Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
1 2 p p p . Относительная величина этого пере- пада м м 2 / 2 p w (8.24) называется коэффициентом местного сопротивления. В общем случае ко- эффициент м зависит от геометрии потока (то есть типа местного сопро- тивления и его размеров) и числа Рейнольдса и определяется с использова- нием экспериментальных данных. С учетом введенного коэффициента ме- стного сопротивления, получим 2 2 м м м м , 2 2 w w p h g (8.25) Зависимость (8.25) называется формулой Вейсбаха. Таким, образом, для учета потерь полного давления необходимо уметь определять коэффициенты м и , которые в общем случае зависят от кон- фигурации потока и режима течения (числа Рейнольдса). 8.4. Ламинарное и турбулентное течение жидкости в трубах Ламинарное (слоистое) течение, возникновение турбулентности. При установившемся ламинарном движении несжимаемой жидкости в круглых трубах напряжение трения и, следовательно, коэффициент гид- равлического трения могут быть определены на основании решения урав- нений Навье-Стокса. Такое решение получено в разделе 7.1 и имеет вид 2 32 pd w l или 2 32 lw p d , (8.26) где d – диаметр канала; l – его длина. Найдем коэффициент сопротивления течению жидкости в канале, представив перепад давлений в виде формулы Дарси-Вейсбаха 2 2 l w p d (8.27) Сравнивая (8.26) и (8.27), получаем следующую формулу, называемую формулой Пуазейля 64 64 Re d wd , (8.28) где Re d wd wd – число Рейнольдса. 121 Эти результаты в диапазоне чисел Рейнольдса кр Re Re d хорошо соот- ветствует опытным данным Никурадзе. Если число Рейнольдса потока бу- дет больше критического кр Re , то возможно нарушение ламинарного ха- рактера течения и возникновение турбулентности. Для круглых труб при- нимают кр Re 2300 (8.29) При этом необходимо отметить, что критическое число Рейнольдса кр Re , при превышении которого возникает турбулентность, существенно зависит от внешних возмущений, вносимых в поток. Так, например, если вход в трубу сделать плавным, устранить другие источники внешних воз- мущений, то ламинарный режим сохраняется до Re 20000 и даже более. Поэтому кр Re следует понимать как границу устойчивого ламинарного режима в том смысле, что при кр Re Re d любые возмущения, вносимые в поток, будут с течением времени затухать и поток сохранит ламинарный характер. Переход к турбулентному режиму сопровождается изменением закона сопротивления, а также формы профиля скорости в поперечном сечении трубы. Сам переход не происходит мгновенно. При числах Рейнольдса не- много меньших критического в ламинарном потоке периодически возни- кают очаги турбулентности, которые могут на отдельных участках запол- нять все сечение потока, образуя турбулентные пробки. Такое явление, ко- гда через одно сечение канала проходит то турбулентный, то ламинарный поток называют перемежаемостью и характеризуют коэффициентом пе- ремежаемости / t T , который представляет собой долю t некоторо- го интервала времени Т, в течение которой в данной точке потока сущест- вует турбулентный режим. При увеличении числа Рейнольдса коэффици- ент непрерывно возрастает и достигает единицы при развитом турбу- лентном режиме. Если трубе не круглая, то при определении числа Рейнольдса использу- ется гидравлический (эквивалентный) диаметр г см 4F d P (8.30) равный отношению учетверенной площади живого сечения F к смоченно- му периметру потока Р см * При ламинарном течении профиль скорости (7.18) существует только на участке стабилизированного течения, где форма профиля не зависит от продольной координаты. Если же на вход трубы поступает однородный по * Нетрудно заметить, что для круглой трубы гидравлический и геометрический диаметры совпадают. 122 скорости поток, то возникает начальный участок течения, протяженностью l нач , на котором исходный однородный профиль скорости, вследствие дей- ствия вязких сил, преобразуется в параболический, рис. 8.3. Рис. 8.3. Схема начального участка ламинарного течения в трубе Так как на стенках трубы скорость жидкости равна нулю, а расход в любом сечении остается постоянным, то замедление движения у пристен- ных слоев компенсируется соответствующим увеличением скорости слоев, расположенных ближе к центру трубы. Таким образом, на начальном участке поток имеет ядро, где сохраняет- ся равномерное распределение скоростей, и пристенный пограничный слой, в котором скорость распределяется неравномерно. В конце участка пограничные слои смыкаются на оси трубы, и ниже по течению устанавли- вается параболическое распределение скоростей. Длина начального участка l нач может быть оценена по формуле С.М. Тарга нач 0,04 Re d l d (8.31) На начальном участке формула (8.28) несправедлива, поэтому для оп- ределения гидравлического сопротивления начального участка трубы должны применяться специальные экспериментальные данные или реше- ние уравнений Навье-Стокса при соответствующих начальных и гранич- ных условиях. Турбулентное течение. При расчете турбулентных течений в настоя- щее время используют экспериментальные данные, так как уравнения Рей- нольдса незамкнуты и, следовательно, не могут быть решены без исполь- зования дополнительной информации. Рассмотрим турбулентный поток жидкости в круглой трубе, рис. 8.4. Подробно структура и профиль скорости турбулентного потока в кана- ле рассмотрены в Главе 14. Здесь же дадим только качественное описание картины течения. В турбулентном потоке полное напряжение трения слагается из вяз- костного (обусловленного действием молекулярной вязкости жидкости) и турбулентного т . Вследствие действия молекулярной вязкости жидкость прилипает к стенкам канала, поэтому в потоке существует пристенный ядро пограничный слой l нач x 1 0 2 1 2 123 вязкий подслой толщиной . В пределах вязкого подслоя т . В цен- тральной части потока (в турбулентном ядре) т . Таким образом весь поток можно разбить на область турбулентного течения и вязкий подслой. В действительности резкой границы между вязким подслоем и турбулент- ным ядром не существует, переход осуществляется через буферную об- ласть конечной толщины. Здесь двухслойная модель используется как приближенное описание реальной структуры потока. Рис. 8.4. Схема структуры турбулентного потока в трубе: 1 – профиль скорости при турбулентном потоке; 2 – при ламинарном потоке В вязком подслое характер течения близок к течению Куэтта, поэтому профиль скорости здесь линейный, описывается формулой (7.23). Учиты- вая, что при линейном профиле скорости / w u (где w – касатель- ные напряжения на стенке), для нашего случая получим w u y (8.32) Толщина вязкого подслоя может быть оценена по формулам 0,875 11,6 , 68, 4 Re d w d , (8.33) где Re d – число Рейнольдса, определенное по диаметру трубопровода. В турбулентном ядре потока профиль скорости описывается логариф- мической зависимостью (см. раздел 14.2.2) lg w w y u A B , (8.34) где А, В – экспериментальные константы. Согласно опытам И. Никурадзе А = 5,75, В = 5,5. Формула (8.34) справедлива, когда k . Здесь k – средняя высота вы- ступов шероховатости стенки. В этом случае турбулентное ядро не будет испытывать непосредственного влияния шероховатости. Трубы, работаю- щие в таком режиме, называются гидравлически гладкими. 124 При k на закон распределения скорости влияет шероховатость стенок. В этом случае для расчета профиля скорости может использоваться следующая формула И. Никурадзе 5,75lg Re 8,48 w y u k (8.35) Экспериментальные исследования показали, что вблизи оси трубы рас- пределение скоростей несколько отличается от логарифмического, но это отличие несущественно. Логарифмический профиль скорости является универсальным, пригодным для диапазона чисел Рейнольдса Re 4000 d Кроме логарифмического профиля в практике расчетов турбулентных течений широко используется степенная аппроксимация опытных данных по распределению скоростей 1 max 0 n u y u r , (8.36) где u max – значение скорости на оси трубы. Показатель степени n является функцией числа Рейнольдса. При 5 Re 4000...32, 4 10 можно принять 6...10 n . Для гидравлически гладко- го режима течения 7 n Зная распределение скорости по сечению трубопровода, можно опреде- лить отношение скорости на оси трубы u max к среднерасходному значению w. Например, для степенного профиля при n = 7 u max /w = 1,22. Из этой оценки следует, что при турбулентном режиме течения скорость потока распределена по поперечному сечению более равномерно, чем при лами- нарном течении (u max /w = 2), что связано с влиянием турбулентного пере- мешивания. Качественный вид профиля скорости в канале трубопровода при ламинарном и турбулентном режиме течения показан на рис. 8.4. Приведенные выше формулы распределения скорости соответствуют стабилизированному, то есть полностью развитому течению. Формирова- ние стабилизированного турбулентного потока, как и в рассмотренном выше случае ламинарного течения, происходит постепенно. Длина началь- ного участка составляет 25…40 диаметров (или, как говорят, калибров) трубы. 8.5. Опытные данные о коэффициенте гидравлического трения Если при эксперименте измерить перепад давления и среднюю ско- рость в трубопроводе, то коэффициент гидравлического трения может быть найден по формуле Дарси-Вейсбаха. Впервые такие опыты выполнил и обобщил для гидравлически гладких и шероховатых труб Иван Ильич Никурадзе в Гетингенском университете 1933 г. под руководством Л. Прандтля. Опыты проводились для труб с искусственно созданной рав- 125 номерно-зернистой шероховатостью, то есть бугорки шероховатости име- ли приблизительно одинаковые размеры и форму * . Результаты опытов И. Никурадзе представлены на диаграмме, рис. 8.5. В качестве геометриче- ского параметра подобия при обработке результатов экспериментов, в со- ответствии с (8.23), принято отношение / s k d , где индексом «s» отмечена равномерно-зернистая шероховатость, гидродинамического – число Рей- нольдса. На диаграмме имеется пять зон. Рис. 8.5. Диаграмма И. Никурадзе зависимости коэффициента трения для труб с равномерно-зернистой шероховатостью 1 – зона ламинарного режима (Re < 2300). В пределах этой зоны не зависит от шероховатости (кривая 1) и подчиняется формуле Пуазейля 64 Re d (8.37) 2 – переходная зона от ламинарного к турбулентному режиму течения соответствует числам Рейнольдса 2300 Re 4000 d (кривая 2). В потоке наблюдается исчезающие очаги турбулентности. Коэффициент трения оп- ределяется по формуле Френкеля 0,53 2,7 Re d (8.38) 3 – зона турбулентного движения в гидравлически гладких трубах (кривая 3 на рис. 8.5) соответствует числам Рейнольдса 4000 Re 20 d s d k * Естественная шероховатость, образующаяся в трубах в результате коррозии, от- ложений и эрозии существенно неоднородна. 126 и высоте бугорков шероховатости 0,875 0 68,4 Re d s r k . Коэффициент трения может быть определен по формуле Блазиуса 0,25 0,316 Re d (8.39) 4 – доквадратичная зона сопротивления ограничивается кривой 3 и пунктирной линией K K (режим частично шероховатых труб) соответст- вует числам Рейнольдса 20 / Re 500 / s d s d k d k . Коэффициент трения может быть определен по формуле Альтшуля 0,25 68 0,11 Re s d k d (8.40) 5 – зона квадратичного сопротивления образована горизонтальными участками кривых * (режим развитой шероховатости) соответствует числам Рейнольдса Re 500 / d s d k . Здесь работает формула Никурадзе 1,74 lg s d k (8.41) или формула Шифрисона 0,25 0,11 k d (8.42) При данном режиме течения толщина вязкого подслоя мала и турбу- лентный поток непосредственно взаимодействует с выступами шерохова- тости. Эта зона называется автомодельной зоной, так как не зависит от Re d Заметим, что формула Альтшуля является универсальной, так как при k s = 0 она переходит в формулу Блазиуса, а при Re d – в формулу Шифрисона. Для труб с естественной шероховатостью существуют аналогичные данные по коэффициенту , выполненные рядом исследователей позже ра- бот Никурадзе, рис. 8.6. Из рис. 8.6 видно, что в переходной области поведение коэффициента шероховатости отличается от зависимостей, полученных Никурадзе. Для труб с естественной шероховатостью в этой зоне всегда выше чем в квадратичной и непрерывно убывает при увеличении Re. Это объясняется неравномерностью шероховатости. В результате на сопротивление влияет не только средняя высота выступов шероховатости, но и их форма, а также расположение на стенке. Поэтому в практике пользуются эквивалентной шероховатостью k экв , под которой понимают такую высоту выступов одно- * Зона называется «квадратичной», так как не зависит от Re и потери давления пропорциональны квадрату скорости. 127 родной (песочной) шероховатости, которая создает сопротивление, равное сопротивлению реальных труб. Значения k экв определяются эксперимен- тально и приводятся в специальных справочниках в зависимости от типа, материала и размера труб. Отношение k/k экв колеблется в широких преде- лах от 1,5 до 10. Рис. 8.6 Диаграмма для определения коэффициента трения для труб с естественной шероховатостью 8.6. Местные гидравлические сопротивления Определение коэффициента потерь полного давления на местных со- противлениях теоретическими методами затруднено вследствие сущест- венной трехмерности течения. Поэтому коэффициенты в основном опре- деляют экспериментально * по формуле Вейсбаха по результатам замера перепада давления и расхода. Лишь для отдельных частных случаев в зоне квадратичного сопротивления, где коэффициент потерь не зависит от чис- ла Рейнольдса, а определяется только геометрическими параметрами мест- ного сопротивления, получены теоретические решения. Рассмотрим, в ка- честве примера, определение коэффициента потерь на внезапном расши- рении и сужении потока. Потери на внезапное расширение. В этом случае на уступе канала происходит отрыв потока с образованием вихрей в отрывной зоне в углах * Больщой объем информации о величинах коэффициентов потерь полного давле- ния для различных типов местных сопротивлений, а также данные, необходимые для расчета потерь на трение, приведены в [5]. 128 канала. Схема течения показана на рис. 8.7. Образовавшаяся транзитная струя расширяется и в сечении 2 2 достигает стенок канала. Распределе- ние скорости в этом сечении еще существенно неоднородно и стабилизи- руется только в сечении 2 2. На участке течения от сечения 1 1 до сечения 2 2 происходит потеря механической энергии потока, обусловленная пре- одолением вязких сил, возникающих в вихревой зоне и в процессе стаби- лизации эпюры скоростей. Существуют также потери механической энер- гии, обусловленные трением жидкости о стенки канала, которыми будем пренебрегать, считая, что протяженность местного сопротивления невели- ка. Рис. 8.7. Течение жидкости в окрестности внезапного расширения Выразим потери на внезапное расширение при помощи уравнения Бер- нулли, записанное для сечений 1 1 и 2 2, считая, для простоты, что 1 2 1 2 2 вн.р 1 2 1 2 2 p p p w w (8.43) Перепад давлений 1 2 p p найдем при помощи уравнения сохранения количества движения, записанного в проекции на ось канала для объема, показанного на рис. 8.7 пунктиром. При этом учтем, что на кольцевой по- верхности уступа к 2 1 F F F можно принять давление, равным р 1 . Тогда закон сохранения количества движения запишется в виде 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 p F p F w F w F (8.44) Из (8.44), учитывая, что 1 1 2 2 w F w F , имеем 1 2 2 2 1 p p w w w (8.45) Подставив (8.45) в (8.43) получим формулу Борда 2 вн.р 1 2 2 p w w (8.46) Приводя формулу Борда к виду формулы Вейсбаха, можем записать 2 2 2 2 1 2 1 1 вн.р 1 2 1 1 2 2 w w w F p w F (8.47) 129 Таким образом, для внезапного расширения в квадратичной зоне тече- ния 2 1 вн.р 2 1 F F (8.48) В частном случае истечения из трубы в большой резервуар 2 1 F F и вн. р 1 . То есть в этом случае теряется весь скоростной напор потока, имеющийся во входном сечении трубопровода. Потери на внезапное сужение. В этом случае в углах местного сопро- тивления также образуется отрывная зона. Кроме того отрыв потока про- исходит и непосредственно на входе в узкую часть трубы, см. рис. 8.8. Транзитная струя, благодаря силам инерции сжимается, образуя сжатое се- чение F c , а затем снова расширяется, занимая все сечение трубы. Рис. 8.8. Течение жидкости в окрестности внезапного сужения Измерение показывает, что основные потери давления происходят на участке расширения транзитной струи за сечением F c . Применим к участку потока между сечениями с с и 2 2 (см. рис. 8.8) формулу Борда: 2 суж 2 2 c p w w (8.49) или, записывая (8.49) в форме Вейсбаха, 2 2 2 2 2 суж 2 2 1 1 1 2 2 c F p w w F , (8.50) где коэффициент внутреннего сжатия 2 / c F F может быть определен по формуле 2 1 1 1 1 / F F (8.51) Из (8.50) и (8.51) находим 2 суж 1 1 F F (8.52) 130 Если труба стыкуется с большим резервуаром, то 1 2 F F и суж 1 Для других форм сужения потока коэффициент гидравлического сопро- тивления можно определить по формуле 2 суж 1 1 F F , (8.53) где экспериментальный коэффициент. Взаимное влияние местных сопротивлений. Формулы для расчета коэффициентов гидравлических потерь на местных сопротивлениях такие, как (8.25) и т. п. получены при условии, что на входе в местное сопротив- ление имеется полностью развитый профиль скорости. Следовательно, ими можно пользоваться, если между местными сопротивлениями имеются достаточно длинные прямолинейные участки трубопроводов. На практике иногда местные сопротивления располагаются настолько близко друг к другу, что поток между ними не успевает выровняться, поскольку вихре- образования, возникающие при прохождении местного сопротивления, сказываются на значительном расстоянии вниз по течению. Вместе с тем при практических расчетах в большинстве случаев суммарные потери в трубопроводах определяются путем простого суммирования потерь, опре- деленных по формулам типа (8.25). В случаях, когда расстояние между отдельными местными сопротивле- ниями меньше длины влияния, для точных расчетов суммарная величина сопротивлений должна быть установлена с помощью специальных экспе- риментов. Она может оказаться как больше, так и меньше суммы соответ- ствующих единичных сопротивлений в зависимости от длины прямого участка между ними. В качестве примера взаимного влияния местных со- противлений на рис. 8.9 показано изменение суммарного коэффициента сопротивления двух незакругленных поворотов под углом = 45 в зави- симости от длины l вставки меду ними. Рис. 8.9. Взаимное влияние местных сопротивлений 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 0 1 2 3 4 5 6 С ум м ар ны й ко эффи ци ен т м ес тн ы х со пр от ив ле ни й Относительное расстояние между местными сопротивлениями, l/d 131 При l/d = 0 суммарная величина коэффициента местного сопротивления двух поворотов равна = 1,1, то есть равна коэффициенту для одного поворота на 90 . При увеличении l/d до 2 суммарная величина уменьша- ется до 0,23. При дальнейшем увеличении расстояния до l/d 6 воз- растает, стремясь к величине 0,472, равной удвоенному значению коэффи- циента для одного поворота на 45 8.7. Неустановившееся одномерное течение несжимаемой жидкости К таким течениям относится большинство неустановившихся потоков несжимаемой жидкости в трубах и каналах с недеформируемыми стенка- ми. Уравнение неустановившегося одномерного течения несжимаемой жидкости может быть получено аналогично (8.10) путем осреднения по площади живого сечения потока уравнения Бернулли для трубки тока (4.60). Проинтегрируем уравнение (4.60) по площади живого сечения и введем осредненные по площади параметры потока. Замечая, что уравнение (4.60) отличается от использованного для получения одномерного уравнения Бернулли установившегося течения, наличием инерционного члена, вы- полним осреднение только для него. В остальном искомое уравнение будет совпадать с (8.10) * Инерционный член, подлежащий осреднению, в форме потерь давления имеет вид 2 1 d s t s p t u s . (8.54) Осредним его по площади живого сечения F 2 2 1 1 2 1 1 d d d d d 2 s s t t F F s s F u u p u p F u s F F s Q Q t Q t 2 2 2 1 1 1 2 2 0 0 1 1 d d d d , 2 2 s s s s F s s w F w u F s s wF s Q t Q t Q t (8.55) где 2 0 1 d F u F F w – коэффициент осреднения количества движения, который будем считать независящим от времени. Учитывая, что расход Q = wF для несжимаемой жидкости не зависит от координаты, можем за- писать * Здесь необходимо заметить, что осреднение инерционного члена имеет смысл только для таких неустановившихся течений, форма линий тока которых не изменяется по времени. В противном случае осредненный параметр становится неоднозначным. 132 2 2 1 1 0 0 d d d d s s t s s w Q p s s t t F (8.56) В частном случае при течении жидкости в круглой прямолинейной трубе длиной L выражение (8.56) имеет вид 0 d d t w p L t (8.57) Теперь можем записать полное выражение для уравнения одномерного неустановившегося движения несжимаемой жидкости (опуская черту ос- реднения при инерционной составляющей потерь давления) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 2 2 t w w gz p gz p p p (8.58) Важно отметить, что инерционная составляющая потерь давления t p (инерционный напор h t ) является знакопеременной величиной, так как ее знак определяется знаком производной. В ускоряющихся потоках она по- ложительна, в замедляющихся – отрицательна. Физически данный член уравнения движения не связан с диссипацией механической энергии, то есть он выражает обратимые преобразования энергии. Потери полного давления на преодоления вязких сил p в неустано- вившемся движении в общем случае зависят от ускорения потока. Однако в практических расчетах для их определения чаще всего используют такие же зависимости, что и при установившемся течении. 8.8. Прямой гидравлический удар в трубах При больших ускорениях потока жидкости в трубе, например, при бы- стром открытии или закрытии заслонки клапана, влияние инерционного напора может оказаться превалирующим над другими членами уравнения (8.58). Так как при зарытии клапана d / d w t и, следовательно, t p , то для сохранения смысла уравнения должно выполняться ус- ловие 2 p . Экспериментальные работы показывают, что в реальных условиях даже при практически мгновенном изменении скорости давление р 2 не увеличивается до бесконечности * . Однако рост его может быть весь- ма существенным. Резкое изменение давления в трубе, вызванное большими локальными ускорениями жидкости, называют гидравлическим ударом. Рассмотрим фи- зическую картину его возникновения. Пусть в прямой горизонтальной трубе, питающейся из большого резер- вуара с постоянным уровнем, существует установившийся режим течения * Объяснением данного противоречия является допущение несжимаемости жидко- сти, принятое при выводе уравнения (8.58). 133 со скоростью w 0 . Допустим, что в некоторый момент времени клапан, рас- положенный в конце трубы мгновенно закрывается. Тогда слои жидкости, расположенные около клапана, окажутся благодаря инерции остальной жидкости сжатыми. А так как жидкости относятся к плохо сжимаемым средам, в них резко возрастет давление. Наряду с этим уплотнением слоев жидкости произойдет растяжение стенок трубы и повышение в них напря- жений. Это напряженное состояние среды не может быть локализовано, поэтому будет передаваться в слои жидкости, расположенные выше по те- чению в виде волны. Волна изменения давления, распространяющаяся вверх по течению, на- зывается прямой, а противоположного направления – обратной. Поверх- ность, отделяющая участок распространения ударной волны от участка не- возмущенного течения называется фронтом волны. Фронт волны гидрав- лического удара перемещается со скоростью, называемой скоростью фронта ударной волны. Волна сжатия, распространяющаяся вверх по потоку, достигнув резер- вуара, поглощается им; давление в начальном сечении трубопровода резко падает до первоначального уровня. Возникает волна разрежения, распро- страняющаяся по направлению к клапну по сжатой при прохождении пря- мой волны жидкости. В течение времени, пока волна разрежения не дос- тигнет клапана, давление на нем продолжает расти, так как инерционная составляющая напора продолжает преобразовываться в статический напор. Поэтому в нестационарной гидродинамике вводится такой параметр, как фаза гидравлического удара – время, в течение которого волна проходит двойную длину трубы. Если время закрытия затвора клапана t кл меньше фазы удара t уд , то давление на нем достигнет максимально возможной ве- личины. Такой гидравлический удар называется прямым. Определим давление прямого гидравлического удара. Рассмотрим тру- бопровод длиной L с внутренним радиусом r 0 и толщиной стенки . При внезапном останове потока жидкости его кинетическая энергия затрачива- ется на работу по расширению стенок трубы и на работу сжатия жидкости внутри трубы. Кинетическая энергия жидкости, содержащейся в трубе, найдется как 2 2 2 0 2 2 w w K m r L (8.59) Элементарная работа 1 d A , затрачиваемая на перемещение стенок трубы на величину d r , равна произведению силы внутреннего давления жидко- сти, действующей на стенку трубы после удара F, на деформацию стенки: 1 d d 2 d A F r rLp r (8.60) Выразим элементарную деформацию стенок трубы d r через прираще- ние давления d p . Для этого запишем изменение напряжений в стенке тру- бы d при ее деформации, используя закон Гука 134 ст d d r E r , (8.61) где Е ст – модуль упругости материала стенки трубы. С другой стороны это растягивающее напряжение равно отношению приращения силы внутреннего давления, равной (в расчете 1 м длины) 2 d r p и действующей в продольном сечении трубы, на площадь этого се- чения 2 (где - толщина стенки трубы). То есть 2 d d d 2 r p r p (8.62) Из (8.61) и (8.62) находим 2 ст d d r r p E (8.63) Подставив (8.63) в (8.60), получим 3 1 ст d 2 d r A Lp p E (8.64) Учитывая, что в приведенных выражениях р – это избыточное давле- ние, и принимая приближенно 0 r r , проинтегрируем (8.64): 3 3 3 2 0 0 0 1 ст ст ст 0 0 2 d 2 d p p r r Lr p A L p p L p p E E E (8.65) Найдем работу, затрачиваемую на сжатие жидкости А 2 . По определе- нию работы сжатия единицы объема среды имеем 02 1 d d A p (8.66) В соответствии с законом Гука изменение напряжения (давления) в жидкости d p при изменении ее объема d 1/ равно ж 1 d d p E , (8.67) где Е ж – модуль упругости жидкости. Подставив (8.67) в (8.66) и интегрируя полученное выражение, получим 2 02 ж ж 0 1 d 2 p p p A p E E (8.68) Тогда работа сжатия всего объема жидкости в трубопроводе 2 2 2 2 02 0 0 ж 2 p A A r L r L E (8.69) В соответствии с теорией Н.Е Жуковского 1 2 K A A , (8.70) 135 или 3 2 2 2 2 2 0 0 0 ст ж 2 2 r r w r L Lp Lp E E (8.71) Решая (8.71) относительно р, находим ж 0 ж ст 2 1 E p w r E E (8.72) Величину ж пр 0 ж ст 2 1 E E r E E (8.73) называют приведенным модулем упругости. Скорость распространения волны сжатия-разрежения в упругой среде определяется, как / c E , (8.74) где Е – модуль упругости среды. Тогда величину пр уд E c (8.75) можно считать скоростью распространения ударной волны. С учетом вве- денных обозначений окончательно получаем соотношение уд p wc , (8.76) называемое формулой Жуковского. Если время закрытия клапана t кл больше, чем время фазы гидроудара t уд , то повышение давления р в системе при гидроударе можно оценить по формуле уд уд кл t p wc t (8.77) 8.9. Условия перехода скорости газа через скорость звука Найдем условие, при котором газ может разогнаться до скорости боль- шей скорости звука при течении по каналу переменного сечения. Рассмот- рим стационарное течение идеального газа в канале переменного сечения, считая, для простоты, что газодинамические параметры зависят только от одной координаты, совпадающей с осью канала. То есть предполагаем, что в каждом из поперечных сечений газодинамические параметры распреде- лены однородно. Уравнение неразрывности для данного случая имеет вид const uF , (8.78) 136 где F – площадь поперечного сечения канала. Продифференцируем это уравнение и разделим обе части на постоянную величину uF . В резуль- тате получим d d 0 u F u F (8.79) Представим первый член уравнения (8.79) в виде d d d d p p (8.80) Выразим отношение d / p из уравнения Бернулли (4.63). Учитывая, что газ в рассматриваемом случае технической работы не совершает тех d 0 e , течение стационарное d 0 t e , а для идеального газа d 0 e и, пренебрегая потенциальной энергией «положения», получим: 2 d d 2 p u (8.81) Подставим (8.81), (8.80) в (8.79) и учтем, что производная плотности по давлению равна обратной величине квадрата скорости звука, то есть 2 d / d 1/ p a . Тогда получим 2 2 1 d d d 0 2 u u F u F a (8.82) Или, проведя преобразования, 2 2 d d 1 u u F u F a (8.83) Отношение скорости течения газа к местной скорости звука носит на- звание числа Маха и обозначается через М: u M a (8.84) Течения со скоростями 1 u a M называются дозвуковыми, а при u a 1 M – сверхзвуковыми. При достижении потоком скорости звука М = 1 и имеет место звуковое течение. Число Маха играет важную роль в теории газовой динамики. Оно вы- ступает и как газодинамический параметр и может использоваться, как критерий подобия. Рассматриваемое, как критерий подобия, М показывает, какое влияние на газодинамические параметры оказывает сжимаемость среды. Если течение происходит с числами Маха 0,1...0,3 M , то для большинства практических задач сжимаемость можно не учитывать и для решения использовать модель идеальной жидкости. С использованием данного параметра уравнение (8.83) примет вид 137 2 d d 1 u F M u F (8.85) Это уравнение носит название уравнения Гюгонио, из которого, видно, что для ускорения дозвукового потока требуется уменьшать площадь сече- ния канала, а для ускорения сверхзвукового – увеличивать. Таким образом, для получения сверхзвукового потока канал должен иметь сужающуюся дозвуковую часть 1 M , при этом d 0 u и поток ускоряется. В мини- мальном сечении скорость потока достигает скорости звука 1 M . В по- следующей расширяющейся части канала течение сверхзвуковое 1 M и поток продолжает ускоряться. Круглый канал такой формы называется со- плом Лаваля. Если где-нибудь в потоке газа скорость u станет равна местной скоро- сти звука а, то такая скорость газа u = a* называется критической; крити- ческими называются и соответствующие значения р*, *, Т* давления, плотности и температуры. Живое сечение потока, где скорость течения га- за достигает критической скорости, называется критическим сечением. Поэтому минимальное сечение канала F* называется критическим. 8.10. Параметры торможения. Газодинамические функции Из (4.92) видно, что если газовую струю полностью затормозить, то те- плосодержание достигнет максимального значения 2 0 2 u h h , (8.86) которое называют полным теплосодержанием. Соответствующую темпе- ратуру газа * 0 0 p h T c (8.87) называют температурой торможения (или температурой адиабатически заторможенного потока). Температуру движущегося потока называют статической температурой. Температура торможения выражается через статическую температуру потока формулой, следующей из (8.86) и (1.31) 2 0 2 p u T T c (8.88) Преобразуем (8.88) с использованием формулы Майера (1.35): * Теплосодержание связано с температурой формулой (1.31). 138 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 / 1 1 1 1 , 2 2 p v p v v v p v p v v p v c c c c c c u R u u T T T T c R c c R c c c c R k u k u T T kRT a (8.89) где а – скорость звука в рассматриваемой точке потока. С использованием ранее введенного числа Маха (см. (8.84)), формула (8.89) может быть представлена в виде 2 0 1 1 2 T k M T (8.90) Используя уравнение адиабаты: 1 1 0 0 / / k T T , 1 0 0 / / k k p p T T можно получить следующие выражения для определения адиабатически заторможенной плотности 0 и давления 0 p через соответствующие статические параметры и число Маха: 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 , 1 2 2 k k k p k k M M p (8.91) Относительные функции 1 1 1 2 2 0 0 1 1 1 , 1 , 2 2 k T k k M M M M T (8.92) 1 2 0 1 1 , 2 k k p k M M p (8.93) устанавливающие связь между текущими (статическими) параметрами по- тока и параметрами в состоянии торможения называются газодинамиче- скими функциями адиабатического, изоэнтропического течения. Они зата- булированы в функции числа Маха и широко применяются в практике ин- женерных расчетов газовых течений * Интересно отметить, что в изоэнтропических формулах (8.91) содер- жатся, как частный случай при М = 0 формулы несжимаемой жидкости: 2 0 0 и 2 u p p (8.94) Для того, чтобы показать это необходимо разложить правые части (8.91), в степенные ряды при малых М [2]. То есть число Маха может яв- ляться мерой сжимаемости движущейся среды. Так, если допустить ошиб- * Кроме перечисленных имеется широкий набор других, дополнительных газоди- намических функций, расширяющих возможности расчетной оценки параметров газо- вых потоков. 139 ку от неучета сжимаемости 1 %, то число Маха в потоке не должно пре- вышать М 0,14. Таким образом, течение газа с невысокими скоростями можно рассматривать, как течение несжимаемой жидкости. Поскольку скорость потока может быть как выше, так и ниже скорости звука, существует и такой режим, когда скорость потока равна скорости звука, то есть М = 1. Этот режим называется критическим. Ему соответст- вует значение температуры в потоке 1 * 0 0 0 1 2 1 1 2 1 k T T T T k (8.95) Само значение скорости звука критического режима отличается от ско- рости звука в заторможенном газе * * 0 0 2 1 a T a T k , (8.96) откуда * 0 2 1 k a RT k (8.97) Можно охарактеризовать степень преобразования теплосодержания в кинетическую энергию еще одним способом, поделив тепловой перепад на теплосодержание при критическом режиме, то есть 2 2 2 2 0 0 * * * 2 2 * * * / 2 / 2 / 2 1 2 ( ) p p p p v T T h h u u u u k kR c T h c T a c T a kR k c c . (8.98) Отсюда находим отношение 0 / T T 2 2 * 0 1 1 1 T k u T k a (8.99) Отношение скорости потока u к критической скорости звука a* называ- ется приведенной скоростью или скоростным коэффициентом * : кр u a (8.100) С учетом введенного параметра формула (8.99) примет вид 2 0 1 1 1 T k T k (8.101) Из (8.101) следует, что при максимальном расширении газа, когда T = 0, скоростной коэффициент принимает максимальное значение * Используется также термин коэффициент скорости. 140 max 1 1 k k (8.102) Величина nax позволяет найти максимальную скорость потока, дости- жимую при расширении до вакуума (р = 0) в сопле Лаваля. Вспоминая оп- ределение скоростного коэффициента / * u a и выражение для критиче- ской скорости звука 0 * 2 / 1 a a k , находим * max max 0 0 0 1 2 2 2 1 1 1 k k u a kRT RT h k k k , (8.103) где индексом «0» обозначены параметры адиабатически заторможенного потока. Из (8.103) видно, что максимально достижимая в сопле Лаваля скорость газового потока определяется величиной его заторможенной эн- тальпии. Например, воздух, имеющий температуру торможения 0 300 T K , невозможно разогнать до скорости более, чем 775 м/с. Введенные ранее газодинамические функции могут быть выражены и через скоростной коэффициент. Относительная температура нахо- дится по формуле (8.101), а относительная плотность и давление находятся из нее при помощи уравнения адиабаты 1 1 1 2 2 1 1 1 , 1 1 1 k k k k k k k (8.104) Приведенная скорость , как и число М, считается критерием подобия для газовых течений, характеризующим степень преобразования теплосо- держания в кинетическую энергию. Между ними существует однозначная взаимосвязь, которую можно получить путем следующих преобразований 2 2 2 * 2 2 2 2 2 * 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 2 * 2 0 0 2 2 1 1 1 1 1 a a a T u u a k M k k T a a a a a a k . (8.105) Обратное преобразование находится аналогично и выражается зависи- мостью 2 2 2 1 2 1 1 2 k M k M (8.106) 8.11. Контрольные вопросы 1. Дайте определение понятию плавноизменяющееся течение, каковы его свойства? 2. Запишите уравнение Бернулли для потока несжимаемой жидкости. 141 3. Дайте определение коэффициента Кориолиса. Каковы его значения для ламинарного и турбулентного режимов течения? 4. Дайте определение понятию полное давление, статическое давление, динамическое давление. 5. Дайте определение понятиям гидродинамический (полный) напор, пьезометрический напор, динамический напор, потеря напора. 6. Дайте геометрическую трактовку уравнения Бернулли. 7. В чем заключается природа потерь полного давления (напора)? 8. Запишите обобщенную зависимость для расчета потерь полного дав- ления при течении жидкости в каналах. 9. Запишите формулу Дарси-Вейсбаха. 10. Запишите формулу Вейсбаха для расчета потерь давления на мест- ном сопротивлении. 11. Опишите качественную структуру пограничного слоя и потока в целом при течении жидкости в канале при ламинарном и турбулентном режимах. 12. Каково критическое число Рейнольдса при течении жидкости в ка- налах? 13. Опишите основные области диаграммы Никурадзе. 14. Запишите формулу Борда для расчета потерь давления при внезап- ном расширении потока. 15. В чем причина взаимного влияния местных сопротивлений на вели- чину потерь давления? 16. Что представляет собой инерционный напор, каков его знак? 17. Запишите формулу Жуковского для определения давления при прямом гидравлическом ударе. 18. Запишите уравнение Гюгонио. Какова форма проточной части со- пла Лаваля? 19. Каков физический смысл числа Маха газового потока? 20. Дайте определение понятиям: параметры торможения, критические параметры. 21. Дайте определение основных газодинамических, изоэнтропических функций. |