Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 8. ОДНОМЕРНАЯ ГИДРОГАЗОДИНАМИКА 8.1. Одномерная модель реальных потоков Если все параметры движущегося потока зависят только от одной, в общем случае криволинейной координаты, то такой поток называют одно- мерным. Простейшим примером одномерного потока является течение в элементарной трубке тока, благодаря малой площади поперечного сечения которой скорости течения и другие параметры среды распределены одно- родно в пределах каждого сечения. Хотя реальные потоки конченых размеров, строго говоря, не могут счи- таться одномерными, но некоторые из них могут быть сведены к одномер- ной модели. Так, например, при течении вязкой жидкости в трубе или в канале между двумя параллельными стенками имеет место неоднородное распределение скорости поперек потока, но эта неоднородность зачастую бывает несущественна во многих технических задачах, где достаточно знать среднюю по сечению потока (среднерасходную) скорость w: 1 d S Q w u S S S , (8.1) где S – площадь живого сечения потока; Q – объемный расход среды через данное сечение; u – местная скорость движения. Тогда, заменив истинные, неоднородно распределенные по сечению скорости их средним значением w, и приняв давление постоянным по живому сечению, прейдем к одно- мерной модели потока. В общем случае течение в канале трехмерное. Однако, если кривизна линий тока в реализующемся течении мала, а также мал угол, образую- щийся между соседними линиями тока (рис. 8.1 а), то такой поток можно приближенно считать одномерным. Потоки, удовлетворяющие этим усло- виям, называют плавноизменяющимися. Рассмотрим свойства таких тече- ний. На рис. 8.1 б показано живое сечение M N плавно изменяющегося по- тока с местной системой координат , , x y z а) б) Рис. 8.1. Одномерное приближение плавно изменяющегося течения x x’ M A N z’ z y’ g dz dz ’ 113 Для простоты будем считать жидкость несжимаемой, а живое сечение плоским. В плавно изменяющемся течении, ввиду малых величин углов , образуемых линиями тока, поперечные составляющие скорости пренебре- жимо малы, то есть 0 z u , 0 y u . Следовательно равны нулю проекции на оси , y z силы вязкости. Тогда проекции уравнения Навье-Стокса на оси , y z для рассматриваемого живого сечения можно записать в виде 1 1 0, 0 y z p p f f y z (8.2) Пусть объемная сила представляет собой силу тяжести, тогда ее проек- ции на оси местной системы координат запишутся следующим образом 0, cos y z z f f g g z (8.3) С учетом (8.3) уравнения (8.2) примут вид 1 0, cos 0 p p g y z (8.4) Из первого уравнения следует, что в пределах живого сечения давление зависит только от координаты z . Тогда второе уравнение можно проин- тегрировать по z : cos const или const p p gz gz (8.5) Таким образом, с точностью до гидростатической составляющей gz давление можно считать постоянным в пределах живого сечения плавно изменяющегося потока. 8.2. Уравнение Бернулли для одномерного потока вязкой несжимаемой жидкости Рассмотрим установившееся движение ограниченного стенками канала плавно изменяющегося потока несжимаемой жидкости. Уравнение Бер- нулли вдоль каждой линии тока такого течения имеет вид 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 p u p u z z h g g g g , (8.6) где индексами 1 и 2 отмечены значения параметров среды, относящиеся к сечениям F 1 и F 2 Умножим правую и левую часть (8.6) на соответствующее произведе- ние gu и проинтегрируем полученное уравнение по площади живого се- чения * потока F 1 и F 2 * Живым называется сечение, в каждой точке которого направление вектора скоро- сти совпадает с направлением нормали к нему. 114 1 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 d d 2 2 F F p u p u z g u F z g h g u F (8.7) Учитывая, что в пределах живого сечения выполняется равенство (8.5), последнее уравнение можем записать в виде 1 2 1 2 2 3 3 1 1 2 2 2 1 1 1 d d d 2 2 F F F z g p u F z g p u F h gu F Q Q Q , (8.8) где 1 2 1 2 d d F F Q u F u F wF расход жидкости (w – средняя по живому сечению скорость потока). Введем обозначения 3 3 1 1 d , d F F p h gu F u F Q w F (8.9) Интеграл вида 2 3 d d 2 2 F F u u F u F представляет собой кинетическую энергию потока, переносимую в единицу времени через сечение F потока. Величина 2 2 w wF может быть истолкована, как поток кинетической энер- гии через то же сечение при постоянной в данном сечении скорости, рав- ной среднерасходной w. Поэтому величина , выражаемая вторым равен- ством (8.9), представляет собой отношение истинного потока кинетиче- ской энергии (при неравномерном распределении скорости по сечению) к потоку кинетической энергии, определенному по среднерасходной скоро- сти. Этот параметр называют коэффициентом Кориолиса. Величина его всегда больше единицы и зависит то распределения скорости в живом се- чении. Например, для развитого ламинарного течения в круглой трубе ко- эффициент Кориолиса = 2, а для турбулентного 1,1. При значительной неравномерности скорости, например в криволинейных каналах, он может достигать больших величин. С учетом введенных обозначений уравнение Бернулли для плавноизме- няющегося потока * вязкой несжимаемой жидкости примет вид 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 w w gz p z p p (8.10) Каждый из членов уравнения имеет размерность давления и представ- ляет собой тот или иной вид удельной (отнесенный к единице объема) * Строго говоря, выполнение условия плавного изменения потока требуется только для окрестности сечений F 1 и F 2 , так как при выводе уравнения (8.10) допущение плавного изменения сделано только для окрестности указанных се- чений. Между этими сечениями данное условие может нарушаться. 115 энергии потока: gz – потенциальной энергии объемных сил (тяжести); р потенциальной энергии упругого состояния (поверхностных сил давле- ния); 2 / w g кинетической энергии; р безвозвратные потери меха- нической энергии, преобразующиеся в теплоту. В целом уравнение (8.10) описывает закон сохранения механической энергии между сечениями 1 и 2 одномерного плавноизменяющегося потока жидкости. Давление р называется статическим давлением потока, которое, буду- чи выраженным в избыточных единицах, равно пьезометрическому давле- нию, см. раздел 5.4. Сумма 2 0 / 2 p w p называется полным давлением. Полное давление равно давлению потока, заторможенному в рассматри- ваемой точке пространства без потерь механической энергии. С учетом введенного понятия полного давления, р можно рассматривать, как поте- ри полного давления между рассматриваемыми сечениями потока. Состав- ляющая полного давления, соответствующая кинетической энергии пото- ка, называется динамическим давлением 2 д / 2 p w В технических приложениях широко применяется форма уравнения Бернулли, все члены которого имеют размерность длины. Она получается из (8.10) путем деления правой и левой части на g: 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 2 2 p w p w z z h g g g g (8.11) Составляющие данного уравнения Бернулли имеют следующие наиме- нования. Величину 2 гд 1 2 p w H z g g называют гидродинамическим на- пором, величину п p H g пьезометрическим напором, 2 2 w w H g ско- ростным напором, а h – потерей напора. Как видим все члены уравнения (8.11) имеют размерность длины, кото- рым можно дать следующую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим истечение жидкости из резервуара через трубопровод переменного сече- ния, рис. 8.2. Выделим в трубопроводе три сечения 1 1, 2 2 и 3 3, в каждом из кото- рых установим трубки Прандтля (для измерения пьезометрического напо- ра) и Пито (для измерения полного напора, то есть суммы пьезометриче- ского и скоростного). Тогда разность показаний трубок Пито и Прандтля есть величина скоростного напора 2 / 2 w g . Рассмотрим показания тру- бок в каждом сечении. Сечение 1 1. Мениск в трубке Пито не достигает уровня воды в резер- вуаре, так как часть напора 1 h будет затрачена на преодоление сил сопро- тивления при входе в трубопровод. 116 Сечение 2 2. Площадь живого сечения F 2 меньше F 1 , поэтому, в соот- ветствии с уравнением неразрывности, 2 1 w w . Разность показаний трубок Пито в первом и во втором сечениях – есть величина потерь напора на преодоление внешних сил сопротивления между этими сечениями 1 2 2 1 h h h Рис. 8.2. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли Сечение 3 3. Площадь живого сечения F 2 меньше F 3 , поэтому 2 3 и w w 2 2 3 3 2 2 2 2 w w g g , то есть скоростной напор Н w при движении от второго сечения к третьему падает. За счет этого пьезометрический напор Н п возрастает. Полный же напор (показания трубок Пито) падает так как между сечениями 2 2 и 3 3 имеются потери механической энергии 2 3 3 2 h h h Геометрическая трактовка уравнения Бернулли заключается в том, что пьезометрический напор H п есть высота, на которую может подняться сво- бодная поверхность движущейся жидкости относительно рассматриваемо- го сечения трубопровода. Сумма пьезометрического и динамического на- поров H п + Н w есть высота, на которую может подняться свободная по- верхность полностью заторможенной жидкости относительно рассматри- ваемого сечения трубопровода, то есть характеризует максимально воз- можную высоту подъема. Линия полного напора всегда опускается, так как часть механической энергии потока превращается в тепловую, то есть те- H гд0 z 1 z 2 z 3 h 1 h 2 h 3 H w 1 H w 2 H w 3 H п 1 H п2 H п3 напорная линия ( ) плоскость плоскость сравнения пьезометрическая линия линия полного напора (энергии) 1 0 2 3 1 0 2 3 117 ряется. При этом сумма всех четырех высот z, H п , Н w и h остается посто- янной, так как отражает запас полной энергии потока в начальном сечении. 8.3. Природа потерь полного давления (напора). Структура общих формул для потерь напора Потери полного давления при движении вязкой жидкости обусловлены деформациями движущейся среды (вследствие взаимодействия с ограни- чивающими поток стенками, находящимися в потоке элементами уст- ройств и механизмов), возникновением в результате сдвиговых деформа- ций касательных вязкостных напряжений. Работа этих напряжении и при- водит к диссипации механической энергии. При рассмотрении потока, ограниченного внешними стенками, все внешние факторы, обуславливающие потери механической энергии дви- жущейся жидкости, называют гидравлическими сопротивлениями. Для того чтобы использовать уравнение Бернулли для решения при- кладных задач необходимо предварительно установить зависимости, по- зволяющие определить величины потерь напора (полного давления), обу- словленные гидравлическими сопротивлениями. Гидравлические потери по физической природе их проявления подразделяются на два типа: 1. Местные потери (потери на местных сопротивлениях), обуслов- ленные изменением по величине и направлению скорости движения жид- кости, которое сопровождаются образованием вихревых зон. Местные по- тери локализованы на участке канала потока небольшой протяженности, причиной их возникновения является наличие уступов, резких изгибов стенок канала, слияние нескольких потоков или разветвление потока на несколько каналов, наличие регулирующих или запорных элементов (гид- равлической арматуры) в рассматриваемом участке канала и т. п. 2. Потери на трение – распределенные по длине канала потери, возни- кающие как следствие затрат энергии на преодоление сил трения жидкости о стенки. Под этими потерями понимают потери, возникающие в протя- женных каналах с приблизительно постоянной площадью живого сечения и установившимся профилем скорости в нем, то есть при равномерном движении жидкости. В реальных потоках участки равномерного движения жидкости могут чередоваться с местными сопротивлениями, число частных видов которых чрезвычайно велико. При подсчете полных потерь применяется принцип сложения, согласно которому полные потери давления равны сумме потерь на отдельных участках равномерного движения и потерь на всех местных сопротивлениях тр м 1 1 n m i j i j p p p , (8.12) 118 где мi p потери полного давления на трение на i-ом участке равномер- ного движения; м j p потери полного давления на j-ом местном сопро- тивлении. В терминах напора выражение (8.12) примет вид тр м 1 1 n m i j i j h h h (8.13) Несмотря на то, что структура потока и механизм потерь в местных со- противлениях и на участке равномерного движения существенно различ- ны, исходя из общих законов гидродинамики можно установить структуру общих формул, выражающих потери в любом сопротивлении. Из этих об- щих формул в некоторых случаях удается получить теоретические форму- лы для конкретных видов сопротивлений, а в других – приходится допол- нительно использовать эмпирические данные. Формула расчета потерь на трение. Рассмотрим равномерный поток жидкости в цилиндрической трубе, в которой отсутствуют местные сопро- тивления. В установившемся потоке движущая сила – сила перепада дав- ления уравновешивается силой сопротивления за счет трения: 1 2 б p p F F , (8.14) где напряжение трения; F б – площадь боковой поверхности трубы. Для круглой трубы 2 б / 4, F d F dL и (8.14) принимает вид 1 2 тр 4 L p p p d (8.15) Разделив и умножив правую часть на динамическое давление 2 / 2 w , получим 2 тр 2 w L p d , (8.16) или 2 тр 2 w L h g d , (8.17) где коэффициент гидравлического трения, определяемый по формуле 2 8 w (8.18) Впервые формула (8.16) была получена экспериментально в XIX веке и названа формулой Дарси-Вейсбаха. Величина коэффициента гидравлического трения находится с исполь- зование экспериментальных данных. Для удобства использования эти экс- периментальные данные должны быть обобщены. Обобщенный вид зави- симости для определения коэффициента может быть установлен, напри- мер, исходя из следующих соображений теории размерностей. 119 Из общих физических представлений можно предположить, что вели- чина потерь давления на трение р тр является функцией скорости течения w, плотности , коэффициента динамической вязкости жидкости, диа- метра d, длины L трубопровода и средней высоты бугорков шероховатости его стенок k * . То есть имеем следующую функциональную зависимость тр , , , , , , 0 f p w d L k , (8.19) связывающую между собой 7 размерных величин. Величин, имеющих не- зависимые размерности в данной задаче 3, так как за основные размерно- сти в механике приняты: метр, секунда, килограмм массы. Следовательно, в соответствии с -теоремой зависимость (8.19) может быть преобразована к зависимости между четырьмя безразмерными комплексами – числами подобия. В качестве величин с независимыми размерностями примем плотность, скорость и диаметр. Оставшиеся четыре величины р тр , l, k, служат «основой» для формирования четырех безразмерных комплексов. Два комплекса следуют из полученной ранее формулы (8.16). Первый из них построен на основе величины р тр и это число Эйлера 1 2 тр Eu / p w . Второй, сформированный на основе величины L, пред- ставляет собой относительную длину трубопровода 2 / L d . Третий комплекс, в котором «задействована» величина k, для того, чтобы быть безразмерным параметром, должен иметь вид, аналогичный 2 . То есть это относительная высота бугорков шероховатости 3 / k d . Четвертый ком- плекс, который формируется на основе величины , очевидно, представля- ет собой число Рейнольдса 4 Re wd (8.20) Таким образом, зависимость (8.19) может быть представлена в виде Eu, , , Re 0 L k f d d (8.21) Придадим ей более ясный для нашей задачи вид, для чего вновь обра- тимся к формуле (8.16), которую запишем следующим образом Eu 2 L d (8.22) Сравнивая (8.21) и (8.22), можем сделать вывод, что коэффициент гид- равлического трения в общем случае должен быть функцией двух пара- метров * Эти предположения подтверждаются опытными данными и результатами теоре- тических исследований. |