Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
14.3. Некоторые гипотезы полуэмпирической теории турбулентности 14.3.1 Алгебраические модели турбулентности Данный класс моделей для связи турбулентных напряжений с осред- ненными параметрами течения используют алгебраические уравнения . В основе их лежит гипотеза о том, что поле осредненной скорости в данной точке пространства в любой момент времени однозначно определяет структуру турбулентности в этой точке. * Гипотеза Буссинеска. Одно из первых предположений о связи турбу- лентного напряжения i j с осредненной скоростью было сделано в гипоте- зе Ж. Буссинеска (1877 г.). Данная гипотеза представляет собой формаль- ную аналогию формулы Ньютона и для одномерного течения выражается следующей зависимостью т d d x yx u y , (14.28) где x u продольная компонента осредненной скорости; у – координата, направленная поперек потока; т коэффициент кинематической турбу- лентной вязкости (введенное Буссинеском понятие). * Гипотеза о локальном равновесии между структурой турбулентности и полем ос- редненных скоростей. 232 В общем случае трехмерного течения гипотеза Буссинеска по аналогии с обобщен- ной гипотезой Ньютона (3.29) записывается следующим образом т 2 2 3 i j i j i j u u k , (14.29) где 1 2 j i i j j i u u x x – тензор скоростей деформаций осредненного течения; k – ки- нетическая энергия турбулентности (линейный инвариант тензора ε ); i j – тензорная единица. С учетом (14.29) уравнения Рейнольдса для несжимаемой жидкости принимают вид 2 т 1 2 3 j j j j i i j i j i j i i i j i i u u u u u p k u f t x x x x x x x x или, группируя члены, и вводя модифицированное давление 2 3 P p k , 2 т 1 , 1,3 j j j i j i j i i u u u P u f j t x x x x (14.30) Большинство полуэмпирических теорий турбулентности используют уравнения Рейнольдса именно в таком виде, так как базируются на понятии турбулентной вязко- сти т Коэффициент кинематической турбулентной вязкости определяется для различных классов течений из опытных данных или исходя из априорных предположений. Простейшим является предположение о постоянстве ве- личины т , которое оправдывается только для ограниченного класса тече- ний, например для свободных турбулентных струй. При расчете течения в ограниченной области допущение т const дает поле скоростей течения, существенно отличающееся от опытного, так как в соответствии с услови- ем прилипания, турбулентные пульсации вблизи стенок должны затухать и, следовательно, т должен стремиться к нулю. Для течений вблизи плоской стенки (y = const) удовлетворительные ре- зультаты дает зависимость т , const ky k (14.31) Для течений в трубах возможно использование формулы 2 т 1 0 1 1 y k r , (14.32) где k 1 = const; r 0 – радиус трубы. Гипотеза Прандтля. Широкое распространение на начальном этапе изучения турбулентности получила полуэмпирическая теория турбулент- ности Л. Прандтля, основанная на понятии пути смешения. Поясним ее суть. Рассмотрим стационарное турбулентное течение вдоль плоской стен- ки. Осредненная скорость такого потока имеет только продольную состав- 233 ляющую, которая зависит только от координаты y: x u y . Пульсационные же составляющие скорости имеют две компоненты , x y u u . Пусть в началь- ный момент частица жидкости находилась в слое 1 и имела осредненную скорость x u y . Под влиянием пульсаций она прошла путь l , перемести- лась в слой 2 и приобрела осредненную скорость x x x u u y l u l y Основное допущение теории Прандтля заключается в том, что частица жидкости, проходя путь l , не взаимодействует с другими частицами, то есть ведет себя как молекула на длине свободного пробега. После переме- щения в результате смешения с другими частицами нового слоя она при- обретет усредненную скорость слоя 2. Следовательно, пульсация продоль- ной скорости в слое 1 равна d d x x x x u u u y l u y l y (14.33) Тогда, предполагая, что и x y u u величины одного порядка, можем за- писать, 2 2 2 2 d d d d x y u u u u l l y y (14.34) и модуль касательного турбулентного напряжения трения выразится фор- мулой 2 2 d d i j x y u u u l y , (14.35) где l l l – линейная величина, называемая путем смешения (длиной пу- ти перемешивания). В механике жидкости и газа эту величину трактуют, как геометрическую характеристику внутренней структуры турбулентного потока или как масштаб турбулентности. Сравнивая формулу (14.35) с формулой Буссинеска (14.28), находим связь коэффициента турбулентной вязкости с длиной пути смешения 2 т d d u l y (14.36) Как видим обе гипотезы и Буссинеска и Прандтля сводят задачу оты- скания связи между напряжением турбулентного трения и полем осред- ненных скоростей к другой задаче – определению некоторой функции ко- ординат т (x, y, z) или l(x, y, z), характерной для рассматриваемого типа турбулентного потока. Для определения пути смешения при течении около пластины Прандтль предложил использовать линейную связь l y , (14.37) 234 где у – расстояние от пластины; универсальная константа. Гипотеза Кармана. Для определения функции l(x, y, z) Т. Карман ис- пользовал гипотезу о подобии пульсаций скорости во всех точках данного турбулентного потока. Согласно гипотезе Кармана, поля турбулентных пульсаций скорости в окрестности каждой точки развитого турбулентного течения подобны друг другу и отличаются лишь масштабами длины и вре- мени (или длины и скорости). На основании этой гипотезы им получена зависимость 2 2 d / d d / d u y l u y , (14.38) где 0,41 – константа Кармана. Нетрудно заметить, что формула Кармана не применима для течений, где профиль осредненной скорости имеет точку перегиба, так как знамена- тель в (14.38) в этом случае обращается в ноль. Вообще, как формула Прандтля, так и Кармана подтверждается опыта- ми лишь для ограниченного класса турбулентных течений – для окрестно- сти плоской стенки. 14.3.2 Дифференциальные модели турбулентности Существует множество течений, в которых статистические параметры турбулентности в данной точке пространства зависят не только от локаль- ных значений осредненных параметров потока, но и от предыстории тече- ния. Так как равновесие во внутренней структуре турбулентности наступа- ет быстрее, чем равновесие между осредненным течением и турбулентно- стью, то получили широкое распространение модели турбулентности, в которых устанавливается связь между рейнольдсовыми напряжениями и статистическими моментами турбулентности. В этих моделях связь между ними и осредненными параметрами течения описывается дифференциаль- ными уравнениями, например, приведенными выше уравнениями переноса энергии турбулентности и переноса диссипации турбулентности. Поэтому данные модели называют дифференциальными моделями. k- модель турбулентности. Значительный вклад в разработку и разви- тие данной модели внесли Лаундер, Сполдинг, Джонс и др.Рассмотрим стандартную k- модель, предназначенную для моделирования полностью развитых свободных турбулентных течений и включенную во многие ком- мерческие программные комплексы для моделирования гидрогазодинами- ческих процессов. В этой модели для определения турбулентной вязкости используется предложенное Колмогоровым и следующее из соображений размерности соотношение 1 2 т k l (14.39) и формула (14.7), из которых следует формула Колмогорова-Прандтля 235 2 т s k C , (14.40) где для развитого турбулентного течения принимается 0,09 C Для определения энергии турбулентности k и диссипации s использу- ются дифференциальные уравнения (14.21) и (14.27) соответственно. Вхо- дящие в диффузионный D s член и в член генерации G s турбулентности уравнения (14.21) статистические моменты второго и третьего порядков моделируются следующим образом: т 1 i i k i k u p u k x , т 2 2 3 j j s i j i j i j i i u u G u u k x x . (14.41) Первое выражение (14.41) отражает градиентный характер диффузии, второе – использует обобщенную гипотезу Буссинеска (14.29). При моделировании членов уравнения (14.27), описывающих диффу- зию D , генерацию Р и диссипацию диссипации энергии турбулентно- сти используются общефизические соображения о природе турбулентного переноса. В конечном итоге они оказываются пропорциональными соот- ветствующим членам уравнения переноса энергии турбулентности. Ре- зультирующие выражения стандартной k- модели имеют вид т i i i j s i i k i j u k k k u s t x x x x , (14.42) 2 т 1 2 i i i j i i i j u u C s C t x x x k x k , (14.43) 2 т т т , 2 j i i j i j j i u u k C s x x , (14.44) 1 2 0,09, 1,44, 1,92, 1, 1,3. k C C C (14.45) Эта модель, как уже говорилось, справедлива для полностью развитого турбулентного течения (то есть при Re ), поэтому называется высоко- рейнольдсовой моделью. Ее использование некорректно при расчете при- стеночных течений, течений с большими зонами отрыва, градиентами дав- ления, закрученных потоков и некоторых других. Имеются различные модификации k- модели расширяющие область ее применения по числу Рейнольдса, например: RNG (на основе техники, за- имствованной из теории ренормализованных групп), низкорейнольдсовая (с использованием функций, демпфирующих турбулентность при прибли- жении к стенке), с использованием пристеночных функций. Первая и вто- рая из указанных модификаций требуют значительных ресурсов ЭВМ при расчете пограничных слоев, что ограничивает их использование. Значи- тельно более экономична модель с применением пристеночных функций. 236 Суть ее состоит в том, что уравнения движения для низкорейнольсовой области пограничного слоя не решаются, а используется универсальный закон стенки, описанный в разделе 14.2.2. С использованием универсаль- ного профиля скорости граничные условия для k и переносятся со стенки в логарифмическую область пограничного слоя и далее (на больших рас- стояниях от стенки) решаются уравнения (14.42)…(14.45) стандартной k- модели. В целом характеризуя k- модели можно отметить, что их применение дает хорошие результаты при расчете свободных сдвиговых течений, для расчета пристеночных течений, неплохо «работают» пристеночные функ- ции. К недостаткам моделей относятся ошибки при расчете отрывных те- чений, течений с большим положительным градиентом давления. Поэтому модели типа k-ε постепенно уступают позиции другим моделям. k- и двухзонная модель турбулентности. Вk- модели вторым па- раметром в дополнение к энергии турбулентности k рассматривается дис- сипация на единицу турбулентной энергии = ε/k. Параметр имеет раз- мерность частоты и его можно трактовать и как величину, обратную вре- мени жизни крупных вихрей. Турбулентная кинематическая вязкость в этой модели находится по формуле т / k . Первые работы по исполь- зованию удельной скорости диссипации для описания турбулентности принадлежат Колмогорову, которые были позднее развиты Уилкоксом, Саффменом, Рубезиным и др. Оказалось, что даже высокорейнольдсовая k- модель хорошо описы- вает пристенные течения без введения пристеночных функций, в том числе при больших положительных градиентах давления, однако чувствительна к постановке граничных условий во внешнем потоке, то есть к свободной турбулентности. SST модель Ментера объединяет достоинства k- и k- моделей. В ней во внутренней области используется модифицированная k- модель, пред- назначенная для описания пристеночных течений, а во внешней – стан- дартная k- модель, ориентированная на свободно-сдвиговые течения. В модели Ментера k- модель формулируется в переменных k и , а затем в полученные уравнения добавляется специальная функция, обеспечиваю- щая переключение с модели k- на k- при приближении к стенке. Сшивка решений по этим моделям предполагается в области следа пограничного слоя. SST модель хорошо зарекомендовала себя в расчётах отрывных тече- ний с небольшой зоной отрыва. Несмотря на некоторые недостатки, k-ω модели являются наиболее удачным видом моделей с двумя уравнениями, а модель Ментера SST по качеству предсказания параметров течения явля- ется лучшей из моделей, использующих гипотезу Буссинеска. Однако су- ществует ряд течений, которые не может правильно описать даже она. 237 Другие модели турбулентности. Кроме отмеченных выше существуют и другие модели, как использующие концепцию турбулентной вязкости, так и описывающие перенос непосредственно рейнольдсовых напряжений i j u u . Среди них k-l модель, где в качестве второго параметра использует- ся масштаб турбулентности l, нелинейная модель турбулентной вязкости, многочисленные модификации рассмотренных выше моделей и другие. В настоящее время разработаны сотни моделей турбулентности, но ни одна из них не является универсальной. Вместе с тем для многих видов течений известны наиболее надежные модели. Поэтому при решении конкретных задач необходимо не только выбрать наиболее подходящую модель турбу- лентности, но и оценить степень достоверности полученных с ее помощью результатов. Необходимо заметить, что гипотеза турбулентной вязкости не имеет строгого физического обоснования и в некоторых случаях противоречит экспериментальным данным. Как следствие, ее применение при расчете турбулентных течений может привести к большим ошибкам в пристеноч- ных областях, в случае отрыва потока, в закрученных течениях. Напомним, что рассмотренные методы расчета турбулентных течений были основаны на решении уравнений Рейнольдса, описывающих измене- ние осредненных гидродинамических параметров, а пульсационные со- ставляющие моделировались с использованием той или иной модели тур- булентности. Данный подход носит название метод RANS (Reynolds Aver- aged Navier-Stokes). |