Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 11. СКАЧКИ УПЛОТНЕНИЙ ПРИ СВЕРХЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ ГАЗОВ 11.1. Возникновение скачков уплотнений Если обратиться к уравнению Гюгонио, то формально может показать- ся, что возможно осуществить плавное торможение сверхзвукового потока до дозвуковых скоростей, если направить его в сопло с сужающейся по хо- ду течения сверхзвуковой частью и расширяющейся после критического сечения дозвуковой частью. Однако, как показывают опыты, плавный пе- реход сверхзвукового потока в дозвуковой невозможен, он происходит скачкообразно и сопровождается резким ростом давления и плотности. Поэтому такой переход называют скачком уплотнения или ударной вол- ной * Наличие такого скачкообразного изменения параметров газа в дейст- вительности очень резкого их изменения на участке длины, равной по по- рядку длине свободного пробега молекулы, показывает, что здесь имеет место внутренний молекулярный процесс, связанный с переходом кинети- ческой энергии упорядоченного течения газа в кинетическую энергию бес- порядочного теплового движения молекул. Этим объясняется разогрев газа при прохождении его из невозмущенной области перед фронтом ударной волны в область возмущенного движения за фронтом ударной волны. По- вышение средней квадратичной скорости пробега молекул вызывает также возрастание давления и плотности газа при прохождении его сквозь фронт ударной волны. В идеальном газе, где отсутствуют силы вязкости, скачок уплотнения представляет собой разрыв газодинамических параметров, то есть протя- женность скачка уплотнения равна нулю. Поверхность разрыва может быть плоской или криволинейной. Если поверхность разрыва располагает- ся под углом к вектору скорости набегающего потока, то скачок уплотне- ния называется косым. При нормальной ориентации поверхности разрыва относительно вектора скорости скачок уплотнения называется прямым. Причину возникновения ударных волн в идеальном газе можно пока- зать на следующем качественном примере. Представим себе (рис. 11.1) те- плоизолированную от внешней среды цилиндрическую трубу бесконечной длины, вдоль которой перемещается поршень. Пусть вначале поршень и газ неподвижны, а затем поршень мгновенно приобретает некоторую ско- рость u 0 и перемещается с этой скоростью влево, сжимая находящийся пе- ред ним газ. Возникающее при этом возмущение (сжатие газа) будет рас- пространяться по трубе. * Скачком уплотнения называют ударную волну, скорость движения фронта кото- рой относительно газа равна нулю. 173 Распространение возмущений, создаваемых поршнем, можно рассмат- ривать как совокупность непрерывно следующих друг за другом звуковых волн, причем каждая последующая волна перемещается по газу, сжатому предыдущими волнами. Но сжатие газа сопровождается его подогревом, а скорость распространения звука возрастает с температурой. То есть каждая последующая волна будет перемещаться быстрее, чем предыдущая. Волны будут догонять друг друга, складываться и образовывать одну обладаю- щую конечной интенсивностью волну сжатия ударную волну. Рис. 11.1. Ударная волна, создаваемая поршнем в идеальном газе Заметим, что при движении поршня влево за ним образуется разреже- ние, которое будет распространяться вправо от поршня также волновым образом. Но в этом случае волны уже не будут нагонять друг друга, так как последующая волна пойдет по газу, охлажденному предыдущей волной, и скорость распространения последующей волны будет меньше скорости предыдущей. Из этого рассуждения следует, что существование скачков разрежения невозможно. Скачки уплотнения могут образовываться, как при течениях в каналах, так и при внешнем обтекании тел, при взаимодействии сверхзвуковых струй с преградами и т. д. На рис. 11.2 показаны примеры течений с обра- зованием скачков уплотнений. а) б) Рис. 11.2. Примеры визуализации течений с образованием ударных волн: а – модель самолета при М = 1,1; б – процесс запуска сопла: сверхзвуковой поток, разогнавшийся в расширяющейся части, тормозится при взаимодействии с еще неподвижным газом окружающей среды с образованием системы скачков уплотнения u 0 u 0 u = u 0 u = 0 D D 174 Протяженность скачка уплотнения в реальных газах имеет конечную величину, однако она настолько мала по сравнению с характерными раз- мерами области течения, что и в этом случае можно говорить о разрыве га- зодинамических параметров. 11.2. Прямой скачок уплотнений Определим, как изменяются параметры газа при прохождении ударной волны. Для того, чтобы сделать картину движения газа через ударную вол- ну стационарной, обратим движение сообщив мысленно всей трубе вме- сте с движущимся газом поступательное движение вправо со скоростью D навстречу поршню. Тогда будем иметь неподвижный скачок уплотнения, на который натекает невозмущенный газ со скоростью u 1 = D. За скачком газ движется со скоростью u 2 = D – u 0 , рис 11.3. Выделим сечениями 1 и 2 объем газа, примыкающий к плоскости скачка уплотнения, и запишем применительно к нему выражения для законов сохранения. Рис. 11.3. Изменение параметров газа при прохождении скачка уплотнения В силу предполагаемой одномерности течения имеем: уравнение сохранения массы (неразрывности) 1 1 2 2 u u ; (11.1) уравнение сохранения количества движения 2 2 1 1 1 2 2 2 p u p u ; (11.2) уравнение сохранения энергии 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 k p u k p u k k (11.3) С использованием полученных выражения найдем уравнение, связы- вающее плотности и давления при прохождении скачка уплотнений, ис- ключив из рассмотрения скорости u 1 и u 2 . Для этого перепишем уравнение количества движения в виде 2 2 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 p p u u u u u (11.4) Умножим обе части этого равенства на выражения: справа на 2 1 1 1 u u u , (11.5) а слева – на эквивалентное ему выражение u D 1 = u D 2 = u 0 p p = 1 p p = 2 T T = 1 1 2 T T = 2 = 1 = 2 175 2 2 1 1 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 u u u u (11.6) Тогда получим 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 p p u u (11.7) С другой стороны из уравнения баланса энергии следует 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 k p p u u k (11.8) Приравнивая обе части (11.7) и (11.8) найдем 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 k p p p p k (11.9) Группируя в этом равенстве члены с р 1 и р 2 найдем выражение для ударной адиабаты Гюгонио 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 1 1 / 1 1 1 1 1 / k k k k p p k k k k (11.10) Данное выражение отличается от уравнения адиабаты Пуассона (1.37), что, на первый взгляд, противоречит тому факту, что процесс в скачке уп- лотнения мы считали адиабатическим. Однако, надо иметь в виду, что адиабата Пуассона справедлива в изоэнтропическом неразрывном течении вдоль линии тока. Здесь мы имеем дело с разрывным течением. Следова- тельно, при прохождении скачка уплотнения энтропия потока должна воз- растать, то есть происходит необратимое преобразование механической энергии в тепловую. Действительно, сравнив величины энтропии до и по- сле скачка уплотнения, получаем 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 ln ln ln 0 1 1 k k k R p p R p s s k k p (11.11) График ударной адиабаты в сравнении с адиабатой Пуассона показан на рис. 11.4. Как видно из рис. 11.4, при 2 1 / 1 ударная адиабата распо- лагается выше адиабаты Пуассона. Следовательно, выражение в квадрат- ных скобках в (11.11) больше единицы и 2 1 s s Из (11.11) и рис. 11.4 также следует, что возникновение скачков разре- жения, то есть р 2 /р 1 < 1 и 2 / 1 < 1, невозможно. В этом случае ударная адиабата располагается ниже изоэнтропической. То есть выражение в квадратных скобках меньше единицы и тогда 2 1 s s , что противоречит второму началу термодинамики. Как следует из (11.11), ударная адиабата имеет асимптоту 176 2 1 2 1 / 1 1 p p k k (11.12) Это означает, что даже при бесконечном сжатии 2 1 / p p рост плот- ности в ударной волне ограничен. Так при k = 1,4 плотность в скачке уп- лотнения может возрасти только в 6 раз. Рис. 11.4 Сравнение ударной адиабаты и адиабаты Пуассона Рассмотрим теперь, как изменяются другие параметры потока при про- хождении скачка уплотнения. Из условия сохранения полной энтальпии (11.3) следует сохранение температуры торможения газа Т 0 , а также, следовательно, и а 0 , а* и Т*: * * * * 01 02 1 2 01 02 1 2 , , , T T T T a a a a (11.13) Найдем связь между скоростями газа u 1 и u 2 до и после скачка уплотне- ния. Перепишем уравнение сохранения количества движения с учетом уравнения неразрывности в виде 2 1 1 2 2 2 1 1 p p u u u u (11.14) Уравнение сохранения энергии, записанное для каждой зоны, с учетом соотношения 2 2 0 * 1 / 2 a a k можно представить в виде 2 2 *2 0 1 , 1, 2 2 1 1 2 1 i i i i i u p a k k a i k k k (11.15) Выразим отсюда отношение p/ для каждой зоны 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 * , * 2 2 2 2 p k k p k k a u a u k k k k (11.16) и подставим в (11.14) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 * * 2 2 2 2 k k k k u u a u a u u k k u k k . (11.17) 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0 1 2 3 4 5 6 7 Ударная адиабата Адиабата Пуассона 2 1 / p p Ас им пт от а уд ар но й ад иа ба ты 2 1 / 177 После преобразований (11.17) принимает вид 2 1 2 1 2 1 * 1 0 2 k a u u k u u (11.18) Так как в скачке уплотнения 2 1 , то в соответствии с уравнением неразрывности u 1 > u 2 и тогда из (11.18) следует формула Прандтля 2 1 2 1 2 * или 1 u u a (11.19) Так как u 1 > u 2 , то из (11.19) следует, что 1 2 1 2 или 1 u a u (11.20) То есть при движении газа до прохождения прямого скачка уплотнений поток является сверхзвуковым, а после скачка – дозвуковым. Можно ска- зать, что прямой скачок уплотнения является формой перехода от сверх- звукового течения к дозвуковому. Определим изменение статического давления при прохождении прямо- го скачка уплотнений 1 2 1 1 / / p p p p p . Для этого используем уравне- ния сохранения массы (11.1), количества движения (11.2) и формулу Пран- дтля: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p p u u u u u u u k kM p p p u a u .(11.21) Применив формулу перехода от числа Маха к скоростному коэффици- енту (8.105) и обратного перехода (8.106), окончательно получаем 2 2 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 p k p k k k p k p k k k , (11.22) и 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 , 1 1 1 1 1 1 p k p k k k M M M p k p k k k . (11.23) Скорость ударной волны и спутного потока. Определим скорость распространения ударной волны D по неподвижному газу и скорость пото- ка возмущенного газа u сп , возникающего за ударной волной, называемого спутным потоком. Вспоминая, что при выводе расчетных соотношений для скачка уплотнений мы применили прием обращения движения, можем записать 1 сп 2 1 2 , D u u D u u u (11.24) За меру интенсивности скачка, а следовательно, и ударной волны, при- мем число Маха М 1 и сжатие газа в скачке р 2 /р 1 . В соответствии с опреде- лением числа Маха и выражением (11.23) можем записать: 2 2 1 1 1 1 2 1 , 1 1 D p k k M M a p k k (11.25) 178 Отсюда находим зависимость скорости ударной D волны от ее интен- сивности 2 1 1 1 1 1 1 2 2 k k p D M a a k k p (11.26) Из этой формулы следует: скорость распространения ударной волны по отношению к непод- вижному газу всегда больше скорости звука в невозмущенном газе; звуковую волну можно рассматривать, как ударную волну очень ма- лой интенсивности, так как при этом имеем 1 1 2 1 при 1 или D a M p p (11.27) Для определения скорости спутного потока используем формулу Пран- дтля. С учетом (11.24) можем записать 2 сп 1 1 * a u u u (11.28) Для критической скорости звука можем записать равенство 2 2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 2 1 * 1 1 1 1 2 T k a a a M a k k T k (11.29) Подставив (11.29) в (11.28) и учитывая, что 1 1 1 u M a , получим 2 2 1 сп 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 k a u M a M a M k M a k M (11.30) Если подставить в (11.30) число Маха, выраженное из (11.23), то полу- чим связь скорости u сп со сжатием газа в волне р 2 /р 1 : 2 1 сп 1 2 1 1 2 1 1 p p u a k p k k p (11.31) Зависимость скорости ударной волны и спутного потока от интенсив- ности ударной волны для воздуха с температурой 300 К показана на рис. 11.5. Представленные данные показывают, что скорость спутного потока за ударной волной может быть очень большой. Так, например, ударная волна, несущая относительное сжатие воздуха р 2 /р 1 = 1,22, могла бы вызвать спутный поток со скоростью 50 м/с. Отсюда также видно, сколь ничтож- ные сжатия воздуха несут с собой обычные звуковые волны, почти совер- шенно не смещающие частицы воздуха. 179 Рис. 11.5. Скорость ударной волны и спутного потока Потери механической энергии в прямом скачке уплотнения. Определим потери механической энергии при прохождении прямого скачка уплотнения. При этом за ве- личину, характеризующую механическую энергию, примем полное давление р 0 , а за меру потерь примем отношение полных давлений до скачка 01 p и после скачка 02 p : 02 01 p p (11.32) Выражая полные давления через статические с использованием изоэнтропических функций, получим 1 1 2 2 1 1 1 1 02 01 1 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 1 k k k k k k k k k k p M p p k p k k p M p k (11.33) Подставив в (11.33) отношение давлений р 1 /р 2 из (11.22) или (11.23) и используя формулу Прандтля, окончательно получим 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 1 1 1 2 1 2 02 1 2 01 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 , 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 2 2 k k k k k k k k k k k k k k k k k p k k p M k k k M kM (11.34) График зависимости (11.34) потерь полного давления в прямом скачке уплотнения показан на рис. 11.6. Из приведенного графика видно, что потери механической энер- гии в прямом скачке уплотнения могут быть весьма значительными – превышают 80 % при числе Маха набегающего потока более 3,5. При околозвуковых течениях потери полного давления пренебрежимо малы. 0 100 200 300 400 500 600 700 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 2 1 / p p сп u D сп , , м/с D u 180 Рис. 10.7. Зависимость потерь полного давления в прямом скачке уплотнения от числа Маха набегающего потока 11.3. Косые скачки уплотнения Помимо прямых скачков уплотнения, встречаются и так называемые косые скачки уплотнения. Фронт косого скачка располагается наклонно к направлению потока (рис.11.8). Косой скачок получается в том случае, ко- гда, пересекая фронт скачка, сверхзвуковой газовый поток должен изме- нить свое направление, например, при косом натекании сверхзвукового потока на преграду. При пересечении потоком фронта косого скачка модуль нормальной составляющей скорости уменьшается, а модуль тангенциальной состав- ляющей остается неизменным. Рис. 11.8. Схема косого скачка уплотнения Формально косой скачок уплотнения может быть сведен к прямому скачку, который сносится вместе с потоком газа вбок вдоль фронта скачка со скоростью, равной тангенциальной составляющей скорости. Из этого следует, что при малых углах сверхзвуковой поток перед скачком мо- жет оставаться сверхзвуковым и после прохождения косого скачка уп- лотнения. При одной и той же скорости набегающего потока косой скачок уплот- нения всегда бывает слабее прямого. Для отношений давления в косом скачке может быть получено соотношение 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1 2 3 4 5 6 7 8 02 01 p p 1 M u 1 ко сой ск ачо к u 2 181 2 2 2 1 1 2 1 sin 1 1 p k k M p k k , (11.35) откуда видно, что в предельном случае, когда косой скачок переходит в прямой ( = 90 °), увеличение давления получается максимальным. В другом предельном случае, когда угол наклона скачка к направлению потока перед ним определяется условием 0 1 1 sin M (11.36) косой скачок вырождается в бесконечно слабую волну (p 1 р 2 ). Разъясним этот факт несколько подробнее. Пусть в некоторой точке «О» сверхзвуко- вого газового потока возникло бесконечно малое возмущение давления (рис. 11.9). Рис. 11.9. Образование волн слабых возмущений Слабая волна сжатия (или разрежения) побежит из центра возмущения во все стороны со скоростью звука а. Через единицу времени (t = 1 с) фронт волны будет представлять собой сферу радиуса r = а. Однако вся масса газа, в которой возникла волна, сносится по потоку со сверхзвуковой скоростью u > а. По этой причине слабые волны давления никогда не вый- дут за пределы конуса, поверхность которого является огибающей для сферических волн. Образующая такого конуса носит название волны Маха или характеристики. Угол 0 между образующей и осью называется углом Маха или углом распространения слабых возмущений. Этот угол, как вид- но из рис. 11.9, определяется равенством 1 sin a u M (11.37) Итак, фронт очень слабого косого скачка уплотнения располагается по отношению к набегающему потоку под углом 0 , который определяется равенством (11.36). Сильные возмущения, как было показано выше, рас- пространяются со сверхзвуковой скоростью, в связи с чем фронт сильного скачка образует с набегающим потоком больший угол, чем характеристи- ка: > 0 . Диапазон изменения угла для косого скачка уплотнения опре- деляется, таким образом, следующими пределами: a 2a 3a О u 2u 3u 1c 2c 3c 182 0 90 (11.38) Из изложенного видно, что полное торможение сверхзвукового потока требует либо одного прямого скачка, либо системы из нескольких косых скачков * Пример визуализации течения с образованием косых скачков уплотне- ния показан на рис. 11.9. Рис. 11.9. Комбинация конуса и цилиндра в сверхзвуковом полете: М = 1,84. Конические (косые) скачки уплотнения на вершине конуса. Пограничный слой за вершиной конуса становится турбулентным и порождает волны Маха при обтекании углов модели 11.4. Течение Прандтля-Майера Рассмотрим сверхзвуковое течение газа около тупого угла, рис. 11.10. Рис. 11.10. Течение Пландтля-Майера при обтекании тупого угла сверхзвуковым потоком При сверхзвуковом обтекании внешнего тупого угла АСВ газ расширя- ется, ибо область, занятая газом, увеличивается; при расширении газ уско- ряется. Вдоль участка стенки АС скорость газа постоянна. Угловая точка С при обтекании ее газом является препятствием, которое служит источни- * Система косых скачков обычно завершается слабым прямым скачком уплотнения. u н u > к u н A K K’ L’ L C B 183 ком возникновения слабых возмущений в газовом потоке. Эти возмуще- ния, как было показано (см. раздел 11.3), распространяются в равномерном потоке по прямой линии характеристике СK, которая отделяет невозму- щенный газовый поток от возмущенного. Вдоль участка стенки СВ ско- рость газа снова принимает постоянное значение, большее, чем в исходном потоке вдоль АС. Это значит, что возмущение, возникшее вследствие обте- кания угловой точки С, закончится на другой характеристике CL , которая также прямолинейна. Таким образом, поворот потока к новому направле- нию осуществляется внутри угла KCL между двумя прямолинейными ха- рактеристиками. Последняя характеристика CL , на которой завершается поворот газово- го потока около точки С, располагается под углом к к стенке СВ, соот- ветствующим равенству к к 1 M , (11.39) тогда как первая характеристика располагается под углом н к стенке АС в соответствии с равенством н н 1 M (11.40) здесь М н , M к значения чисел Маха до и после поворота потока. Таким образом, поворот потока около тупого угла и связанное с этим расширение газа (уменьшение давления) можно рассматривать как после- довательность слабых возмущений источником которых служит вершина угла; эти возмущения распространяются в потоке по прямолинейным ха- рактеристикам, исходящим из вершины. Сверхзвуковое течение с непрерывным увеличением скорости, такое, как описано выше, называется течением Прантля-Майера. 11.5. Контрольные вопросы 1. Дайте определение понятиям скачок уплотнения и ударная волна. Какова причина их возникновения? 2. Как изменяются давление, температура и плотность газа при прохо- ждении скачка уплотнения? 3. Дайте определение понятию спутный поток. 4. Как изменяется энтропия газа при прохождении скачка уплотнения? 5. Как изменяются полное давление и полная температура газа при прохождении скачка уплотнения? 6. Как располагаются на графике друг относительно друга адиабата Пуассона и адиабата Гюгонио? 7. Запишите формулу Прандтля для прямого скачка уплотнения. 184 8. Скорость распространения ударной волны по отношению к непод- вижному газу больше скорости звука? 9. Интенсивность какого скачка уплотнения больше прямого или косо- го? 10. Дайте определение понятию угол Маха. 11. Опишите качественную картину течения Прандтля-Майера при об- текании сверхзвуковым потоком тупого угла. |