Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 10. ИСТЕЧЕНИЕ ИЗ ОБЪЕМА ЧЕРЕЗ ОТВЕРСТИЯ И НАСАДКИ 10.1. Истечение жидкости через отверстия и насадки при постоянном напоре Рассмотрим истечение жидкости в из резервуара в атмосферу через от- верстие в тонкой стенке, рис. 10.1. Здесь, как и в случае входа в трубу, на- блюдается сжатие струи за отверстием. Причиной этого является инерци- онность частиц, двигающихся к отверстию изнутри резервуара по ради- альным направлениям. За сжатым сечением струя практически не расши- ряется, а при достаточно большой скорости истечения может распадаться на отдельные капли. Рис. 10.1. Истечение жидкости из резервуара через отверстие в тонкой стенке Для вывода формул истечения применим уравнение Бернулли к сече- ниям а а (свободная поверхность жидкости в резервуаре) и с с (сжатое сечение струи), предполагая, что скорость опускания уровня в резервуаре мала 2 2 0 1 0 2 2 c c c w w gH p p , (10.1) где 0 коэффициент местного сопротивления, обусловленного входом жидкости в отверстие. Решая это уравнение относительно скорости в сжатом сечении, нахо- дим 0 1 0 0 2 p p w gH (10.2) где 0 0 1/ c коэффициент скорости. a a p 0 F 0 1 c c F c H 1 164 Введем коэффициент сжатия струи, определяемый как 0 / c F F (где F c – площадь сжатого сечения струи; F 0 – площадь отверстия) и коэффициент расхода отверстия, равный 0 . С учетом этих параметров можем запи- сать следующее выражение для расхода через отверстие 0 1 0 2 p p Q F gH (10.3) На величину коэффициента расхода влияют числа Фруда 0 Fr 2 / H d , Вебера 0 We 2 / gHd ( коэффициент поверхностного натяжения) и Рейнольдса. Однако при Fr 10, We 250...2500 коэффициент зависит только от числа Рейнольдса. Эта зависимость для круглого отверстия пока- зана на рис. 10.2. Рис. 10.2. Зависимость коэффициента расхода , истечения и сжатия струи от числа Рейнольдса Параметры струи, вытекающей из отверстия, можно изменять, если ис- течение организовывать через насадки. Рассмотрим действие цилиндриче- ского насадка, рис. 10.3, а. Рис. 10.3. Насадки, используемые для увеличения расхода При входе в него струя жидкости сжимается так же, как при истечении через отверстие, однако, поскольку она ограничена боковой поверхностью 165 насадка то образуется кольцевая вихревая область между поверхностями транзитной струи и трубы. За сжатым сечением струя расширяется и на выходе заполняет все сечение насадка. Поэтому на выходе из насадка под- жатия потока нет. В сжатом сечении образуется вакуум, так как скорость в нем выше, чем в выходном сечении, а давление на выходе равно атмосферному. Следова- тельно, при истечении через насадок перепад давления от свободной по- верхности резервуара до сжатого сечения выше, чем при истечении через отверстие. Таким образом, применение насадка позволяет увеличить рас- ход жидкости по сравнению с истечением через отверстие. Правда в по- следнем случае появляются дополнительные потери на расширение тран- зитной струи и на трение, которых нет при истечении через отверстие. Од- нако при длине насадка н н 3...4 l d эти потери много меньше, чем выиг- рыш от увеличения перепада давления. Расход при истечении через насадки определяется также по формуле (10.3), где коэффициент расхода зависит от числа Рейнольдса (как и при истечении через отверстие), а также от относительной длины насадка н н / l d . Величины определяются экспериментально. Максимальная величина коэффициента расхода достигается при 4 Re 10 , н н 2,5...3 l d и равна 0,8...0,82 Эффект увеличения расхода насадком возрастает, если применить ко- нический расходящийся насадок, см. рис. 10.3, б. Конический сходящийся насадок, см. рис. 10.3, в, служит для увеличения как расхода так и скорости струи. Увеличить коэффициент расхода насадка можно и за счет организа- ции плавного входа, что исключит сужение струи, см. рис. 10.3, д, е. 10.2. Истечение жидкости при переменном напоре Рассмотрим резервуар площадью поперечного сечения F, заполненный жидкостью до уровня H. Истечение жидкости происходит через насадок площадью живого сечения f при понижении уровня. Начальный объем жидкости равен V 0 , рис. 10.4. Рис. 10.4. Истечение жидкости при переменном напоре H dV h f dh F V 0 166 В технических приложениях обычно требуется определить текущий расход жидкости Q и время опорожнения Текущий расход жидкости, при условии, что избыточное давление в ре- зервуаре равно нулю, найдем по формуле 2 Q f gh , (10.4) где – коэффициент расхода насадка; h – текущая величина уровня жид- кости. Закон сохранения массы при истечении жидкости может быть записан в виде d 2 d V Q f gh t (10.5) С другой стороны, из геометрических соображений имеем d d d d V h F h t t , (10.6) где F h – текущая площадь сечения резервуара. Приравнивая левые части (10.5) и (10.6), получаем уравнение для опре- деления текущего уровня d 2 d h f gh t F h (10.7) Таким образом, имеем систему двух уравнений (10.5) и (10.7) для опре- деления V t и h t . Найдя эти величины, текущий расход определим по формуле (10.4), в время опорожнения – из условия 0 V Рассмотрим решение задачи для частного случая – цилиндрического резервуара. Тогда const F h и интегрируя (10.7) по уровню в пределах от Н до h, а по времени в пределах от 0 до t находим 2 g f h t H t F (10.8) Подставив (10.8) в (10.4), получаем 2 2 0 gf Q Q t F , (10.9) где 0 2 Q f gH – расход жидкости в начале истечения. Интегрируя (10.5) с учетом (10.9), по объему в пределах от V 0 до 0, а по времени в пределах от 0 до находим 2 2 2 0 0 0 2 f g Q V F (10.10) Решение уравнения (10.10) имеет вид 0 2 2 Q F f g (10.11) 167 Умножим и разделим (10.11) на 2Н и замечая, что 2 2 2 0 f gH Q и 0 FH V , получим 0 2 , (10.12) где 0 0 0 / V Q – время опорожнения резервуара при условии, что расход остается постоянным и равным начальному расходу. То есть время истечения жидкости из цилиндрического резервуара при переменном напоре в два раза больше времени истечения того же объема жидкости, происходящего при постоянном напоре, равном начальному на- пору. Если необходимо определить время t, необходимое для понижения уровня не до нуля, а от начального значения до промежуточной величины h, то из (10.8) найдем 2 2 F t H h f g (10.13) Необходимо отметить, что в расчетах мы полагали, что коэффициент расхода насадка не зависит от числа Рейнольдса. При малых величинах уровня, когда скорость истечения падает, данное допущение неверно. Учи- тывая зависимость скорости истечения жидкости из насадка (10.2), число Рейнольдса можем определить по формуле 2 Re g d h , (10.14) где – коэффициент кинематической вязкости жидкости. При Re < 10 время истечения можно с достаточной для практики точ- ностью вычислить по формуле 2 lg F H gfd h , (10.15) где d – диаметр насадка. 10.3. Истечение газа из объема через отверстие Найдем формулу для расчета расхода газа при его адиабатическом ис- течении из сосуда большого объема через отверстие в стенке, рис. 10.5. Рис. 10.5. К определению расхода газа через отверстие 168 Используем для этого уравнение Бернулли (4.64), записав его для двух сечений: в сосуде 0–0 и в минимальном сечении струи 1–1. По условию за- дачи площадь сечения резервуара значительно больше площади отверстия. Поэтому можно пренебречь скоростью движения газа в сечении 0–0. То есть принять u 0 = 0. Кроме того для газа величина потенциальной энергии «положения» gz в большинстве случаев пренебрежимо мала по сравнению с другими членами уравнения (4.64). Не будем также пока учитывать поте- ри энергии на преодоление сил вязкого сопротивления h . Тогда можем за- писать 2 0 1 1 0 1 1 1 2 p k k p u k k (10.16) Отсюда находим выражение для скорости в минимальном сечении струи 0 0 1 1 0 1 0 2 1 1 p k p u k p (10.17) В соответствии с уравнением адиабаты 1/ 0 1 1 0 / / k p p . Кроме то- го, статическое давление в струе р 1 равно давлению в окружающей среде р н , так как в противном случае внешняя граница струи будет перемещаться под действием перепада давлений 1 н p p до тех пор, пока эти давления не сравняются. То есть имеем равенство 1 н p p . Тогда с учетом этих выра- жений формулу (10.17) можем записать в виде 1 0 н 1 0 0 2 1 1 k k p k p u k p (10.18) Расход истекающего газа найдется, как 1 1 с G u F , где F с – площадь струи в минимальном сечении. Подставляя в эту формулу выражение для скорости (10.18) и учитывая равенство 1/ 1/ 1 0 1 0 0 н 0 / / k k p p p p , получим 2 1 н н с 0 0 0 0 2 1 k k k k p p G F p k p p (10.19) Обозначим для удобства дальнейшего изложения 0 н / p p через . Функ- ция, н G f , описываемая формулой (10.19), не монотонна. Она имеет максимум, который можно найти из условия d / d 0 G . Выполняя диф- ференцирование, получим 169 2 1 2 с 0 0 d 2 1 0 d 1 k k k F p G k k G k k k (10.20) Отсюда находим отношение давлений *, соответствующее максимуму функции (10.19) 1 2 * 1 k k k (10.21) Тогда максимальное значение расхода * G получится из (10.19) при * : 1 1 1 1 с 0 0 0 с 0 2 2 1 * 1 1 k k k k G F k p p F k k k RT (10.22) На рис. 10.6 показан график функции G = G/G* = f( ), построенный с использованием зависимостей (10.19) и (10.22) при k = 1,4. Как видим при увеличении разрежения (уменьшении ) расход возрас- тает до максимального значения 1 G . При дальнейшем уменьшении в соответствии с (10.19) расход должен падать до 0, как показано на рис. 3.7 пунктирной кривой. В действительности этого не происходит. При дости- жении максимума относительный расход остается постоянным вплоть до разрежения, соответствующего полному вакууму ( = 0). Для того, чтобы понять причину этого явления, найдем скорость газа в минимальном сече- нии струи u*, соответствующую максимальному расходу Рис. 5.6. Зависимость относительного расхода газа от перепада давлений 1 1 1 1 0 0 0 0 1 2 с 1 1 1 1 1 * 2 2 * 1 1 k k k k k p G p u k k F k k 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 G н 0 p p * G G * 170 1 1 1 1 1 1 0 1 1 н 1 1 1 0 2 2 1 1 k k k k k k k p p p k k k k p 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 * 1 1 1 k k k k k k k k p p p k k k a k k k (10.23) Как видим, в этом случае скорость в минимальном сечении струи ста- новится равной местной скорости звука а 1 . Физически это означает, что при понижении давления окружающей среды ниже критической величины * н 0 * p p возмущения разрежения уже не могут поникнуть внутрь сосуда и повлиять на характер течения, так как скорость распространения малых возмущений всегда равна скорости звука. Нетрудно заметить, что получившаяся величина критического отноше- ния давлений * равна газодинамической функции (1) * , что также свиде- тельствует о достижении в минимальном сечении струи скорости звука. Таким образом, для определения расхода газа G, истекающего из сосу- да через отверстие, должны использоваться соотношения 2 1 1 н н н о 0 0 0 0 0 1 1 1 н о 0 0 0 2 2 при ; 1 1 2 2 при , 1 1 k k k k k k k k k k p p p F p k p p p k G p F k p k p k (10.24) где , F o – коэффициент расхода и площадь отверстия соответственно. 10.4. Контрольные вопросы 1. Запишите формулу для расчета расхода при истечении жидкости из резервуара при постоянном расходе. 2. Какова величина коэффициента расхода при истечении жидкости че- рез отверстие в тонкой стенке? 3. Что является причиной увеличения коэффициента расхода при исте- чении жидкости через короткий цилиндрический насадок? 4. Дайте определение понятиям коэффициент сжатия и коэффициент скорости. 5. Какие основные соотношения используются при расчете истечения жидкости из резервуара при переменном напоре? 6. Каково время полного опорожнения цилиндрического резервуара? * См. раздел 8.10. 171 7. Дайте определение понятию критический перепад давлений при ис- течении газа из сосуда. 8. В чем причина «запирания» расхода при истечении газа из сосуда при понижающемся давлении окружающей среды? 9. От каких параметров зависит расход газа при его истечении из сосу- да, если параметры окружающей среды постоянны, а сосуд опорожняется? |