Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа

• Название: Механика жидкости и газа
• Анкор: Гидравлический пресс
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: TPM_Zezin_mehanika_zhidkosti_gaza.pdf
• Тип: Учебное пособие; #561398
• страница: 1 из 22

Министерство образования и науки Российской федерации
Южно-Уральский государственный университет
Филиал в г. Миассе
Кафедра «Технология производства машин»
532.5(07)
З-475
В.Г. Зезин
МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Учебное пособие
Челябинск
Издателький центр ЮУрГУ
2016

2
УДК 532.5(075.8) + 533(075.8)
З-475
Одобрено
учебно-методической комиссией филиала в г. Миассе
Рецензенты:
Н.Н. Елюкин, Г.Ф. Костин
З-475
Зезин, В.Г.
Механика жидкости и газа: учебное пособие / В.Г. Зезин. – Че- лябинск: Издательский центр ЮУрГУ, 2016. – 250 с.
Учебное пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по профилю подготовки «Гидравлические машины, гидроприводы и гидропневмоавтоматика», а также может быть использовано студен- тами других технических специальностей, для которых техническая гидромеханика и газовая динамика являются профилирующими дисциплинами.
В учебном пособии изложены основы теории механики жидко- сти и газа, необходимые для изучения специальных дисциплин, свя- занных с применением жидкостей и газов в качестве рабочих сред в различных технических устройствах и системах.
УДК 532.5(075.8) + 533(075.8)
© Издательский центр ЮУрГУ, 2016

3
ВВЕДЕНИЕ
В настоящем учебном пособии изложены основы теории механики жидкости и газа, необходимые для изучения специальных дисциплин, свя- занных с применением жидкостей и газов в качестве рабочих сред в раз- личных технических устройствах и системах.
В первой главе приведена вводная информация о дисциплине механика жидкости и газа. Вводится понятие «сплошная среда» и параметры, опи- сывающие ее состояние, на которых базируется теория изучаемого пред- мета. Приведены основные формулы математического аппарата, исполь- зуемые в дальнейшем при выводе фундаментальных уравнений МЖГ. Да- ется информация о физических свойствах газов и жидкостей, вводятся мо- дели несжимаемой жидкости, идеальной жидкости и газа, калорически со- вершенного газа.
Во второй главе изложены основы кинематики жидкостей и газов. Вво- дится понятие переменных Эйлера и Лагранжа для описания поля гидро- динамических параметров, понятие линии тока, траектории жидкой части- цы, трубки тока, расхода жидкости. Рассмотрены закономерности дефор- мации жидкой частицы и получены выражения для компонент тензора скоростей деформации. Отмечается возможность существования двух ре- жимов течения: ламинарного и турбулентного.
В третьей главе освещены вопросы напряженного состояния жидкостей и газов. Вводится понятие объемных и поверхностных сил, анализируются свойства тензора напряжений поверхностных сил. Обобщенная гипотеза
Ньютона о связи тензора напряжений с тензором скоростей деформаций, в целях упрощения материала пособия, детализирована только для модели несжимаемой жидкости.
В четвертой главе приведен вывод основных фундаментальных уравне- ний механики жидкости и газа, отражающих общефизические законы со- хранения.
В пятой главе рассмотрены закономерности равновесия жидкостей и газов, включая состояние относительного покоя. Дается вывод формул для определения силового воздействия покоящейся жидкости на ограждающие стенки.
В шестой главе изложены основы теории подобия и анализа размерно- стей, используемые, как при проведении экспериментальных исследова- ний, так и при теоретическом решении задач механики жидкости и газа.
Введены понятия чисел, критериев подобия и критериальных уравнений.
В седьмой главе исследуются закономерности вязких течений: течения
Пуазейля, Куэтта, течения в смазочном зазоре переменной толщины с пе- репадом давления.
В восьмой и девятой главах приведена теория одномерных течений.
Получены уравнения динамики одномерных потоков, обоснованы зависи-

4 мости для определения потерь механической энергии на преодоление сил трения жидкости о стенки и потерь на местных гидравлических сопротив- лениях, рассмотрено явление гидравлического удара. Для газовых течений получено уравнение Гюгонио – условий перехода скорости течения через скорость звука. Введены в рассмотрение основные газодинамические изо- энтропические функции. Рассмотрены вопросы расчета трубопроводных систем, в том числе сифонного трубопровода и трубопроводной сети при работе нагнетателя, а также при течении газов.
В десятой главе рассмотрены закономерности истечения жидкостей из объемов при постоянном и переменном напоре, а также газов при докри- тическом и сверхкритическом перепадах давлений.
В одиннадцатой главе изложены основы теории ударных волн в газо- вых потоках и приведен вывод соотношений для расчета параметров пото- ка при прохождении прямого скачка уплотнения.
В двенадцатой главе даны основы теории пограничного слоя. Приведен вывод уравнений пограничного слоя, и описываются подходы к решению этих уравнений. Описывается физическая картина процессов при отрыве пограничного слоя.
В тринадцатой главе приведены основы численного моделирования гидрогазодинамических процессов. Дается понятие конечно-разностной аппроксимации систем дифференциальных уравнений. На примере чис- ленного решения задачи гидравлического удара поясняются вопросы ус- тойчивости численного решения и погрешности аппроксимации.
В четырнадцатой главе рассмотрены физические закономерности и структура турбулентности при ее возникновении и развитии в свободно- сдвиговых течениях и пограничных слоях. Описывается гипотеза локаль- ной изотропности турбулентности и следующие из нее выводы. Дается вы- вод уравнений переноса энергии турбулентности и ее диссипации. Приво- дятся характеристика основных моделей турбулентности: от простейших алгебраических до двухзонных дифференциальных с указанием их досто- инств и недостатков. Кратко охарактеризованы современные методы мо- делирования турбулентных течений – прямого численного моделирования, моделирования крупных вихрей и отсоединенных вихрей.
Применяемый в пособии математический аппарат основан на материале курса высшей математики для технических вузов. Студент должен владеть навыками применения аппарата дифференциального и интегрального ис- числения, линейной алгебры, дифференциальных уравнений, владеть эле- ментами векторного анализа и теории поля. Предполагается знание сту- дентом общей физики и теоретической механики.
Текст, написанный мелким шрифтом, при первом прочтении можно опустить без существенного ущерба для понимания материала.
Содержание пособия соответствует государственному образовательно- му стандарту по направлению подготовки бакалавров 151000 «Технологи-

5 ческие машины и оборудование». Учебное пособие предназначено для студентов, обучающихся по профилю подготовки «Гидравлические маши- ны, гидроприводы и гидропневмоавтоматика», а также может быть ис- пользовано студентами других технических специальностей, для которых техническая гидромеханика и газовая динамика являются профилирую- щими дисциплинами.
При записи формул в настоящем пособии использованы следующие со- глашения: переменные обозначаются, как правило, латинским шрифтом, набранные курсивом
*
; математические функции и операторы обозначают- ся буквами латинского алфавита и набираются прямым шрифтом; вектор- ные и матричные величины выделяются жирным шрифтом; скалярное произведение векторов обозначается точкой, например,

b c , векторное – знаком

, например,

b c
*
При использовании для обозначения переменных букв русского или греческого алфавита они набираются прямым шрифтом.

6
СОКРАЩЕНИЯ И УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Сокращения
ГС – гидродинамический след;
МЖГ – механика жидкости и газа;
МС – местное сопротивление;
МСС – механика сплошной среды;
ПС – пограничный слой;
ТПС – турбулентный пограничный слой
Условные обозначения в формулах

– коэффициент Кориолиса;

– коэффициент (изотермический) сжатия среды, коэффициент
(теплового) расширения среды;

– коэффициент расхода;

– скорость угловой деформации жидкой частицы, толщина;

– скорость относительного удлинения жидкой частицы, дисси- пация энергии турбулентности, газодинамическая функция;
ε – тензор скоростей деформаций;

– потенциал объемных сил;

– гидравлический коэффициент трения, скоростной коэффици- ент;

– величина эквивалентной шероховатости стенки трубопрово- да, приращение параметра;

– потенциал скорости, коэффициент скорости;

– коэффициент динамической вязкости;

– удельный объем;

– коэффициент кинематической вязкости;

– число

, число подобия, газодинамическая функция;

– плотность;

– напряжение, коэффициент поверхностного натяжения;

– напряжение (компонент тензора напряжений), газодинамиче- ская функция, шаг разностной сетки;

– коэффициент гидравлических потерь на местном сопротивле- нии;

– угловая скорость;
А – работа;
а – скорость звука, ускорение;
С – коэффициент трения, коэффициент лобового сопротивления, коэффициент подъемной силы;
с – удельная теплоемкость, скорость распространения волны сжатия;

7
d, d– диаметр трубопровода, оператор дифференцирования;
D – скорость фронта ударной волны;
Е – модуль упругости;
Е – тензорная единица;
е – удельная внутренняя энергия;
F – вектор силы;
f – плотность распределения объемных сил;
f – вектор плотности распределения объемных сил;
G – сила тяжести;
G – массовый расход; g – ускорение свободного падения;
h – удельная энтальпия, высота, напор, шаг разностной сетки;
H – напор, высота;
J – момент инерции;
I, j,k– единичные векторы декартовой системы координат;
K – количество движения, кинетическая энергия;
k – показатель адиабаты, энергия турбулентности, коэффициент, клиновидность зазора, высота бугорков шероховатости;
L – длина;
l – периметр; длина;
М – масса;
m – масса;
n – вектор внешней нормали;
Р – сила;
p – давление;
р – вектор напряжения поверхностных сил;
Q – объемный расход, плотность объемного тепловыделения;
q – плотность теплового потока;
R – газовая постоянная, радиус трубопровода;

– функция давления баротропной жидкости;
r – радиус;
S – площадь поверхности, энтропия;
s – площадь сечения, удельная энтропия;
t – время;
Т – температура, интервал времени;
U – удельная полная энергия;
u – скорость;
w – скорость, осредненная по сечению потока;
V – объем;
W – объем;
v – скорость;
Y, Z – инварианты Римана;

2
– оператор Лапласа

8
Числа подобия
Eu – число Эйлера;
Fr – число Фруда;
Ku – число Куранта;
М – число Маха;
Re
– число Рейнольдса;
Sh – число Струхаля

9
ГЛАВА 1. ВВЕДЕНИЕ В ДИСЦИПЛИНУ МЕХАНИКА ЖИДКОСТИ
И ГАЗА
1.1. Модель сплошной среды
В отличие от классической механики материальных точек и твердых тел механика жидкости и газа рассматривает текучие среды, то есть неог- раниченно деформируемые при их движении. При этом считается, что они являются сплошными средами, то есть такими, масса которых непрерыв- ным образом распределена по рассматриваемому объему без образования
пустот
*
. Данное предположение носит название гипотезы сплошности и означает, что рассматриваются процессы в объемах, характерные размеры которых существенно превышают размеры молекул и межмолекулярные расстояния. Данное упрощение реальной дискретной системы позволяет применить для ее описания математический аппарат дифференциального и интегрального исчисления. Параметры состояния среды при таком подходе непрерывно распределены по всему расчетному объему за исключением, может быть, отдельных точек, линий или поверхностей, где допускается существование разрывов
**
. Данная гипотеза была впервые введена в науку
Д

Аламбером в 1744 г. и затем Эйлером в 1753 г.
Наряду с гипотезой сплошности в механике жидкости и газа дополни- тельно предполагается справедливость следующих допущений.
1) Изучаемая среда подчиняется закономерностям механики Ньютона, то есть исследуются движения со скоростями существенно меньшими ско- рости света; рассматриваются объекты, существенно превышающие объек- ты микромира, изучаемые квантовой механикой. Применительно к изу- чаемой области сплошной среды постулируется возможность применения законов сохранения механики системы материальных точек: массы, коли- чества движения, энергии и т. д.
2) Выполняются закономерности классической термодинамики. То есть в условиях термодинамического равновесия состояние среды можно опре- делить с помощью нескольких макроскопических параметров (например, плотности, давления, температуры).
При математическом описании поведения жидкостей и газов использу- ются понятия «контрольный объем», «бесконечно малый объем», «беско-
нечно малый промежуток времени», «элемент поверхности», «элемент
объема», «элементарный интервал времени». Смысл этих понятий поясня- ется в следующих двух разделах.
*
Исключение составляют сильно разреженные газы, длина свободного пробега мо- лекул которых соизмерима с характерным размером рассматриваемого объема.
**
Например, скачков уплотнения, ударных волн в газах.

10
1.1.1
Контрольный объем сплошной среды
При изучении закономерностей в механике жидкости и газа широко распространен прием, когда из всей рассматриваемой области сплошной среды выделяется некоторый конечный контрольный объем W, ограничен- ный поверхностью S, рис. 1.1, который при движении деформируется и не смешивается со средой его окружающей, либо стенки объема могут счи- таться проницаемыми. Этот объем рассматривается, как материальный объект, к которому применяются законы механики. Действие же окру- жающей среды на выделенный объем заменяется внешним силовым и теп- ловым воздействием. Если стенки объема считаются проницаемыми, то дополнительно учитываются переносимые через них потоки массы, энер- гии и других физических величин.
Рис. 1.1. К понятию контрольного объема
Для того чтобы определить количество некоторой физической величи- ны

(массы, количества движения и пр.), содержащейся в контрольном объеме, водится плотность ее распределения

0
lim
W
W
 

 

,
(1.1) где

– количество физической величины в объеме

W, содержащем рас- сматриваемую точку пространства.
С учетом (1.1) количество физической величины в объеме W найдется так d
W
W
  

(1.2)
Строго говоря, из-за молекулярного строения газов и жидкостей и теплового дви- жения молекул предельный переход
0
W
 
некорректен, так как при уменьшении

W до размеров, соизмеримых с межмолекулярным расстоянием, величина

будет ис- пытывать резкие колебания, увеличивающиеся с уменьшением объема

W. В результа- те мы не получим требуемую по гипотезе сплошности непрерывность изменения рас- сматриваемой величины

. Поэтому в МЖГ вводится понятие бесконечно малого объе-
ма. Под ним понимается объем, размеры которого пренебрежимо малы по сравнению со всем объемом системы, так что параметры среды в нем (плотность, скорость и пр.) можно считать постоянными, но он содержит в себе настолько много молекул, что эти параметры будут устойчивы по отношению к изменению объема. Поэтому стягивание объема в точку при предельном переходе в (1.1) следует понимать, как стремление к dS
dW
S
W
n
p
n
p
-n
-n

11 бесконечно малому объему (в упомянутом выше смысле), содержащему рассматривае- мую точку исследуемой области.
Необходимость существования такого же предельного перехода появляется также и при определении пространственных производных и интегралов от физических пара- метров сплошной среды. Аналогичная ситуация возникает и при определении произ- водных от физических параметров среды по времени таких, как например,
0
lim
t
t
t
 





,
(1.3) где

– изменение физической величины

в рассматриваемой точке пространства
(точнее, в бесконечно малом объеме, содержащем данную точку) за интервал времени

t.
Для корректности (существования) предельного перехода
0
t
 
вводится понятие
бесконечно малого промежутка времени, под которым подразумевается интервал вре- мени, существенно меньший, чем характерное время рассматриваемого переходного процесса, но значительно больший, чем характерное время молекулярного движения. И тогда стремление

t к нулю понимается, как стремление к этому бесконечно малому промежутку времени.
Конкретизируя параметр

, в частности для плотности жидкостей (га- зов)

и вектора удельного количества движения

в некоторой точке про- странства, в соответствии с (1.1), будем иметь
0
lim
W
M
W
 

 

,
0
lim
W
W
 



K
κ
,
(1.4) где

М,

K, – масса и вектор количества движения сплошной среды в объ- еме

W, содержащем рассматриваемую точку.
Имея в виду дискретное строение реальных газов и жидкостей, можно вести среднюю по объему

W скорость
w
, как отношение количества движения среды в данном объеме

K к ее массе

М:
/ M
 

w
K
. Тогда скорость среды в точке пространства u будет представлять собой предел
0 0
lim lim
W
W
M
 
 




K
u
w
,
(1.5) а для вектора удельного количества движения

получим выражение
0 0
lim lim
W
W
M
W
W
M
 
 





 



K
K
κ
u .
(1.6)
Аналогично вводятся и другие феноменологические параметры сплош- ной среды: температура, удельная внутренняя энергия, энтальпия т. д. В частности, аналогично (1.6) определяется удельная кинетическая энергия сплошной среды
2 2
0
/ 2
lim
2
W
M
u
k
W
 


 

w
(1.7)
Упоминавшееся выше взаимодействие контрольного объема с окру- жающей средой, осуществляемое через его поверхность S, характеризуется вектором напряжения поверхностных сил р и вектором удельного потока

переносимой через поверхность физической величины (теплоты, массы,

12 количества движения и пр.). Не вдаваясь в тонкости интерпретации по- верхности контрольного объема с точки зрения молекулярного строения вещества, эти параметры определим следующим образом
0 0
lim
,
lim
S
S
S
S
 
 






P
Χ
p
χ
,
(1.8) где

Р,

Х – внешняя сила, приложенная к поверхности

S контрольного объема W, и поток количества физической величины, переносимой через эту поверхность соответственно.
Выделим в окрестности некоторой точки элемент поверхности dS объ- ема настолько малый, что как вектор поверхностных напряжений, так и вектор потока

в пределах него могут считаться одинаковыми. Этот эле- мент поверхности будем характеризовать вектором внешней нормали n, то есть направленной вовне объема W, см. рис. 1.1, а для напряжения поверх- ностных сил будем использовать обозначение
n
p , где индекс «n» означает, что оно относятся к элементу поверхности с вектором внешней нормали n.
Если рассмотреть внутреннюю сторону того же самого элемента поверх- ности, то вектор нормали к нему будет направлен противоположно n, то есть будет равен – n, см. рис. 1.1. И тогда напряжение, действующее с дан- ной (внутренней) стороны поверхности, следует обозначить
n

p
. Вектор потока всегда направлен по нормали к элементу поверхности, поэтому для его обозначения дополнительного индекса не требуется.
При дальнейшем изложении материала мы будем применять термин
«жидкая частица», под которым будем понимать выделенный в иссле- дуемой области сплошной среды объем неизменной массы, то есть с не- проницаемыми для окружающей среды и, в общем случае, деформируе- мыми границами. Данным термином «жидкая частица» будем обозначать, как бесконечно малый жидкий объем, такой что движение его можно пред- ставить, как движение материальной точки, так и жидкий объем конечных размеров. Если точный смысл термина не следует из контекста излагаемо- го материала, то в первом случае будем уточнять: «элементарная жидкая
частица». Во втором случае параметры состояния среды и гидродинами- ческие характеристики различны в разных точках жидкой частицы. Если это требуется подчеркнуть для понимания сути изложения, то будем при- менять термин «жидкая частица конечных размеров». Если объем жидкой частицы настолько мал, что изменение параметров среды в пределах него подчиняется линейной закономерности, то будем использовать термин
«элемент объема». Такой же термин в этом случае будем использовать для малого объема с проницаемыми стенками.
В механике жидкости и газа термин «жидкость» зачастую употребляет- ся для обозначения как жидкой, так и газообразной среды. При этом, для того чтобы подчеркнуть, что под этим термином понимается газообразная среда, иногда делается уточнение – «сжимаемая жидкость».

13
1.2. Производная по времени от количества физической величины в
деформируемом объеме. Формула Остроградского-Гаусса
С учетом введенных выше понятий скорость изменения количества не- которой физической величины

в контрольном объеме с непроницаемы- ми границами запишется, как d
d d
d d
W
W
t
t




,
(1.9) где

– плотность распределения физической величины

Рассмотрим трансформацию контрольного объема W за небольшой ин- тервал времени

t. За это время

в каждой точке объема изменится на

Кроме того, каждый элемент площади поверхности

s, ограничивающей данный объем, переместится на

l

u
n

t, где u
n
– проекция вектора скоро- сти u движения элемента

s
*
на собственную внешнюю нормаль n, рис. 1.2. Это вызовет соответствующее изменение величины объема на
ni
i
i
W
u
t S
 
 

. Тогда, пренебрегая величинами второго порядка мало- сти, изменение количества физической величины

в объеме в рассмат- риваемой трансформации определим по формуле d
ni
i
i
W
W
u
t W
  

  


(1.10)
Рис. 1.2. К определению деформации контрольного объема
Разделив обе части (1.10) на

t и перейдя к пределу при

t

0 и

S
i

0, получим d
d d
d d
d d
n
W
W
S
W
W
u S
t
t
t





 




(1.11)
Таким образом, полная производная по времени от интеграла распре-
деленной в непроницаемом деформируемом объеме физической величины
равна сумме интеграла по этому объему от частной производной рас-
сматриваемой величины и скорости изменения количества данной величи-
ны в объеме, обусловленной перемещением его границ.
*
Равная скорости движения жидкости в данной точке поверхности.

S
dW
S
W
n
u
u
n

t

14
Заметим, что формула (1.11) остается справедливой и в случае прони- цаемых стенок объема W. В этом случае второе слагаемое в формуле пред- ставляет собой поток физической величины

извне во внутрь объема.
Запишем в следующем виде второй интеграл в правой части (1.11), учитывая что
 
 


cos ,
cos ,
cos
,
n
x
y
x
u
u
u
u
  


u n
i n
j n
k n
,
 
 


d cos ,
d cos ,
d cos
,
d
n
x
y
z
S
S
S
S
u S
u
S
u
S
u
S

 
 
 




i n
j n
k n
. (1.12)
Рассмотрим первое слагаемое в правой части (1.12). Разделим область интегрирования на две часть S
1
и S
2
, проведя образующей, параллельной оси Ох, по поверхности контрольного объема, рис. 1.3.
 
 
 
1 2
cos ,
d cos ,
d cos ,
d
x
S
S
S
u
S
S
S

 
 



i n
i n
i n
(1.13)
Рис. 1.3. К вычислению поверхностного интеграла
На поверхности S
1
cos(i, n) < 0, на поверхности S
2
соответствующий на- правляющий косинус положительный, cos(i, n) > 0. Поэтому формулу
(1.13) можно записать в виде
 
1 2
cos ,
d d
d
x
x
yz
x
yz
S
S
S
u
S
u
S
u
S

  
 



i n
,
(1.14) где d
yz
S
– проекция элемента площади поверхности dS на координатную плоскость yz, см. рис. 1.3.
Учитывая, что интеграл от производной первообразной функции есть сама первообразная, а также используя правило вычисления кратных инте- гралов, можем записать:
 
1 2
1 2
0 0
cos ,
d d
d d
d
x
x
x
x
yz
x
yz
S
S
S
u
S
u
S
x
u
S
x
x
x











 



















i n
2 1
d d
d
x
x
x
yz
x S
W
u
u
S
x
W
x
x






 

(1.15)
Аналогично преобразуются второе и третье слагаемые в правой части
(1.12), что дает
n
u
x
i
x
2
x
y
z
x
1
dS
dS
yz
S
1
a
b
S
2
u
i
j
k
W

15 d
d
,
d d
xz
xy
y
z
y
xz
z
xy
S
W
S
W
u
u
u
S
W
u
S
W
y
z












(1.16)
Подставляя (1.15) и (1.16) в (1.12), получаем d
d
y
x
z
n
S
W
u
u
u
u
S
W
x
y
z


















(1.17)
Вообще, как следует из проведенных выше рассуждений, если в объеме
W, включая его границу, задана любая непрерывно дифференцируемая векторная функция а, то справедлива следующая формула преобразования интеграла по площади поверхности S в интеграл по объему W, ограничен- ному этой поверхностью, которая носит название формулы Остроградско-
го-Гаусса


d d
d
y
x
z
n
S
S
W
a
a
a
S
a
S
W
x
y
z




















a n
(1.18)
Комбинация производных под знаком интеграла в правой части (1.18) называется оператором дивергенции
*
[2] и обозначается div
y
x
z
a
a
a
x
y
z









a
(1.19)
По своему физическому смыслу дивергенция учитывает влияние сжи- маемости (растяжимости) среды на скорость изменения количества физиче- ской величины, содержащейся в некотором объеме. Пояснения физического смысла дивергенции будут даны в разделе 2.5.
Распространим формулу Остроградского-Гаусса на общий случай век- торной функции. Пусть в каждой точке поверхности S контрольного объе- ма W определена векторная функция а(t, x, y, z), которая может быть пред- ставлена в виде
 
 
 
cos cos cos
,
,
,



a
b
n i
c
n j
d
n k
,
(1.20) где
 
 
 
cos
,cos
,cos
,
,
,
n i
n j
n k
– направляющие косинусы вектора внешней нормали n в рассматриваемой точке поверхности S; b, c, d – непрерывно дифференцируемые в объеме векторные функции. Требуется найти по- верхностный интеграл d
S
s

a
Повторяя рассуждения, аналогичные (1.12)…(1.17), приходим к форму- ле d
d
S
W
s
W
x
y
z

















b
c
d
a
(1.21)
*
От французского divergence – расходимость

16
Таким образом, с учетом формулы Остроградского-Гаусса, полная про- изводная по времени от количества физической величины

, содержащей- ся в деформируемом объемеW, найдется по формуле d
d d
d d
y
x
z
n
W
S
W
u
u
u
W
u S
W
t
t
t
x
y
z









 
















(1.22)
Получим еще одну формулу, связывающую поверхностный интеграл d
S
a
S

n
(где а – дифференцируемая скалярная функция) с объемным инте- гралом, которая будет использоваться в дальнейшем. Запишем этот инте- грал в виде
 
 
 
d cos
, d cos
, d cos
,
d
S
S
S
S
a
S
a
S +
a
S
a
S







n
i
n i
j
n j
k
n k
d d
d
yz
xz
xy
yz
xz
xy
S
S
S
a S +
a S
a S





i
j
k
(1.23)
С использованием (1.15) и (1.16), считая, что в этом случае
x
y
u
u
   
z
u
a
  
, формулу (1.23) приведем к виду d
d d
d
S
W
W
W
a
a
a
a
S
W +
W
W
x
y
z












n
i
j
k
(1.24)
1.3. Основные физические свойства жидкостей и газов
При математическом описании закономерностей механики жидкостей и газов используют различные модели сплошной среды, соответствующие различным физическим свойствам этих сред: модель несжимаемой жид-
кости; модель идеальной жидкости (газа), модель совершенного газа.
Смысл этих понятий поясняется ниже в данном разделе.
1.3.1
Плотность и другие объемные свойства жидкостей и газов
Плотность сплошной среды

в произвольной точке пространства опре- деляется соотношением (1.4). Размерность плотности равна размерности массы, деленной на куб размерности длины, например, кг/м
3
Наряду с плотностью в МСС используется понятие удельного объема


величина обратная плотности:
1
 

(1.25) и представляющий собой объем, содержащий единицу массы.
Способность жидкости или газа под действием внешнего давления из- менять свой объем (плотность) называется сжимаемостью. Если плот- ность жидкости (газа) постоянна, то такая среда называется несжимаемой.

17
Количественно сжимаемость оценивается изотермическим коэффици-
ентом сжимаемости

р
, м
2
/Н, характеризующим относительное измене- ние объема жидкости при изменении давления p на 1 Па при постоянной температуре:
1
p
T
p



    
 


(1.26)
Или в интегральной форме
1 2
1 2
1
const
1
p
T
W
W
W p
p


 

,
(1.27) где W
1
, W
2
– первоначальный и конечный объемы жидкости.
Для большинства жидкостей

р
= 10
-9
…10
-10
(Н/м
2
)
-1
. Для капельных жидкостей
*
он уменьшается с возрастанием давления и повышением тем- пературы. Переходя в (1.26) к плотности можем записать
 
1/
1
p
T
T
p
p







  






 




,
(1.28) или, обозначив 1/

р
= Е, d
d p
E



(1.29)
Величину Е называют модулем упругости жидкости. Соотношение
(1.29) выражает закон Гука для жидкостей: напряжения, возникающие в
жидкости при ее сжатии, пропорциональны относительной объемной
деформации.
Для воды при нормальных условиях Е = 2,25

10 9
Н/м
2
= 2250 МПа.
В то же время в МЖГ считается, что жидкости не выдерживают напря- жения растяжения. В реальных капельных жидкостях напряжения растя- жения могут иметь место, но они невелики, то есть прочность жидкости на разрыв мала. В газах вообще не наблюдается напряжений растяжения.
Получим выражения для изотермического коэффициента сжатия со-
вершенного газа.
Совершенный газ. Совершенным называется газ, удельные теплоем-
кости которого являются константами и, следовательно, для него спра-
ведливо уравнение состояния Клапейрона-Менделеева
p
RT
 
,
(1.30) где R – газовая постоянная.
Запишем основные термодинамические соотношения, справедливые для совершенного газа, которые будут использоваться в дальнейшем.
Удельная внутренняя энергия e и энтальпия h находятся по формулам
,
v
p
e
c T
h
c T


,
(1.31)
*
Понятие капельной жидкости см. в разделе 1.3.3.

18 где Т – абсолютная термодинамическая температура,
,
v
p
c c

коэффициен- ты удельной теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответст- венно, которые в термодинамике определяются, как
,
v
p
v
p
q
q
c
c
T
T


















(1.32)
Рассмотрим выражение для первого начала термодинамики


d d 1 /
v
q
c T
p



,
(1.33) где q – удельное количество тепловой энергии, подведенное к газу.
Продифференцируем (1.33) по Т при постоянном давлении и учтем уравнение состояния (1.30):
1
v
v
p
p
q
c
p
c
R
T
T
 



  
 


 





 
(1.34)
Учитывая определения (1.32), получим
p
v
c
c
R
 
(1.35)
Соотношение (1.35) называется формулой Майера.
Отношение коэффициентов удельных теплоемкостей
/
p
v
k
c
c

(1.36) называется показателем адиабаты.
Если процесс изменения термодинамических параметров в совершен- ном газе происходит без теплообмена с окружающей средой, то такой про- цесс называется адиабатическим. В этом случае справедливо уравнение
адиабаты Пуассона
const
k
p


(1.37)
Если процесс изменения термодинамических параметров в совершен- ном газе происходит при постоянной температуре, то такой процесс назы- вается изотермическим. В изотермическом процессе const
p


(1.38)
Используя приведенные соотношения, можно получить следующие за- висимости между удельной внутренней энергией и энтальпией


p
p
v
v
v
v
c
p
h
c T
c
R T
c T
RT
e
RT
e
c T
ke
c





 
  


. (1.39)
С учетом (1.30) изотермический коэффициент сжатия совершенного га- за найдется по формуле

19 1
1
p
T
T
p
RT
RT
p
p
p
p








 






 







(1.40)
Следовательно модуль упругости совершенного газа равен
E
p

(1.41)
Это свидетельствует о высокой сжимаемости газа.
Изменение объема сплошной среды при изменении температуры при
р = const характеризуется коэффициентом теплового объемного расшире-
ния

Т
1
T
p
t



   
 


(1.42)
Как правило жидкости и газы расширяются при увеличении температу- ры, их плотность при этом уменьшается. Исключение составляет вода, плотность которой достигает максимума при t = 4

C. Такая аномалия объ- ясняется особенностями ее молекулярного строения. Для воды при нор- мальных условий

Т
= 1,5

10

4 1/

С.
Для совершенного газа из уравнения состояния следует
1
T
T
 
(1.43)
Скорость звука. Скорость звука представляет собой скорость распро- странения малых возмущений давления в сплошной среде и определяется, как
2
d d
a
p


(1.44)
Для совершенного газа скорость звука в адиабатическом процессе най- дем, подставив (1.37) в (1.44) и используя уравнение состояния (1.30):
p
a
k
kRT



(1.45)
Данная скорость звука называется адиабатической. Если процесс изо- термический, то соответствующая скорость звука называется изотермиче-
ской и находится по формуле
p
a
RT



(1.46)
1.3.2
Вязкость капельных жидкостей и газов
Опыты показывают, что частицы сплошной среды (газа, жидкости), не- посредственно примыкающие к телу, прилипают к его поверхности. Если

20 тело покоится, то скорость прилипших частиц равна нулю
*
. Если тело пе- ремещается, то слой прилипшей среды перемещается с ним и имеет такую же скорость, как и скорость твердого тела. Эти положения позволяют сле- дующим образом представить механизм образования вязкой силы сопро- тивления. Рассмотрим твердую стенку и пластинку, между которыми рас- полагается слой жидкости. Пусть пластинка перемещается параллельно стенке со скоростью u
0
, рис. 1.4.
Рис. 1.4. К определению силы вязкости при слоистом движении жидкости
Слой жидкости, прилегающий к пластинке, перемещается вместе с ней со скоростью u
0
. Вследствие молекулярных связей этот слой жидкости ув- лекает за собой следующий и т. д. Скорость нижнего слоя равна нулю, так как стенка неподвижна. Таким образом в жидкости возникает слоистое те- чение с некоторым распределением скоростей по координате у. Между движущимися с разными скоростями слоями возникают силы внутреннего трения, обусловленные действием межмолекулярных связей. Величина этой силы, приходящаяся на единицу площади поверхности раздела сред, определяется законом вязкостного трения Ньютона d
d
F
u
S
y


 
 
,
(1.47) где



вязкостное (касательное) напряжение;


коэффициент динами- ческой вязкости; S – площадь соприкасающихся слоев жидкости.
Знак в формуле (1.47) выбирается таким образом, чтобы сила внутрен- него трения была положительной. Эта формула в настоящее время являет- ся общепринятой при расчете напряжений трения при ламинарном (слои- стом) течении жидкости и газа. Величина коэффициента динамической вязкости является основной количественной характеристикой вязкости сплошной среды. Единицами измерения коэффициента динамической вяз- кости

служат:

в системе СИ

Па

с = Н

с/м
2
= кг/(м

с);

в системе СГС – г/(см

с) или пуаз (Пз);

в технической системе

кгс

с/м
2
Информация о величине коэффициента динамической вязкости некото- рых веществ приведена в табл. 1.1.
*
Для сильно разреженных газов, для которых гипотеза сплошности неверна, усло- вия «прилипания» не выполняется.
u
u
0
y
0
F
F

y

21
Таблица 1.1
Коэффициент динамической вязкости

Наименование ве- щества
Значение

, Па

с при температуре

50

С
0

С
20

С
50

С
Вода
-
17,9

10
-4 10,1

10
-4 5,49

10
-4
Ртуть
-
17,0

10
-4 15,7

10
-4
-
Бензин
7,07

10
-4
-
-
Воздух
1,708

10
-5 1,84

10
-5 1,954

10
-5 2,18

10
-5
Водяной пар
0,883

10
-5 0,975

10
-5 1,065

10
-5 1,25

10
-5
Величина коэффициента динамической вязкости газов возрастает с увеличением температуры, а жидкостей падает, что подтверждается дан- ными табл. 1.1. Зависимость коэффициента

воды от температуры t,

С, описывается формулой Пуазейля


1 2
0 1 0,0337 0,000221
t
t

  


,
(1.48) где

0

коэффициент динамической вязкости при 0

С.
Для расчета коэффициента

воздуха можно воспользоваться формулой


2 8
1700 5,58 0,0117 10
Па с
t
t

 



(1.49)
Давление слабо влияет на величину

Если рассматривается модель сплошной среды, в которой

= 0, то та- кая жидкость (газ) называется идеальной. В идеальной среде отсутствуют
силы вязкого сопротивления.
Вязкость среды кроме коэффициента динамической вязкости

харак- теризуется также коэффициентом кинематической вязкости


 

(1.50)
Неньютоновские среды. Напряжения вязкого трения не во всякой сре- де подчиняется закону Ньютона. Существуют жидкости, называемые неньютоновским, для которых закон вязкостного трения отличается от ли- нейного. К ним относятся дилатантные и вязкопластичные жидкости, а также жидкости Бингма-Шведова (бингамовские). Отдельным случаем неньютоновских жидкостей являются тиксотропные и реопексные жидко- сти, вязкость которых изменяется с течением времени. Для дилатантных и вязкопластичных сред закон трения имеет вид d
d
n
u
y


  



,
(1.51) где n > 1 – для дилатантной среды; n < 1 – для вязкопластичной среды.
Движение бингамовских жидкостей начинается только тогда, когда ка- сательные напряжения превысят предел некоторого значения

0
. При

22 меньших напряжениях они не обладают текучестью и ведут себя, как твер- дые тела, испытывая только упругие деформации. Закон вязкого трения для бингамовских жидкостей имеет вид
0
d d
u
y
    
(1.52)
Типичными примерами дилатантных жидкостей являются концентри- рованные суспензии твёрдых частиц; псевдопластических – полимерные расплавы и растворы. К бингамовской среде относятся, например, глини- стые, бетонные и цементные растворы, некоторые нефтепродукты.
1.3.3
Поверхностное натяжение жидкостей
Поверхность жидкости на границе с газовой фазой или с несмешиваю- щейся жидкостью находится в состоянии равномерного поверхностного
натяжения. Благодаря действию сил поверхностного натяжения объем жидкости, на который не действуют другие силы, принимает сферическую форму. Со свойством поверхностного натяжения связана способность жидкости образовывать капли. Поэтому обычные жидкости называют ка-
пельными.
Поверхностное натяжение характеризуется коэффициентом поверхно-
стного натяжения

, равным отношению величины силы поверхностного натяжения к длине образующей линии свободной поверхности. Коэффици- ент

зависит от природы жидкости, состояния поверхностного слоя (на- личия примесей) и ее температуры. С увеличением температуры коэффи- циент поверхностного натяжения падает. Для воды, находящейся в сопри- косновении с воздухом, при температуре 20

С

= 0,0726 Н/м. Для ртути при тех же условиях

= 0,54 Н/м.
На границе между жидкостью и твердым телом возникают силы взаи- модействия их молекул. Соотношение этих сил и сил взаимодействия мо- лекул самой жидкости определяет характер граничных явлений. Если на твердую поверхность поместить каплю жидкости возможны следующие случаи: полного растекания жидкости (полное смачивание), когда краевой угол

= 0, частичного смачивания

<

/2; частичного несмачивания

<

/2 <

; полного несмачивания

=

, рис. 1.5.
Рис. 1.5. Возможные случаи смачивания твердой поверхности вязкой жидкостью
Силы молекулярного взаимодействия между жидкостью и стенкой соз- дают искривление свободной поверхности вблизи стенок. Искривление свободной поверхности сопровождается появлением дополнительного




а)
б)
в)
г)

23 давления в жидкости, которое создает подъем или опускание уровня в трубках малого диаметра, рис. 1.6.
Рис. 1.6. Капиллярный подъем или понижение уровня в узких трубках
В трубке малого диаметра поверхность может быть вогнутой (смачива- ние), например, для воды в стеклянной трубке, или выпуклой (несмачива- ние) для ртути в стеклянной трубке. При смачивающей жидкости резуль- тирующая поверхностных сил направлена наружу, а при несмачивающей – внутрь жидкости.
Высота капиллярного подъема жидкости определяется по формуле
2 cos
h
gR




,
(1.53) где


краевой угол; R – радиус трубки; g – ускорение свободного паде- ния.
Хотя существует несмачивание, но при движении жидкости скорости частиц, соприкасающейся с твердой поверхностью, в большинстве случаев равны скорости последней. То есть явление прилипания реальной (неиде- альной) жидкости к твердой поверхности реализуется всегда.
1.3.4
Кипение жидкостей. Кавитация
Кипением называется процесс образования пара внутри объема жидко- сти, то есть испарение, сопровождающееся интенсивным образованием пу- зырей внутри объема жидкости, заполненных насыщенным паром. Кипе- ние может происходить как в покоящейся, так и в движущейся жидкости в двух случаях: вследствие повышения температуры выше температуры ки- пения при данном давлении и в случае понижения давления до значений, меньших давления насыщенного пара при данной температуре.
Если жидкость не дегазирована, то кипение возникает почти сразу по- сле достижения состояния насыщения. При этом жидкость испаряется внутрь пузырьков газа, они растут в объеме и прорываются наружу через свободную поверхность.
Если жидкость дегазирована, то ее температура может превышать тем- пературу насыщения при данном давлении на 10

С и более и процесс ки- пения при этом не возникает. Состояние перегретой жидкости неустойчи- вое и называется метастабильным, а жидкость в таком состоянии называ- ется перегретой. Малейшее возмущение перегретой жидкости приводит к ее вскипанию, причем кипение начинается бурно, напоминает взрыв. Ана-

R

R
h
h

24 логичная картина наблюдается и при понижении давления дегазированной жидкости ниже давления насыщения при данной температуре.
Технические жидкости, как правило, содержат растворенный газ, по- этому они вскипают при давлениях, равных давлению насыщения.
Кипение жидкости приводит к нарушению сплошности среды, поэто- му его необходимо обязательно учитывать при использовании расчетных соотношений МЖГ, основанных на гипотезе сплошности.
Кипение, возникающее в движущейся среде вследствие местных по-
нижений давления, называется кавитацией. Кавитация может быть:
1. В виде отдельных пузырьков, возникающих в местах пониженного давления и уносимых потоком (пузырьковая перемещающаяся кавитация).
2. В виде протяженных, значительных по объему полостей, заполнен- ных парами жидкости, присоединенных к поверхности обтекаемых тел
(суперкавитация).
Кавитация сопровождается характерным шумом, а при длительном ее воздействии – эрозионным разрушением металлических стенок в местах повышения давления в потоке, что приводит к быстрой конденсации внут- ри паровых пузырьков, их схлопыванию с образованием микро гидроуда- ров. Механическое воздействие гидроударов усугубляется химической ки- слородной коррозией и воздействием электрических полей, возникающих в кавернах.
Кавитация приводит и к увеличению гидравлического сопротивления, так как кавитационные пузырьки и каверны уменьшают живое сечение по- тока. Кавитация возможна как при течении жидкости в каналах, так и при внешнем обтекании тел: в полостях регулирующих клапанов, на лопастях гребных винтов, колес гидротурбин, насосов.
В качестве критерия, определяющего кавитационные свойства профи- лей, применяется число кавитации


2
н
0 2
2 2
1
p
p
u
u
u




 



,
(1.54) где р

, u


давление и скорость в набегающем потоке; u
0
, р
н
– модуль ско- рости вблизи обтекаемого тела и давление насыщенных паров.
Примеры проявления кавитации приведены на рис. 1.7, 1.8.
Рис. 1.7. Развитие кавитации в сопле Вентури

25
а)
б)
Рис. 1.8. Кавитация на гребном винте: а – кавитационные пузырьки;
б – кавитационный износ винта
1.4. Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию сплошная среда.
2. Напишите формулу вычисления полной производной по времени от интеграла непрерывно распределенной физической величины в деформи- руемом объеме.
3. Напишите формулу Остроградского-Гаусса.
4. Напишите формулу оператора дивергенции векторного поля.
5. Какие физические свойства отличают жидкости и газы от твердых тел?
6. Перечислите основные физические свойства газов.
7. Перечислите основные физические свойства жидкостей.
8. Дайте определение скорости звука.
9. Напишите формулу закона вязкостного трения Ньютона.
10. Дайте определение понятию несжимаемая жидкость.
11. Дайте определение понятию совершенный газ.
12. Что собой представляет явление кавитации, каковы его последст- вия?

26