( или таблицей функции Ф (см. [2]).

 

 

Результаты интегрирования (3.20) найдем, используя функ­цию Ф (см. § 2.3). По формуле (2.25) получим

Обозначая

и учитывая (см. § 2.3), что Ф(-τ) = 1 - Ф(τ), получим из (3.21):

Таблица 7

τ	00	01	02	03	04	05	06	07	08	09
0,0	0,5	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,4	6554	6591	6628	6664	6700	6736	6772	6808	6844	6876
0,9	8159	8186	8212	8238	8264	8389	8315	8340	8365	8389
1,4	9192	9207	9222	9236	9251	9265	9279	9292	9306	9319
1,9	9713	9719	9726	9732	9738	9744	9750	9756	9761	9767

Хотя неравенства (3.16) и (3.19) по существу идентичны, но для практических целей важнее запись (3.16), так как она позво­ляет решить главную задачу — при заданной доверительной веро­ятности и найденной выборочной средней найти доверительный интервал, в который попадает генеральная средняя.

Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение εиз формулы (3.22):

Практически при нахождении доверительного интервала по фор­муле (3.24) берут выборочную среднюю некоторой конкретной вы­борки (объем п > 30), а вместо генеральной средней квадратичной используют выборочную среднюю квадратичную этой же выборки. Поясним это некоторым примером. Вновь обратимся к данным таблиц, считая их выборкой. Найдем доверительный интервал для генеральной средней, из которой эта выборка получена, счи­тая доверительную вероятность равной р = 0,95. Из (3.23) для такой доверительной вероятности получаем: Ф(τ) = 0,975.

В табл. 7 левый вертикальный столбец содержит значения с точ­ностью до десятых долей, а верхняя горизонтальная строчка дает сотые доли т, поэтому для Ф(х) = 0,975 имеем х = 1,9 + 0,06 = = 1,96. Подставляя это значение τ, выборочную среднюю (3.6), выборочное среднее квадратическое отклонение (3.9) и объем вы­борки (п = 100) в выражение (3.24),

или

Интервальная оценка генеральной средней при малой вы­борке. При достаточно большом объеме выборки можно сделать вполне надежные заключения о генеральной средней. Однако на практике часто имеют дело с выборками небольшого объема (п < 30). В этом случае в выражении доверительного интервала (3.16) точ­ность оценки определяется по следующей формуле:

где t— параметр, называемый коэффициентом Стьюдента (его на­ходят из распределения Стьюдента; оно здесь не рассматривает­ся), который зависит не только от доверительной вероятности р, но и от объема выборки п. Коэффициент Стьюдента. Запишем неравенство (3.16), подставив в него выражение из формулы (3.26): 4п - 1

Поясним использование формулы (3.26) следующим примером. Предположим, что из генеральной совокупности, которую исполь­зовали при составлении выборки (см. табл. 5), взяли 10 случайных данных и получили следующее распределение (табл. 9):

Таблица 9

Масса, кг	3,0	3,1	3,2	3,3	3,4	3,5	3,7	3,8	4,0	4,4
Частота	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1

Отсюда можно вычислить х_в = 3,54 кг, D_B = 0,19156 кг² и с_в = 0,43767 кг. Задав доверительную вероятностью = 0,95, находим для объема выборки п — 10 параметр t= 2,26. Подставляя эти данные в (3.26), получаем для доверительного интервала [см. (3.27)]:

Полезно сопоставить соотношения, полученные для большой (3.25) и малой (3.28) выборок.

Интервальная оценка истинного значения измеряемой ве­личины. Интервальная оценка генеральной средней может быть ис­пользована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую вели­чину. При этом по разным случайным причинам, вообще говоря, получают разные значения: x₁x₂, х₃, ... . Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (x_ист) совершенно точ­но измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства изме­рительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для этого значения.

Если значения x₁x₂, х₃, ... рассматривать как варианты выбор­ки, а истинное значение измеряемой величины х_ист как аналог ге­неральной средней, то можно по описанным выше правилам найти доверительный интервал, в который с доверительной вероятно­стью р попадает истинное значение измеряемой величины. Приме­нительно к малому числу измерений (п < 30) из (3.27) получим:

где х — среднее арифметическое значение из полученных измере­ний, а σ — соответствующее им среднее квадратическое отклоне­ние, t— коэффициент Стьюдента.

Более подробно и разносторонне оценка результатов измере­ний рассматривается в практикуме (см. [1]).