Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 5. ГИДРОСТАТИКА 5.1. Дифференциальные уравнения Эйлера для покоящейся жидкости Дифференциальные уравнения, описывающие равновесие покоящейся жидкости (уравнения Эйлера), получены нами ранее, как частный случай уравнений Навье-Стокса и представлены соотношениями (4.28). Было по- казано, что эти уравнения имеют решение, то есть равновесие в жидкости возможно только в том случае, если объемные силы имеют потенциал, а жидкость баротропна. Уравнения Эйлера в этом случае приобретают вид (4.36), а их решение описывается формулой const (5.1) Частные модели баротропности приводят к уравнениям Эйлера вида: (4.37) – для случая несжимаемой жидкости в поле потенциальных сил с решением const p ; (5.2) (4.39) – для случая адиабатического совершенного газа в поле потен- циальных сил с решением const 1 k p k ; (5.3) (4.41) – для случая изотермического совершенного газа в поле потен- циальных сил с решением ln const RT p (5.4) Из выражения (5.2) следует, что в несжимаемой жидкости поверхности уровня Ф = const совпадают с изобарическими поверхностями. 5.2. Интеграл уравнений Эйлера. Основная формула гидростатики Уравнения Эйлера позволяют найти распределение давления по объему жидкости, зная которое можно определить силы давления на ограничи- вающие стенки. Рассмотрим равновесие (абсолютный покой) несжимаемой жидкости в поле силы тяжести, рис. 5.1. Для рассматриваемого случая 0 x y f f , z f g и const gz (5.5) Подставим это выражение в (5.2), а константу определим из условия, что на свободной поверхности жидкости z = z 0 давление равно давлению окружающей среды р = р 0 , то есть 0 0 const p gz (5.6) Подставляя (5.5), (5.6) в (5.2), получим 73 0 0 1 p p g z z , (5.7) или 0 0 p p g z z (5.8) Рис. 5.1. К выводу основной формулы гидростатики Так как 0 z z h (см. рис. 5.1), то 0 p p gh (5.9) Выражение (5.9) является основной формулой гидростатики. Здесь аб- солютное давление р называется гидростатическим, величина gh называ- ется весовым давлением, р 0 – внешнее давление. Анализ уравнения (5.9) позволяет сформулировать закон Паскаля: внешнее давление р 0 передается всем точкам покоящейся жидкости и по всем направлениям одинаково. 5.3. Равновесие газа в поле силы тяжести Найдем распределение давления по высоте газовой атмосферы. Для этого используем систему координат с началом, расположенным на по- верхности земли, осью z, направленной вертикально вверх. Рассмотрим случай адиабатической и изотермической атмосферы. Распределение дав- ления для этих случаев описывается формулами (5.3) и (5.4) соответствен- но. Потенциал объемной силы выражается формулой (5.5). Константы ин- тегрирования находим из условия, что при z = 0, p = p 0 : при адиабатической атмосфере 0 0 1 const p k k ; (5.10) при изотермической атмосфере 0 ln const RT p (5.11) Подставляя (5.5), (5.10) в (5.3) и (5.5), (5.11) в (5.4), получаем: для адиабатической атмосферы A y x z p 0 H=z 0 h z g 74 0 0 1 p p k gz k , (5.12) или, используя уравнение состояния, 0 1 k RT RT gz k ; (5.13) для изотермической атмосферы 0 ln p RT gz p , (5.14) или, учитывая, что 0 0 / RT p , 0 0 0 exp p p gz p (5.15) Из (5.13) видно, что температура адиабатической атмосферы убывает с высотой. Найдем ее максимальную высоту, то есть высоту, при которой T = 0. Пусть Т 0 = 289 К, R = 287 Дж/(кг К), k = 1,4. Подставив эти данные в (5.13), получим Н = z = 29592 м. То есть высота адиабатической атмосферы ограничена. Высота же изотермической атмосферы, как следует из (5.15) бесконечна. 5.4. Абсолютное и избыточное давление, вакуум. Понятие «напор» Если жидкость находится в ненапряженном состоянии, то давление в ней равно нулю р = 0. Значение давления, отсчитываемого от этого нуля, называется абсолютным давлением. Избыток давления над атмосферным р ат называется избыточным (манометрическим) давлением р изб . Таким об- разом, по определению имеем ат изб p p p (5.16) Если давление в какой либо точке объема жидкости меньше атмосфер- ного, то в технических приложениях такое состояние называют вакуумом. Для его характеристики вводится вакуумметрическое давление в ат p p p (5.17) Для точки А на рис. 5.1 избыточное давление равно А изб 0 ат p p gh p (5.18) Если 0 ат p p , то избыточное давление равно весовому. Разделим обе части уравнения (5.8) на g и перейдем к избыточным давлениям и p 0 p p : и const p z H g (5.19) Все члены уравнения приобретают размерность длины, которые в гид- ростатике и технических приложениях принято называть напорами: гидростатический (полный) напор 75 и p H z g ; (5.20) пьезометрический напор (или пьезометрическая высота) и п p H g ; (5.21) геометрический напор г H z (5.22) Если гидростатическое давление меньше атмосферного, то вводится вакуумметрический напор (высота) 0 в в p p p H g g (5.23) Размерность напора можно представить в виде м Дж/Н H = . Следо- вательно, напор можно трактовать как потенциальную энергию единицы веса жидкости (удельную потенциальную энергию): геометрический напор – потенциальную энергию положения; пьезометрический напор – потенци- альную энергию давления. Величина полного напора отражает полный за- пас потенциальной энергии покоящейся жидкости, который одинаков для всех частиц жидкости. 5.5. Равновесие несжимаемой жидкости в сообщающихся сосудах. Измерение давления Рассмотрим случай равновесия двух несмешивающихся жидкостей раз- личной плотности, находящихся в сообщающихся сосудах, рис. 5.2. Рис. 5.2. Равновесие жидкости в сообщающихся сосудах: 0 – 0 –плоскость отсчета высот; 1 > 2 Давление жидкости на поверхности раздела обозначим через р, тогда, согласно (5.9), можем записать 1 1 1 2 2 2 p p gz p gz (5.24) Если давления над поверхностями жидкостей равны, то есть, например, р 1 = р 2 = р ат , то ат 1 1 ат 2 2 p gz p gz , (5.25) или 0 0 p 1 p 2 z 2 z 1 76 1 2 2 1 z z (5.26) Таким образом, если жидкости в двух сообщающихся сосудах разно- родны, то при одинаковых давлениях на свободных поверхностях высоты столбов жидкости над плоскостью раздела обратно пропорциональны их плотностям. Если жидкости однородны ( 1 = 2 ), то их уровни будут нахо- диться на одной и той же высоте z 1 = z 2 В приведенных выкладках силы молекулярного взаимодействия жидко- сти и стенок сосудов не учитываются. В противном случае необходимо вводить поправку на высоту капиллярного подъема (понижения) в соот- ветствии с формулой (1.53). На принципах равновесия жидкости в сообщающихся сосудах основано измерение давления. Рассмотрим несколько примеров. 1. Простейшим прибором для измерения давления является стеклянная трубка, открытая в атмосферу, называемая пьезометром, рис. 5.3. Для жидкости в пьезометре, в соответствии с (5.9), можем записать ат ат ат ат и ат ; ; p p z z p p g z z p g z z g g (5.27) Таким образом, пользуясь пьезометром можно определить абсолютное и избыточное давление в точке присоединения трубки пьезометра к сосу- ду. Заметим, что высота подъема жидкости в трубке над точкой отбора есть пьезометрический напор. Для исключения влияния капиллярного дав- ления диаметр трубки пьезометра должен быть не менее 8…10 мм. Рис. 5.3. Схема измерения давления пьезометром 2. Дифференциальные пьезометры служат для измерения разности дав- лений. Схема такого устройства показана на рис. 5.4. Рис. 5.4. Измерение пьезометром разности давлений 0 0 p p ат z ат z 0 H 0 возд p 1 p 2 p 0 z 2 z 1 h 77 Рассмотрим случай, когда жидкости в сосудах одинаковые и требуется определить разность давлений р 1 – р 2 на одной и той же высоте. Используя основную формулу гидростатики (5.9), запишем: 1 0 1 2 0 2 возд 1 2 1 2 возд возд ; ; ; p p gz p p gz gh p p p g z z gh p gh (5.28) Подобного рода дифференциальный пьезометр будет работать при ус- ловии, что 1 0 p p gH . В противном случае равновесие жидкости нару- шится. Для исключения этого в верхней части пьезометра устанавливают краник для подкачки воздуха и повышения давления. 3. Измерение вакуумметрического давления, рис. 5.5. Рис. 5.5. Применение пьезометров для измерения вакуумметрического давления Условие равновесия в данном случае имеет вид ат в p p gh , (5.29) где h в – вакуумметрический напор. 5.6. Силы давления покоящейся жидкости на криволинейные поверхности Силовое воздействие жидкости на твердую поверхность площадью S, погруженную в жидкость, равно сумме воздействий элементарных сил dF , действующих на каждый элемент d S площади ее поверхности, рис. 5.6. То есть d d p S F n , (5.30) где n единичный вектор нормали к элементу поверхности d S, внешний к объему жидкости; р – давление на площадке d S. Суммируя элементарные силы, получаем главный вектор сил d S p S F n , (5.31) называемый силой давления жидкости на поверхность S. Точка приложе- ния главного вектора называется центром давления. Главный момент сил, действующий со стороны жидкости на ту же площадку, найдется как 0 0 p ат p < p ат h в p ат p < p ат h в 78 d S p S M n r , (5.32) где r радиус-вектор площадки d S (см. рис. 5.6). Рис. 5.6. К определению главного вектора и момента сил, действующих на твердую поверхность со стороны жидкости Для того чтобы определить полное силовое воздействие жидкости на площадку S произвольной формы необходимо найти проекции сил давле- ния F x , F y , F z на координатные оси x, y, z. Если в зависимости от конфигу- рации стенки эти три силы пересекутся в одной точке на данной поверхно- сти, то воздействие жидкости сводится к одной силе давления F . Если же проекции сил не пересекаются, то силовое воздействие сводится к силе F и моменту M. В общем случае сила давления F складывается из силы внешнего дав- ления 0 P и силы весового давления Р: 0 F P P (5.33) Однако задачу определения F можно свести к задаче определения только силы весового давления, заменив внешнее давление давлением эк- вивалентного столба жидкости. Рассмотрим криволинейную твердую поверхность S, ограждающую жидкость от внешней среды, рис. 5.7. Рис. 5.7. К определению силы давления жидкости на твердую поверхность y x z r n dF dS S y x z dS z dS x S x p ат dW S z S h dS 79 Пусть внешнее давление равно атмосферному. Тогда сила давления жидкости на твердую поверхность будет равна силе весового давления Р, так как силы от действия атмосферного давления, приложенные в внут- ренней и наружной стороне рассматриваемой поверхности, взаимно унич- тожаются. Найдем проекции сил весового давления Р х , Р у , Р z на рассматри- ваемую поверхность. Горизонтальная проекция силы найдется по формуле d x x S P P (5.34) Так как каждая элементарная сила давления d P в покоящейся жидкости направлена по нормали n к элементу поверхности d S, то d d cos , d d x x x P n gh S gh S gh S n i , (5.35) где n x – проекция внешней нормали n к элементу поверхности d S на ось х; h – высота столба жидкости над рассматриваемым элементом поверхности; d S х – проекция элемента поверхности d S на плоскость zy (перпендикуляр- ную оси х). Подставив (5.35) в (5.34) и учитывая, что в принятой системе координат h = z (см. рис. 5.7), получим d x x x S P g z S (5.36) Интеграл d x x S z S приставляет собой статический момент площади проекции S x относительно оси у, следовательно ц.м x x x P gz S , (5.37) где S x – проекция площадки S на плоскость, перпендикулярную оси х; ц.м x z глубина расположения центра масс этой проекции. Проекция силы весового давления на ось у найдется аналогично ц.м y y y P gz S (5.38) Проекция силы весового давления на ось z равна cos , d d z z z S S P g z S g z S n k (5.39) Интеграл d x x S W z S приставляет собой объем криволинейного верти- кального цилиндра, ограниченного снизу поверхностью S, сверху – проек- цией этой поверхности на свободную поверхность жидкости. Этот ци- линдр называется телом давления, а произведение G gW есть вес тела давления. Таким образом, для расчета силы весового давления покоящейся жид- кости на криволинейную твердую поверхность необходимо руководство- ваться следующими правилами. 80 1. Горизонтальные проекции силы весового давления жидкости P i (i = x, y) на криволинейную твердую поверхность S равны произведению площа- ди соответствующей проекции S i (i = x, y) этой криволинейной поверхно- сти на давление в центре масс данной площади проекции. 2. Вертикальная проекция силы весового давления численно равна весу тела давления z P G gW 3. Горизонтальные составляющие силы P i (i = x, y) проходят через цен- тры давления * соответствующих проекций, а вертикальная через центр масс тела давления. 4. Вертикальная составляющая направлена вниз, если жидкость распо- ложена над твердой поверхностью. В противном случае она направлена вниз. Объем тела давления в этом случае считается отрицательным. 5.7. Силы давления покоящейся жидкости на плоские поверхности Рассмотрим два частных случая действия силы давления: равномерной и неравномерной. 5.7.1 Сила равномерного давления на горизонтальную плоскую поверхность Данный случай (р = const, n = const) реализуется при покоящейся жид- кости или при движении емкости с жидкостью вверх или вниз. В этом слу- чае из (5.31) имеем p S F n , (5.40) где F вектор силы давления р; n – вектор внешней нормали к рассматри- ваемой поверхности. Линия действия силы проходит через центр масс площади S. Заметим, что сила давления на дно сосуда не зависит от формы его боковых стенок, рис. 5.8. Действительно, 0 0 0 0 0 ; , p p gh F p gh S (5.41) то есть сила давления равна произведению площади дна S 0 на гидростати- ческое давление в любой из точек дна. Рис. 5.8. Влияние формы сосуда на силу давления * Об определении центра давления, см. следующий раздел. p 0 p 0 p 0 h 0 S 0 S 0 S 0 81 5.7.2 Сила неравномерного давления на плоскую стенку В этом случае (р const; n = const). В этом случае система элементар- ных сил. d F, одинаковых по направлению, но различных по величине, сво- дятся к одной силе давления d S p S F n (5.42) Рассмотрим плоскую стенку АВ сосуда, наклоненную под углом к го- ризонту, на которой выделим площадку S произвольной формы, рис. 5.9, и найдем действующую на данную площадку силу давления F. Для большей наглядности изложения боковая стенка сосуда на рисунке развернута вме- сте с осью х вокруг оси у на 90 до совпадения с плоскостью чертежа. Рис. 5.9. К определению силы давления жидкости на наклонную прямолинейную стенку На элемент поверхности d S действует давление 0 p p gz , см. рис. 5.9. Подставим эту величину в (5.42) 0 0 0 d d d sin d S S S S p gz S p S g z S p S g l S F n n n . (5.43) Последний интеграл в (5.43) представляет собой статический момент площадки S относительно оси х. Тогда справедливо равенство 0 d S l S l S , (5.44) где l 0 – координата центра масс площадки S, отсчитываемая вдоль оси у. С учетом (5.44) выражение (5.43) примет вид 0 0 0 0 sin p S gl S p gz S F n n (5.45) То есть полная сила давления на плоскую наклонную стенку по вели- чине равна произведению площади стенки на гидростатическое давление в ее центре масс. y A B D D F x x’ y’ z 0 l 0 l D l p 0 S z dS 82 Результирующая сила – от давления жидкости и внешнего давления также найдется по формуле (5.45), однако вместо р 0 надо в этом случае подставить избыточное давление 0 ат p p . Если давление над жидкостью равно атмосферному, то результирующая сила равна 0 gz S F n (5.46) Найдем координаты точки приложения сил давления жидкости. Для этого представим силу давления в виде суммы двух сил: 0 0 0 p S gz S F P P n n (5.47) Так как внешнее давление р 0 по закону Паскаля передается всем точкам жидкости без изменения, то равнодействующая сила Р 0 приложена в цен- тре масс площади S. Для определения координаты точки приложения силы от весового дав- ления применим теорему Вариньона, согласно которой момент от действия равнодействующей силы Р равен сумме моментов составляющих сил от- носительно той же самой оси 2 d sin d D S S Pl g lz S g l S (5.48) Величина равнодействующей силы весового давления согласно (5.45) равна 0 0 sin P gz gl (5.49) Последний интеграл в соотношении (5.48) представляет собой момент инерции J x площади S относительно оси х: 2 d x S J l S (5.50) С учетом (5.49) и (5.50) из (5.48) получаем 0 x D J l l S (5.51) Произведение 0 l S представляет собой статический момент площади S относительно оси х. Из теоретической механики известно, что момент инерции J x может быть представлен в виде 2 0 0 x J J l S , (5.52) где J 0 – центральный момент инерции рассматриваемой площади S (отно- сительно оси, проходящей через центр масс). Подставив (5.52) в (5.51), получим 0 0 0 D J l l l S (5.53) Таким образом, точка приложения равнодействующей сил весового давления Р на площадь S расположена ниже центра масс этой площади. Расстояние между ними равно 83 0 0 0 D J l l l l S (5.54) Если внешнее давление р 0 равно атмосферному, то точка D и будет центром давления. Если же 0 ат p p , то координаты центра давления на- ходятся по правилам механики, как координаты точки приложения суммы сил от внешнего избыточного и весового давлений. 5.8. Относительное равновесие несжимаемой жидкости Состояние жидкости, когда она находится в покое относительно стенок сосуда, движущегося с ускорением, называется относительным равновеси- ем. Выбирая систему координат, связанную со стенками сосуда, можно свести данную задачу к статической задаче, решение которой находится с использованием уравнений Эйлера. При переходе в движущуюся систему координат в число действующих объемных сил необходимо включить силу инерции, плотность распределения которой f и численно равна ускорению рассматриваемой частицы жидкости а: и f a . (5.55) Знак « » показывает, что сила инерции направлена противоположно ускорению. Рассмотрим два характерных случая равновесия жидкости: в сосуде, движущемся прямолинейно, и во вращающемся сосуде. 5.8.1 Равновесие в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением Рассмотрим сосуд, движущийся по наклонной поверхности АВ с посто- янным ускорением а, рис. 5.10. Рис. 5.10. Равновесие жидкости при прямолинейном равноускоренном движении Проекции единичных объемных сил в движущейся системе координат равны sin ; cos ; 0 x y z f j g f g f (5.56) С учетом этих соотношений основное дифференциальное уравнение гидростатики (4.30) примет вид x j g y a p 0 y 0 A B 84 d sin d cos d p j g x g y (5.57) Интегрируя (5.57), получим sin cos p j g x gy C (5.58) Константа интегрирования находится из граничных условий: 0 p p при 0 и x 0 y y . Подставив граничные условия в (5.58), получим 0 0 cos C p gy (5.59) Окончательно закон распределения давления в жидкости примет вид 0 0 sin cos p p j g x g y y (5.60) Полагая в уравнении (5.58) р = const, получим уравнение изобариче- ских поверхностей 1 sin cos 0 j g x gy C (5.61) Уравнение свободной поверхности жидкости получим, положив в (5.60) р = р 0 : 0 sin cos 0 j g x g y y , (5.62) или 0 sin cos j g y y x g (5.63) Если движение сосуда происходит только под действием силы тяжести, то j =0. Тогда y = y 0 – х tg . То есть в системе координат, связанной с зем- лей поверхность жидкости горизонтальна. Сравнивая (5.61) и (5.62), видим, что изобарические поверхности есть плоскости параллельные свободной поверхности. 5.8.2 Равновесие жидкости в сосуде, равномерно вращающемся вокруг вертикальной оси с угловой скоростью Система координат x, y, z связана с вращающимся сосудом, рис. 5.11. Рис. 5.11. Равновесие жидкости во вращающемся сосуде x x r x z y y y z 0 z 0 z z h’ h’ M M p 0 85 В данном случае объемной силой, кроме силы веса, является центро- бежная сила инерции 2 0 цб r f r , (5.64) где r – радиус рассматриваемой точки жидкости относительно оси враще- ния; 0 r единичный вектор радиальной (вращающейся) системы коорди- нат. Проекции на оси координат результирующих объемных сил равны 2 0 2 2 0 2 cos , ; cos , ; x y z f r x f r y f g r i r j (5.65) С учетом (5.65) дифференциальное уравнение гидростатики (4.30) за- пишется в виде 2 2 d d d d p x x y y g z , (5.66) которое после интегрирования примет вид 2 2 2 2 p x y gz C (5.67) Константу интегрирования найдем из условия: 0 p p при 0 x y и 0 z z . Тогда 0 0 C p gz (5.68) Учитывая (5.68), а также то, что 2 2 2 x y r , закон распределения дав- ления в жидкости (5.67) запишем в виде 2 2 0 0 2 r p p g z z g (5.69) Приравняв в (5.69) р = р 0 , получим уравнение свободной поверхности жидкости: 2 2 0 2 z z r g , (5.70) которое представляет собой параболу. Следовательно, свободная поверх- ность вращающейся с постоянной угловой скоростью жидкости – парабо- лоид вращения. Из (5.70) видно, что дробь 2 2 / 2 r g h представляет собой высоту, на которую поднята над вершиной параболоида точка сво- бодной поверхности, см. рис. 5.11. Таким образом, выражение в скобках (5.69) представляет собой заглубление h точки М под свободную поверх- ность, см. рис. 5.11. То есть (5.69) принимает традиционный вид гидроста- тического (линейного) распределения давления по глубине 0 p p gh , которая в данном случае отсчитывается от свободной поверхности. Уравнение изобарических поверхностей во вращающейся жидкости по- лучится из (5.67), если положить р = const: 2 2 2 1 0 2 x y gz C (5.71) 86 Как видно оно представляет собой параметрическое уравнение семей- ства параболоидов вращения с осью z. 5.9. Закон Архимеда. Плавание тел Пусть тело ABDE полностью погружено в жидкость и находится в со- стоянии покоя рис. 5.12. На тело действует сила тяжести G, приложенная в точке С. Определим суммарную силу, действующую на тело со стороны жидкости, называемой силой Архимеда. Результирующая горизонтальная сила, действующая на тело, равна ну- лю, так как проекции сил давления на любую из горизонтальных осей рав- ны по величине и противоположны по знаку. Поэтому воздействие жидко- сти сводится к одной результирующей вертикальной силе, которую опре- делим следующим образом. По закону Паскаля внешнее давление передается всем точкам жидкости без изменения. Следовательно, результирующая сила, действующая на по- груженное в жидкость тело и обусловленная действием внешнего давле- ния, будет равна нулю. Таким образом, сила Архимеда обусловлена дейст- вием только весового давления. В соответствии с разделом 5.6 на нижнюю часть AED погруженного в воду тела будет действовать сила весового дав- ления Р 2 , равная весу тела давления AEDNM, направленная снизу-вверх, рис. 5.12 2 AEDNM P gW . На верхнюю же часть ABD тела действует сила весового давления Р 1 , равная весу тела давления ABDNM и направленная сверху-вниз 1 ABDNM P gW . Результирующая сила будет равна разности весов тел давления: 1 2 AEDNM A ABDNM P P P g W W gW (5.72) и, следовательно, она равна весу жидкости в объеме тела W. Рис. 4.13. К определению силы Архимеда Уравнение (5.72) выражает закон Архимеда: на погруженное в жид- кость тело действует выталкивающая (подъемная) сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объеме тела (или его погруженной части). z z A x p 0 P 2 p z p z dS x D N E B W P 1 M 87 Объем вытесненной телом жидкости называется объемным водоизме- щением, а ее вес – водоизмещением. Центр водоизмещения – это центр тяжести вытесненного объема жид- кости. Подъемная сила приложена к смоченной поверхности тела в точке, где эта поверхность пересекается вертикалью, проходящей через центр водо- измещения. Плаванье тел. На законе Архимеда основана теория плаванья тел. По- груженное в жидкость однородное тело с плотностью т находится под действием двух сил: силы тяжести тела в пустоте т т G gW и подъемной сила Архимеда A P ж gW (W т – объем тела; ж плотность жидкости). Возможны следующие варианты поведения тела в несжимаемой жид- кости. 1. т ж . Так как т т ж 0 A G P W g , то тело тонет. 2. т ж . Так как A G P , тело будет плавать внутри жидкости, со- храняя безразличное равновесие на любой глубине. 3. т ж . Так как т т ж 0 A G P W , то тело всплывает и час- тично выйдет выше поверхности жидкости на столько, чтобы новая подъ- емная сила уравновесилась силой веса тела. Для плавающего на поверхности тела выполняется условие ж т т W W , (5.73) где W – объем погруженной части тела. 5.10. Остойчивость плавающих сил Способность тела возвращаться в состояние равновесия после получен- ного крена называется остойчивостью. Рассмотрим плавающее тело, имеющее продольную плоскость симмет- рии, рис. 5.13. Центр тяжести тела расположен в точке С, центр водоизме- щения в точке D 0 Рис. 5.13. Остойчивость плавающего тела y x y x h M R M e D 1 D 0 D 0 M C C 88 Пусть тело накренилось на угол . Поскольку вес тела не изменился, то останется прежней и величина силы Архимеда Р А . Центр водоизмещения при этом переместится в новое положение D 1 , а подъемная сила будет про- ходить через нее, оставаясь вертикальной. Точка М пересеченияоси координат у с линией действия подъемной силы называется метацентром. Так как при плавании тела G < P A , то тело обладает остойчивостью в случае, когда метацентр расположен выше центра тяжести тела. Замкнутая плоская линия пересечения плавающего тела с поверхно- стью жидкости называется ватерлинией. Часть плоскости, ограниченная ватерлинией называется площадью плавания (площадью грузовой ватерли- нии). Расстояние R M называется метацентрическим радиусом, h M – мета- центрической высотой. Величина h M считается положительной, если ме- тацентр М расположен выше центра тяжести С. Таким образом, тело обладает остойчивостью, если h M > 0. 5.11. Равновесие твердого тела во вращающейся жидкости. Центрифугирование Рассмотрим теперь задачу о равновесии твердого тела, имеющего объ- ем W и площадь внешней поверхности S, погруженного во вращающуюся жидкость отличной от тела плотности, рис. 5.14. Будем считать, что тело вращается вокруг вертикальной оси сосуда с той же угловой скоростью , что и жидкость. Найдем равнодействующую сил, приложенных к данному телу. Для удобства решения задачи введем цилиндрическую систему коор- динат (r, 0, z). Рис. 5.14. К эффекту центрифугирования В данном случае на тело действуют следующие внешние силы: сила ве- са G, центробежная сила F цб и равнодействующая сил давления жидкости на внешнюю поверхность тела Р. Таким образом, главный вектор внешних сил F, приложенных к телу, равен z W, S r F цс F цб F А G 0 89 цб F G F P (5.74) Или 2 т т d d W S gW W p S F k r n , (5.75) где т – плотность тела; k – единичный вектор оси z, r – радиус-вектор элементарного объема d W тела; n – вектор внешней нормали к элементу поверхности тела d S. Перед последним слагаемым в правой части (5.75) должен быть поставлен знак минус, так как направление сил давления, действующих на тело, противоположно направлению внешней нормали. Центробежная сила, выраженная первым интегралом в (5.75), преобра- зуется следующим образом 2 2 2 цб т т т ц.т d d W W W W W F r r r (5.76) В (5.76) учтено, что последний интеграл представляет собой статиче- ский момент тела, который равен произведению объема тела W на коорди- нату его центра тяжести r ц.т Преобразуем поверхностный интеграл в (5.75) в объемный, используя формулу (1.23): d d d d S W W W p p p p S W W W x y z n i j k (5.77) Распределение давления в находящейся в равновесии вращающейся жидкости получено ранее и выражается уравнением (5.69). Используя (5.69), получаем 2 2 ж ж ж , , p p p x y g x y z (5.78) Подставляя (5.78) в (5.77), получим 2 2 ж ж ж d d d d S W W W p S x W y W g W n i j k 2 2 2 ж ц.м ж ц.м ж ж ц.м ж x W y W + gW r W + gW i j k r k , (5.79) где x ц.м , y ц.м – координаты центра масс тела в прямоугольной системе коор- динат. Так как ц.м ц.м ц.м x y r i j r , где r ц.м – координата центра масс тела в ци- линдрической системе координат, то интеграл сил давления по поверхно- сти тела примет вид 2 ж ц.м ж d S p S r W + gW n r k . (5.80) Первое слагаемое в правой части (5.80) представляет собой центрост- ремительную силу F ц.с , второе – подъемную (Архимедову) силу F A , дейст- 90 вующую на тело. Подставляя (5.80), (5.79) в (5.75) и проектируя получен- ное уравнение на ось r, получим 2 ц.т т ж ( ) r F r W (5.81) Аналогично получается проекция результирующей силы на ость z ж т ( ) z F Wg (5.82) Таким образом, если плотность тела больше плотности жидкости, то тело тонет и выносится на периферию сосуда. В противном случае тело всплывает и стремится к оси вращения. На этом физическом эффекте ос- нован принцип действия центрифуг и сепараторов – устройств, предназна- ченных для разделения суспензий. 5.12. Контрольные вопросы 1. Запишите выражение основного закона гидростатики. 2. Дайте определение абсолютного, избыточного и вакуумметрического давления. 3. Дайте определение гидростатического, пьезометрического, вакуум- метрического напора. 4. Напишите формулу для определения проекций силы давления жид- кости, действующей на криволинейную поверхность. 5. Напишите формулу для определения величины силы давления жид- кости, действующей на плоскую поверхность. 6. Напишите формулу для определения координаты центра давления на плоской поверхности. 7. Какова форма изобарических поверхностей жидкости в сосуде, дви- жущемся равноускоренно? 8. Какова форма изобарических поверхностей жидкости во вращаю- щемся с постоянной угловой скоростью сосуде? 9. Сформулируйте закон Архимеда. 10. Каков принцип действия центрифуг? |