Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа

• Название: Механика жидкости и газа
• Анкор: Гидравлический пресс
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: TPM_Zezin_mehanika_zhidkosti_gaza.pdf
• Тип: Учебное пособие; #561398
• страница: 19 из 22

14.2.3
Уравнение переноса кинетической энергии турбулентности
Как мы видели ранее важным параметром, характеризующим турбу- лентность и использующимся во многих моделях турбулентности, являет- ся кинетическая энергия турбулентности. Получим уравнение переноса энергии турбулентности, описывающего изменение этого параметра в тур- булентном потоке.
Умножим уравнение Навье-Стокса (4.24) скалярно на вектор скорости u:
2 1
,
,
1,3
j
j
j
j
j i
j
j
j
j
i
j
i
i
u
u
u
p
u
u u
u f
u
u
i j
t
x
x
x x







 





 
(14.18)
(По повторяющимся индексам i и j подразумевается суммирование.)
Выполним осреднение получившегося уравнения по Рейнольдсу, используя свойст- ва (4.99) и считая, что объемная сила f есть сила тяжести и, следовательно, ее пульса- ционная составляющая равна нулю
2 1
j
j
j
j
j
j
j
j i
i
j
j i
j i
j
j
i
i
i
i
j
i
i
u
u
u
u
u
u
p
u
u u
u u
u u
u u
u
u
t
x
x
x
x
x
x x















 


 






 
 








 
2 1
,
,
1,3
j
j
j
j
i
j
i
j
i
i
u
u
u
p
u
u
f
i j
t
x
x
x x










 





 
 




(14.19)
Обозначим через
/ 2
i i
k
u u

 

– пульсационную составляющую энергии турбулент- ности. Так как
0
i
i
u
x




в силу уравнения неразрывности, то
j
i
j
j i
j
i
i
u
u u
u u
u
x
x

 






. Выра- жение в квадратных скобках равно
i
j
i
u u
x
 



в соответствии с уравнением Рейнольдса
(4.107).
Кроме того заметим, что справедливо следующее равенство
j
j
j
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
i
u
u
u
u
k
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x







 





 



















 








. Учитывая эти замечания и определе- ние (14.1), уравнение (14.19) перепишем в виде
*
Вообще говоря, описанная выше картина течения в пограничном слое и распреде- ление скоростей в нем соответствуют течениям около гладкой стенки, когда высота бу- горков шероховатости значительно меньше динамической длины
*
y
. Мы уже касались вопроса влияния шероховатости на параметры течения, когда рассматривали экспери- ментальные данные по коэффициенту гидравлического трения труб

, см. разделы 8.4,
8.5. Более подробную информацию по данному вопросу можно найти, например, в [15].

229 2
1
j
j
j
i
i
i
i
j
i
i
j i
i
i
i
j
u
u
k
x
u
u p
k
k
k
u
u
u u
t
x
x
x
x
x
x
x
 







 



 
 







 

 
 
 

(14.20)
Введем обозначения:
1
s
i
i
i
k
D
u p
u k
x

 
 
 




– член, учитывающий диффузионный перенос энергии турбулентности, обусловленный молекулярной диффузией, турбулентной диффузией давления посредством корреляций давления и скорости и турбулентной диффузией пе- ремешивания посредством взаимодействия пульсаций скорости;
j
s
i
j
i
u
G
u u
x

 
 

– член, учитывающий порождение (генерацию) турбулентности, определяющийся произведением рейнольдсовых напряжений и средних градиентов скорости (характеризует перенос энергии от осредненного течения к пульсационному);
j
j
s
i
i
u
u
x
x




  


– диссипативный член, характеризующий рассеяние энергии, подве- денной к пульсационному течению, то есть, перенос энергии крупномасштабных вих- рей к мелкомасштабным диссипирующим вихрям.
С учетом введенных обозначений уравнение (14.20) окончательно при- нимает вид
s
i
s
s
i
i
D
k
k
u
G
t
x
x



 


 



(14.21) и носит название уравнения переноса энергии турбулентности.
Полученное уравнение (14.21) является незамкнутым, так как неизвест- ны величины корреляций пульсаций давления и скорости
j
u p
 
, двойные
j i
u u
 
и тройные
/ 2
i
i
j
j
u k
u u u
 
  

корреляции скорости. Замыкание уравне- ния (14.21) составляет задачу, решаемую в рамках той или иной гипотезы
(модели) турбулентности. При этом указанные члены соответствующим образом моделируются с использованием эмпирических данных или иных соображений, подчас эвристического характера.
14.2.4
Уравнение переноса изотропной диссипации энергии
турбулентности
В уравнение переноса энергии турбулентности (14.21) входит слагае- мое
s

, которое должно моделироваться исходя из принятой гипотезы тур- булентности. Одним из путей моделирования
s

является решение уравне- ния переноса диссипации.
Для изотропной диссипации уравнение ее переноса может быть получено из урав- нения Навье-Стокса (4.24) следующим образом. Продифференцируем (4.24) по
i
x
(суммирование по повторяющемуся индексу):
2 1
j
j
j
j
k
i
i
k
i
i
j
i
k
k
u
u
f
u
p
u
x
t
x
x
x
x
x
x
x x






















 



















 


 










(14.22)

230
Изменим порядок дифференцирования в первом слагаемом слева, умножим полу- чившееся уравнение на
/
j
i
u
x



и осредним его по Рейнольдсу (суммирование по по- вторяющемуся индексу):
1
j
j
j
j
j
j
j
k
i
i
i
i
k
i
i
i
i
j
u
u
u
u
f
u
u
p
u
x
t
x
x
x
x
x
x
x
x
x
















 














 

 






 












 










 













2 2
,
,
1,3
j
j
i
i
k
k
u
u
i j
x
x
x x






 










 




(14.23)
Первое слагаемое в левой части (14.23) преобразуем следующим образом, исполь- зуя правила осреднения (4.99).
j
j
j
j
j
j
j
i
i
i
i
i
i
i
u
u
u
u
u
u
u
x
t
x
x
t
x
t
x
x
t
x















 








 






 

 




 








 


 

 
 

 

 








 



1 1
2 2
j
j
j
j
s
i
i
i
i
u
u
u
u
x
t
x
t
x
x
t






 

 






 
 


 




 
  


 



(14.24)
Рассмотрим второе слагаемое в левой части (14.23). Выполним дифференцирование в квадратных скобках и представим проекции скорости в виде суммы осредненной и пульсационной составляющей








2
j
j
j
j
j
j
j
k
k
k
k
k
i
i
k
i
i
k
i
k
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
x
x x





























 
















 












Или, используя правила осреднения (4.99),
j
j
j
j
j
j
j
j
k
k
k
k
i
i
k
i
i
k
i
i
k
i
i
k
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



























 
 
 










  
  
  






2 2
2
j
j
j
j
j
j
k
k
k
i
i
k
i
i
k
i
i
k
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x x
x
x x
x
x x














 
 

  
  
  
j
j
j
j
j
j
k
k
k
i
k
i
i
i
k
i
i
k
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x
x
x
x
x
x
x







 









 

 





 

  
  


2 1
1 2
2
j
j
j
j
j
j
k
k
k
i
i
k
k
i
i
k
i
i
u
u
u
u
u
u
u
u
u
x
x x
x
x
x
x
x
x









 
 

















  

 

 




(14.25)
Последнее слагаемое в правой части (14.23) преобразуем следующим образом, ис- пользуя правила осреднения (4.99).
2 2
2 2
2 2
2 2
2
j
j
j
j
j
j
j
i
i
k
k
i
i
k
k
i
i
k
k
j
j
j
j
k
i
k
i
k
i
i
k
u
u
u
u
u
u
u
x
x
x x
x
x
x
x
x
x
x x
u
u
u
u
x
x
x
x
x x
x x














 















 
 





















 






 
































 
  













 
 








1 2
j
j
k
k
i
i
u
u
x
x
x
x







 


 














 









231 2
2 2
2 2
2 1
2
j
j
j
j
s
k
i
i
k
k
k
k
i
i
k
u
u
u
u
x x
x x
x
x
x x
x x



















 
 














 
 


 
 








(14.26)
Подставляя (14.24)…(14.26) в (14.23), обозначив
j
j
s
i
i
u
u
x
x


 

  
 
и учитывая опре- деление
s

, окончательно получим уравнение переноса диссипации энергии турбу- лентности
s
s
k
k
k
k
D
u
P
t
x
x









 



,
(14.27) где
2
s
k
k
k k
k
j
j
u
p
D
u
x
x
x







 
 
  

  
– член уравнения, учитывающий диффузию дис- сипации, обусловленную молекулярным, турбулентным переносом и действием пуль- саций давления;
2 2
j
j
j
j
j
j
j
j
k
k
k
k
i
k
i
i
i
k
i
i
k
i
i
k
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
P
u
x
x
x
x
x
x
x
x x
x
x
x











 












  









 


 
  

 






– член уравнения, учитывающий генерацию диссипации, обусловленную турбулент- ным перемешиванием в осредненном и пульсационном движении;
2 2
2
j
j
k
i
i
k
u
u
x x
x x








   





 
 



– диссипативный член уравнения.