Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
1 и 2 2 сети, пренебрегая скоростью перемещения уровня в баке всасывания, см. рис. 9.4. 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 w p gz p gz p (9.29) или 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 w p p g z z p , (9.30) где 1 2 p потери полного давления во всасывающем трубопроводе. Из уравнения (9.30) видно, что работа всасывающей линии обеспечива- ется давлением р 1 в баке, которое тратится на подъем жидкости на высоту 2 1 z z , создание динамического давления 2 д2 2 2 / 2 p w , преодоление сопротивления трубопровода 1 2 p и должно обеспечивать безкавитаци- онную работу насоса. Регулирование расхода. Как следует из приведенного выше определения рабочей точки, изменение расхода, создаваемого насосом при его работе в сети, может быть осуществлено путем изменения характеристики сети (изменения ее гидравлического сопротивления). Пусть нам необходимо уменьшить расход от Q 1 до Q 2 . Для этого тре- буется так изменить гидравлическое сопротивление сети, чтобы ее характеристика пе- ресекла характеристику насоса в точке с расходом Q 2 (рис. 9.6). При этом, так как новая рабочая точка должна лежать на характеристике насоса, то давление в сети возрастет р 2 > р 1. Как видно из рис. 9.6, при расходе Q 2 гидравлическое сопротивление сети должно быть увеличено на р с . Такое изменение гидравлического сопротивления достигается за счет установки регулирующего клапана с изменяемым коэффициентом гидравличе- ского сопротивления з , см. рис. 9.4. Требуемое изменение коэффициента гидравличе- ского сопротивления з может быть определено по формуле 2 тр с з 2 2 F p Q , (9.31) где F тр – площадь прохода трубопровода в месте установки клапана. Данный метод ре- гулирования называется регулированием расхода путем дросселирования. 152 Изменение мощности, потребной на привод насоса при уменьшении расхода, со- ставит 2 1 2 1 N p p Q Q (9.32) Так как р 2 > р 1 , то уменьшение мощности не пропорционально падению расхода. А при «крутой» характеристике насоса потребная мощность может даже и возрасти. Рис. 9.6. Регулирование расхода дросселированием Таким образом, данный метод регулирования расхода не является эффективным с точки зрения потребных энергозатрат. Избежать дополнительных затрат мощности можно, если изменить характеристику насоса таким образом, чтобы она пересекла характеристику сети в точке с расходом Q 2 (рис. 9.7). Рис. 9.7. Регулирование расхода изменением частоты вращения рабочего колеса Рассмотрим возможность такого изменения характеристики насоса. Характеристика центробежного насоса зависит не только от его конструкции, но и от частоты вращения рабочего колеса n. При этом расход, создаваемый центробежным насосом, пропорцио- нален частоте вращения, а давление – пропорционально квадрату частоты: 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 25 30 35 новая рабочая точка p сеть , p н Q исходная рабочая точка Q 1 Q 2 p сеть , p н Q исходная характеристика сети характеристика насоса исходная рабочая точка Q 1 Q 2 измененная характеристика сети p 2 p 1 p c 0 50 100 150 200 250 300 0 5 10 15 20 25 30 35 парабола подобных режимов p сеть , p н Q новая рабочая точка Q 1 Q 2 p сеть , p н Q характеристика сети исходная характеристика насоса (при n 0 ) исходная рабочая точка Q 1 Q 2 измененная характеристика насоса (при n < n 0 ) p 2 p 1 Q н0 , p н0 153 2 0 н н 0 0 0 , n n Q Q p p n n , (9.33) где 0 н 0 , Q p расход и давление, создаваемые насосом при «базовой» частоте враще- ния n 0 . По этим формулам можно пересчитать характеристику насоса на новую частоту вращения n, если известна характеристика при базовой частоте n 0 . То есть частота вра- щения n однозначно определяет вид рабочей характеристики при неизменной конст- рукции насоса н н н , p f Q n . Покажем, что можно подобрать такую частоту враще- ния, при которой характеристика насоса пройдет через точку, лежащую на характери- стике сети при расходе Q 2 Исключив из (9.33) частоту n, получим зависимость, связывающую давление р н насоса и расход Q при изменении частоты вращения: н 0 2 н 2 0 p p Q Q , (9.34) которую называют параболой подобных режимов. Параметры в рабочей точке р 2 и Q 2 известны из характеристики сети. Так как тре- буется, чтобы новая характеристика насоса проходила через эту точку, то следователь- но, парабола подобных режимов при искомой частоте n должна проходить через новую рабочую точку ( р 2 , Q 2 ), а при базовой частоте n 0 она пересечет исходную характери- стику насоса в некоторой точке р н0 , Q н0 , см рис. 9.7. Следовательно, можем записать следующие соотношения н 0 2 2 2 2 0 p p Q Q ; (9.35) н0 н н0 0 , p f Q n (9.36) Из (9.35) и (9.36) можно найти неизвестные величины р н0 и Q н0 , и тогда из любой формулы (9.33) находится новая частота вращения рабочего колеса насоса n. Следова- тельно, существует частота вращения n, при которой характеристика насоса пересечет характеристику сети в точке с заданным расходом. То есть, изменяя частоту вращения рабочего колеса насоса можно регулировать расход жидкости так, что рабочая точка будет перемещаться по характеристике сети. Уменьшение потребной мощности при рассматриваемом изменении расхода составит 3 3 2 1 2 1 N a Q Q b Q Q , где а, b – коэффициенты в характеристике сети, см. формулу (9.28). 9.6. Расчет трубопроводов при движении газов Приближение несжимаемой жидкости. Как мы видели ранее (см. раз- дел 8.10), если движение газа происходит с числами Маха не более М = 0,1…0,2, то газ с достаточной точностью может считаться несжимае- мой жидкостью. Кроме того, ввиду низкой плотности газа влияние объем- ных сил на движение газового потока зачастую оказывается пренебрежимо малым по сравнению с действием поверхностных сил. Поэтому в боль- шинстве случаев гидростатическая составляющая давления может быть отброшена и уравнение Бернулли при расчете газоводов принимает вид 154 2 2 1 1 2 2 1 2 тр м 2 2 w w p p p p (9.37) В остальном описанные выше методы расчета трубопроводов с несжи- маемой жидкостью пригодны и для расчета газовых низкоскоростных по- токов. Переменная плотность движущейся среды. При расчете газовых тру- бопроводных систем встречаются случаи, когда в различных участках тру- бопроводов газ имеет существенно различную плотность, что обусловлено различным уровнем давления в данных участках трубопроводной сети. Например, существенно могут отличаться давление и плотность во всасы- вающем и нагнетательном трубопроводах компрессора, в газовых трубо- проводах до и после редукционного клапана и др. Для расчета таких систем их необходимо разбить на участки, в преде- лах которых плотность газа можно считать постоянной. После разбиения движение газа по каждому такому участку рассчитывается независимо. При этом для каждого из участков используется приближение несжимае- мой жидкости. Сложнее для расчета случай, когда газопровод имеет повышенное со- противление. В результате статическое давление существенно изменяется его по длине, что приводит и к соответствующему изменению плотности, и приближение несжимаемой жидкости для расчета параметров движения газа применять недопустимо. 9.6.1 Изотермическое течение газа с большими перепадами давления Такой режим характерен, например, для транспортных газопроводов, протяженных систем водухораспределения и пр., где вследствие сущест- венных потерь давления, плотность газа в конце трубопровода значительно меньше, чем в начале, а скорость течения, в соответствии с уравнением не- разрывности, – больше. Основным видом потерь в таких трубопроводах являются потери на трение. Часто газовые трубопроводы работают под давлением значительно больше атмосферного при относительно низких скоростях течения. В та- ких случаях в уравнении Бернулли оказывается возможным пренебречь и динамической составляющей давления. Сказанное можно подтвердить следующим примером. Пусть при течении воздуха реализовались следую- щие параметры: 5 1 3 10 Па p , 5 2 1 10 Па p , 1 20 м/с w , 2 25 м/с w , 300 T K . Тогда плотность воздуха в начальном сечении трубопровода 5 3 1 / 3 10 / 287 300 3,48 кг/м p RT . Изменение динамического давления можно оценить величиной 155 2 2 2 1 дин 625 400 3, 48 392 Па 2 2 w w p То есть перепад статического давлений 1 2 p p в 500 раз превышает изменение динамического давления. С учетом изложенного дифференциальное уравнение Бернулли (4.55) (4.58) для рассматриваемого случая можно записать в виде (считая коэф- фициенты Кориолиса равными единицы) тр d d p p , (9.38) или, используя формулу Дарси-Вейсбаха, 2 d d 2 w l p d (9.39) Для интегрирования этого уравнения необходимо знать зависимость плотности , скорости w и коэффициента трения от длины l. Эти зависи- мости следуют из характера термодинамических процессов, имеющих ме- сто при течении газа. Например, в случае адиабатического процесса тем- пература газа будет падать по мере продвижения газа, сопровождающееся его расширением вследствие падения статического давления. На практике часто встречаются случаи течения газа по нетеплоизолированному трубо- проводу. С достаточной степенью точности такое течение можно считать изотермическим, в котором температура газа все время равна температуре окружающей среды. Такой расчетный случай значительно проще для ре- шения, чем режим адиабатического течения. Рассмотрим его более под- робно. Заметим, что при стационарном течении (с постоянным массовым рас- ходом G) число Рейнольдса при изотермическом течении постоянно по длине трубопровода: 2 4 4 4 Re const при const 4 4 wd wdd w d G G d d d Следовательно, коэффициент трения является также постоянной ве- личиной. Скорость w и плотность в любом промежуточном сечении свя- заны со скоростью w 1 плотностью 1 в начальном сечении уравнением не- разрывности. То есть имеем 1 1 1 1 1 1 , p p w w w p p (9.40) Первое соотношение (9.40) следует из уравнения состояния газа и ус- ловия изотермичности процесса. Проинтегрируем (9.39) с учетом (9.40) и замечания о постоянстве 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 p p l w p d , (9.41) 156 или, учитывая, что 1 wF G (где F – площадь сечения трубопровода), 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 p p l G p d F (9.42) Запишем (9.41) в виде 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2 p p l w p d (9.43) Преобразуем левую часть последнего уравнения следующим образом 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 p p p p p p p p p p p p (9.44) Запишем давление в конце трубопровода в виде 2 1 p p p . Подстав- ляя (9.44) с учетом последнего выражения в уравнение (9.43), получим 2 1 1 2 1 1 2 2 2 l w p p p d p (9.45) Уравнение (9.45) отличается от формулы Дарси-Вейсбаха для опреде- ления потерь на трение при движении по трубопроводу несжимаемой жид- кости только наличием множителя, зависящим от отношения 1 / p p . Если 1 / 5 % p p , то пренебрежение этим множителем дает ошибку в опреде- лении давления 2,5 %, что допустимо для большинства инженерных рас- четов. Таким образом, необходимость учета сжимаемости при расчете движе- ния газа зависит не от величины абсолютного давления в начале или конце трубопровода, а от относительной величины потерь давления на рассчиты- ваемом участке. При 1 / 5 % p p расчет можно вести с использованием соотношений для несжимаемой жидкости. При 1 / 5 % p p необходимо использовать уравнение типа (9.41). Для расчета коэффициента трения в этом случае, как и прежде можно использовать формулы, полученные для несжимаемой жидкости. Если известен перепад давлений на концах трубопровода, то расход га- за можно найти по формуле, следующей из уравнения (9.42) 2 2 1 2 1 p p d G F RT l (9.46) 9.6.2 Адиабатическое течение газа Такой режим течения характерен для систем пневмопривода техноло- гического оборудования, когда рабочий газ, например воздух, подается в исполнительный механизм, например, силовой пневмоцилиндр. В этом случае на входе в трубопровод известны параметры газа: давление р 0 или 157 плотность 0 0 0 / p RT , где Т 0 – температура газа в источнике питания. На выходе из трубопровода также может быть определено давление р N из условий работы силового пневмоцилиндра. Систему уравнений для данного режима движения газа получим, ос- реднив по площади сечения трубопровода F уравнение неразрывности (4.9) и Бернулли (4.55), считая течение одномерным с равномерным рас- пределением параметров и пренебрегая объемными силами. При этом уч- тем, что функция давления для адиабатического газа выражается фор- мулой (4.38). Проекцию на ось трубопровода х члена а , входящего в пра- вую часть уравнения (4.55), найдем исходя из его физического смысла – удельная (отнесенная к единице массы) сила сопротивления трения * . Тогда можем записать 2 d d 2 x x w w a F x F d w , (9.47) где d – периметр трубопровода; 2 8 2 w – напряжение трения на его стенках; – коэффициент гидравлического трения. Множитель / w w добавлен в формулу (9.47) для того, чтобы сила трения была направлена противоположно вектору скорости. С учетом (9.47) и сделанных допущений уравнение неразрывности и Бернулли для рассматриваемого случая примут вид 0 w t x ; (9.48) 2 2 1 2 2 w k p w w w t x k d w (9.49) Замыкающим соотношением для уравнений (9.48), (9.49) является уравнение адиабаты Пуассона const k p . Составленная система уравне- ний совместно с граничными условиями должна интегрироваться каким- либо численным методом. Необходимо сделать некоторые пояснения относительно задания гра- ничных условий. В качестве одного из условий на левой, либо правой гра- нице канала должно быть обязательно задано условие, включающее ско- рость течения w. С помощью уравнения адиабаты плотность или давление могут быть исключены из уравнений (9.48), (9.49). Получится два диффе- ренциальных уравнения относительно переменных , p w или , w . Ско- рость из уравнений не исключается. Поэтому она обязательно должна при- * Так как d a s есть удельная (отнесенная к единице массы) потеря механической энергии на преодоление сил трения. 158 сутствовать в одном из граничных условий. Это может быть сделано, на- пример, следующим образом с использованием формулы Вейсбаха 2 1 0 вх 1 2 w p , где вх – потери полного давления на входе в трубопровод; 1 1 , w – плот- ность и скорость во входном сечении трубопровода. Подчеркнем еще раз, что данная задача является краевой, то есть гра- ничные условия задаются на противоположных концах канала. Корректно сформировать граничные условия для двух переменных , p w или , w в начальном сечении трубопровода невозможно. Рассмотрим частный случай стационарного течения. В этом случае вместо системы (9.48), (9.49) имеем const wF G , (9.50) 2 2 d d 1 2 2 k p w w x k d , (9.51) где G – массовый расход газа. Несмотря на то, что в такой постановке имеется всего одно дифферен- циальное уравнение и оно интегрируется при задании начальных условий, то есть условий в начальном сечении трубопровода, сформировать сразу эти начальные условия, отвечающие решению общей постановки задачи, невозможно. Для решения общей задачи расчета трубопровода приходится делать несколько итераций, на каждой из которых необходимо интегриро- вать уравнение (9.51). Покажем это. Путем замены переменных, с исполь- зованием (9.50) и уравнения адиабаты можно исключить из (9.51), напри- мер, плотность и скорость. Тогда получим следующее уравнение относи- тельно давления 1 2 2 , d d 1 2 k k k k G d k p bp bp x k d , (9.52) где 2 1 1 1 1 2 k p G b F ; 1 1 , p – давление и плотность в начальном сечении трубопровода. Обычно температура газа Т в источнике питания неизменна. Следова- тельно, давление и плотность в начальном сечении однозначно связаны уравнением состояния 1 1 p RT Рассмотрим первую задачу расчета трубопроводов, см. раздел 9.1. За- дан расход G, давление в конце трубопровода р 2 и его диаметр. Требуется найти давление в начале трубопровода р 1 , обеспечивающее заданный рас- 159 ход. Если задаться некоторой величиной давления р 1 , то по уравнению со- стояния можно найти плотность 1 . После этого коэффициенты b и могут быть найдены и, следовательно, уравнение (9.52) может быть проинтегри- ровано по длине трубопровода с начальным условием 1 0 p x p . Если в результате интегрирования в конце трубопровода реализуется величина давления, отличающаяся от требуемой, то следует изменить давление р 1 и повторить процедуру вычислений. Расчеты повторяются до получения со- ответствия расчетного давления в конце трубопровода требуемому значе- нию р 2 Рассмотрим вторую задачу расчета трубопровода: заданы давления в начале р 1 , в конце р 2 трубопровода и его диаметр, требуется определить расход G. Алгоритм расчетов аналогичен алгоритму предыдущей задачи. Только в этом случае варьировать следует расходом, добиваясь получения давления в конце трубопровода равного требуемому значению р 2 Аналогично решается и третья задача, когда заданы давления р 1 , р 2 и расход G, а ищется диаметр d. 9.6.3 Неадиабатическое течение газа Такой режим реализуется, например, при течении продуктов сгорания в системе выхлопа, либо при течении воздуха в каналах системы охлажде- ния оборудования. Для решения этой задачи необходимо привлечение уравнения сохранения энергии. Данная задача также является краевой. В качестве граничных условий чаще всего (исходя из возможных техниче- ских приложений задачи) в начальном сечении трубопровода могут быть заданы: давление р 0 и температура Т 0 , либо расход 0 0 w F и температура, а в выходном сечении – давление р N . Система уравнений для расчета движе- ния газа получается путем осреднения по площади сечения трубопровода уравнения неразрывности (4.9), проекции на ось канала х уравнения Навье- Стокса (4.15) и уравнения сохранения энергии (4.72) при тех же допуще- ниях, что и в рассмотренном выше случае адиабатического течения. После преобразований получим: уравнение сохранения массы (неразрывности) 0 w t x ; (9.53) уравнение сохранения количества движения 2 2 2 w p w w w t x d w ; (9.54) уравнение сохранения энергии 2 2 E K T T U w w U t x d , (9.55) 160 где K – коэффициент теплопередачи; Т Е – температура окружающей среды. Заметим, что в уравнении сохранения энергии отсутствует сила трения, так как она не совершает работы (скорость на стенке равна нулю). В качестве замыкающих соотношений в данной задаче выступают вы- ражение для внутренней энергии 2 / 2 v U c T w (где c v – удельная тепло- емкость газа при постоянном объеме) и уравнение состояния p RT Система уравнений (9.53),…,(9.55) интегрируется численно. 9.6.4 Самотяга В ряде случаев при расчете газоводов влияние массовых сил может быть существенным, а иногда и определяющим. В качестве примера мож- но привести расчет низконапорных систем газораспределения, расчет сис- тем естественной вентиляции, расчет дымовых труб и т. д. В данных при- мерах имеет место течение газа более легкого, чем воздух окружающей среды, а входное и выходное сечения канала, по которому движется газ, имеют существенно различающиеся высоты расположения. Это приводит к появлению дополнительного перепада давления по длине канала. Данное явление называется самотяга. Рассмотрим его более подробно. Пусть имеется канал, в котором реализуется плавноизменяющееся те- чение газа с плотностью , отличной от плотности воздуха в , рис. 9.8. Рис. 9.8. К определению эффекта самотяги Вследствие малых скоростей течения в таких каналах, для их расчета можно использовать приближение несжимаемой жидкости. Уравнение Бернулли для сечений 1 1 и 2 2 такого течения имеет вид 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 w w gz p gz p p , (9.56) где 1 2 p потери полного давления между сечениями 1 1 и 2 2. p 1 , w 1 z 1 z 2 p 2 2 , w p в1 p в2 в 1 2 1 2 0 0 161 Прибавим и вычтем из каждой части уравнения (9.56) в1 p и в 2 p дав- ление воздуха на высоте расположения сечений 1 1 и 2 2 соответственно: 2 2 1 1 2 2 1 1 в1 в1 2 2 в 2 в 2 1 2 2 2 w w gz p p p gz p p p p . (9.57) Считая плотность воздуха постоянной, что допустимо при не очень большом перепаде высот, в соответствии с основным уравнением гидро- статики, можем записать в1 а в 1 в 2 а в 2 , p p gz p p gz (9.58) Подставим (9.58) в (9.57) и перегруппируем члены. В результате полу- чим 2 1 1 1 в 1 в1 2 w gz p p 2 2 2 2 в 2 в 2 1 2 2 w gz p p p (9.59) Используя уравнение (9.59), представим потери полного давления меж- ду сечениями 1 1 и 2 2 следующим образом 2 2 1 1 2 2 1 2 1 в1 2 в 2 в 1 2 2 2 w w p p p p p g z z .(9.60) Вводя обозначения: изб ст в p p p избыточное статическое давление (разность статического давления в потоке и давления окружающего возду- ха в данном сечении; 2 д / 2 p w динамическое давление потока; с в 1 2 p g z z избыточное геометрическое давление – самотяга, перепишем (9.60) в сокращенном виде изб изб 1 2 ст1 ст2 д1 д2 с p p p p p p (9.61) Или изб изб 1 2 01 02 с p p p p , (9.62) где изб изб 0 ст д в p p p p полное избыточное давление в соответствую- щем сечении. Таким образом, движение жидкости или газа по трубопроводу осуще- ствляется под действием перепада полного избыточного давления на кон- цах трубопровода и геометрического перепада давления (самотяги). Этот перепад давления расходуется на преодоление потерь механической энер- гии (полного давления) между начальным и конечным сечениями трубо- провода. Избыточное геометрическое давление (самотяга) вызывается стремле- нием жидкости (газа) опускаться или подниматься в зависимости от того, в какой среде более легкой или более тяжелой данная жидкость (газ) нахо- 162 дится. Это давление может быть положительным или отрицательным в за- висимости от того, способствует оно или препятствует движению потока. Необходимо подчеркнуть, что эффект самотяги возможен только с тру- бопроводных системах, вход и выход которых сообщаются с окружающей средой. В изолированных каналах данный эффект невозможен. 9.7. Контрольные вопросы 1. Дайте определение понятиям простой и сложный трубопровод. 2. Сформулируйте три типа задач расчета трубопроводов. 3. В чем состоит трудность решения второй и третьей задач расчета трубопроводов? Какие методы их решения существуют? 4. Какие соотношения используются при решении задач расчета слож- ных трубопроводов с параллельным соединением труб? 5. В чем заключается особенность работы сифонного трубопровода? Каковы критические условия его работы? 6. Каким образом происходит согласование режимов работы трубопро- вода и нагнетателя. Что такое рабочая точка? 7. Какие существуют методы регулирования расхода жидкости в тру- бопроводной сети, в чем состоят их достоинства и недостатки? 8. Какие допущения принимаются для расчета течения изотермическо- го газа в трубопроводе при большом перепаде давлений? 9. В каком случае можно пренебречь изменением плотности газа при расчете трубопровода и использовать модель несжимаемой жидкости? 10. Дайте определение понятию самотяга, в чем причина ее происхож- дения и как она находится? |