Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа

• Название: Механика жидкости и газа
• Анкор: Гидравлический пресс
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: TPM_Zezin_mehanika_zhidkosti_gaza.pdf
• Тип: Учебное пособие; #561398
• страница: 16 из 22

ГЛАВА 12. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЙ ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ
12.1. Основные физические представления о пограничном слое.
Толщина пограничного слоя и толщина вытеснения
Представим твердое тело, которое обтекается потоком вязкой жидко- сти, рис. 12.1. Вблизи поверхности тела образуется тонкий слой жидкости, в пределах которого скорость потока изменяется от нуля на поверхности до скорости, близкой к скорости набегающего потока u
0
. Этот слой жидко- сти называется пограничным слоем. Заторможенные частицы жидкости по- граничного слоя образуют за телом гидродинамический след, где сохраня- ется неравномерное распределение скоростей. Внутри пограничного слоя и следа, где градиенты скорости значительны, силой вязкого трения пренеб- регать нельзя (силы инерции и вязкостные силы соизмеримы). Вне погра- ничного слоя и следа за телом, где градиенты скорости малы, силу вязко- стного сопротивления можно не учитывать и жидкость считать идеальной, а поток безвихревым (потенциальным).
Рис. 12.1. Схема течения с образованием пристенного пограничного слоя и гидродинамического следа (на рисунке толщина ПС искусственно увеличена)
Таким образом, поток разделен на две части: пограничный слой и внешний поток. Во внешнем потоке движение можно изучать используя уравнения Эйлера, а внутри пограничного слоя – уравнения Навье-Стокса.
Течение в пограничном слое может быть как ламинарным, так и турбу- лентным.
Толщина пограничного слоя мала по сравнению с расстоянием от точки его образования. Строго говоря, приближение скорости пограничного слоя к скорости внешнего потока имеет асимптотический характер, однако уже на относительно малом расстоянии

от твердой стенки разница этих ско- ростей незначительна и ей можно пренебречь. Таким образом,

зависит от точности, с которой определяется равенство скоростей в пограничном слое и во внешнем потоке. Следовательно, однозначно определить толщину по- граничного слоя невозможно. Для исключения этой неоднозначности в
u
0
u
0
ПС
ПС
ГС
u
x
x



186 теории пограничного слоя вводятся другие геометрические параметры, ко- торые косвенно характеризуют толщину

. К ним относятся толщина вы-
теснения

* и толщина потери импульса

**. Рассмотрим эти понятия бо- лее подробно.
Пусть имеется пластина, обтекаемая равномерным потоком вязкой жидкости, рис. 12.2. От начальной точки пластины 0 начинает формиро- ваться пограничный слой, толщина которого

*
, равна нулю в начале пла- стины и увеличивается к ее концу по мере развития течения, см. рис. 12.2.
Выше границы пограничного слоя на рис. 12.2 показана одна из линий то- ка внешнего течения. Составим уравнение баланса расходов в невозму- щенном течении (сечение 1

1 на рис. 12.2) и в промежуточном сечении пограничного слоя 2

2:
0 0
0
*
d
x
q
u
u
u
y

    

,
(12.1) где u
0
– скорость набегающего невозмущенного потока.
Рис. 12.2. К определению толщины вытеснения
В уравнении (12.1) произведение u
0

* выражает расход жидкости через участок сечения

*, где скорость в пограничном слое u
х
практически равна
u
0
. Из геометрических соображений следует
0
d y

 

. Подставим это вы- ражение в (12.1)
0 0
0 0
d
*
d
x
u
y
u
u
y


  


(12.2)
Отсюда находим толщину вытеснения

*
*
Считаем что толщина

определена при некоторой условно принятой погрешности соответствия скоростей в пограничном слое и во внешнем течении.
u
0
u
0
u
x
линия тока
1 2
y
1 2
x
x
A
0





187 0
0
*
1
d
x
u
y
u



 






(12.3)
Из формулы (12.3) видно, что толщина вытеснения представляет собой величину смещения линий тока внешнего потока относительно линий тока идеальной жидкости из-за образования пограничного слоя. Нетрудно заме- тить, что толщина вытеснения практически не зависит от принятой при определении

погрешности соответствия скоростей на границе ПС и во внешнем течении. В качестве верхнего предела интегрирования можно принять и бесконечность, так как подынтегральная функция асимптотиче- ски убывает до нуля при увеличении у. В результате величина интеграла практически не изменится. Поэтому иногда употребляют запись
,
0 0
*
1
d
x
u
y
u
 


 






(12.4)
Если вместо асимптотического пограничного слоя принята модель слоя конечной толщины, то, как видно из (12.4), можно установить однознач- ную связь между

* и

, если известно распределение продольной состав- ляющей скорости в пограничном слое.
Толщина потери импульса

** определяется соотношением
0 0
0
**
1
d
x
x
u
u
y
u
u











(12.5) и характеризует потерю количества движения, необходимого для преодо- ления сил трения в пограничном слое. Более подробно этот параметр будет рассмотрен далее.
12.2. Уравнения Прандтля ламинарного пограничного слоя
Рассмотрим обтекание криволинейной границы плоским установив- шимся потоком несжимаемой жидкости, рис. 12.3.
Рис. 12.3. Схема пограничного слоя на криволинейной поверхности
Вблизи поверхности формируется пограничный слой. В ламинарной области пограничного слоя течение может быть описано следующей сис- темой уравнений.
u
0
u
x
x
x
y

l

188
Уравнение неразрывности
0
y
x
u
u
x
y






(12.6)
Уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости (в предположе- нии пренебрежимости объемными силами)
2 2
2 2
1
x
x
x
x
x
y
p
u
u
u
u
u
u
x
x
y
x
y








 





 






,
(12.7)
2 2
2 2
1
y
y
y
y
x
y
u
u
u
u
p
u
u
y
x
y
x
y








 







 






(12.8)
Граничные условия
 
0
( ,0)
,0 0;
( , )
x
y
x
u x
u
x
u x
u


 
,
(12.9) где u
0
– продольная составляющая скорости на внешней границе погра- ничного слоя.
Особенности течения в пограничном слое, обусловленные высокими поперечными градиентами скорости и относительно малыми продольными градиентами, позволяют упростить эти уравнения. Оценим порядок каждо- го из членов уравнений Навье-Стокса. Для этого в качестве характерного продольного размера используем длину обтекаемого тела, то есть

x
l , характерного поперечного размера – толщину пограничного слоя, то есть

y

, в качестве характерной величины продольной скорости – скорость внешнего течения, то есть
0

x
u
u
Оценим порядок производных. Так как при изменении
x
u
от нуля до
0
u
у изменяется от нуля до

, то
2 2
0 0
0 0
2 2
2 2

,

,

,

x
x
x
x
u
u
u
u
u
u
u
u
x
l
y
y
x
l










(12.10)
Порядок поперечной составляющей скорости определим используя уравнение неразрывности:
0 0
0
d d

y
x
y y
u
u
u
u
y
y
y
x
l






 





(12.11)
Теперь для членов уравнения (12.8) можем получить следующие оцен- ки
2 2
0 0
0 0
2 2
3 2

,

,

,

y
y
y
y
u
u
u
u
u
u
u
u
x
y
l
l
l
x
l
y











(12.12)
Из этих оценок видно, что оба инерционных члена уравнения (12.7)
x
x
u
u
x


и
x
y
u
u
y


имеют один и тот же порядок
2 0
u
l
. Однако вязкостный член

189 2
2
x
u
x



мал по сравнению со вторым вязкостным членом
2 2
x
u
y



, ибо их от- ношение есть квадрат малой величины:
2 2
2 2
2 2
x
x
u
x
u
y
l
 



 

(12.13)
Таким образом, в уравнении (12.7) можно отбросить первый вязкост- ный член и оно примет вид
2 2
1
x
x
x
x
y
p
u
u
u
u
u
x
x
y
y





 


 



(12.14)
Логично предположить, что внутри пограничного слоя силы вязкости, оцениваемые величиной
0 2
u


, и силы инерции, оценка которых
2 0
u
l
, имеют один порядок, тогда
2 0
0 2

u
u
l


,
(12.15) откуда
0 0
,
Re
l
C
C
C
u
l
u l



 
  

,
(12.16) где С – константа, а Re
ul



местное число Рейнольдса.
Из (12.16) следует, что предположение о малость толщины погранично- го слоя будет выполняться тем лучше, чем больше число Рейнольдса.
Оценим порядок членов уравнения (12.8). Здесь порядок инерционных членов одинаков
2 0
2
u
l

, первым вязкостным членом можно пренебречь по сравнению со вторым, то есть сумму членов левой части уравнения можно оценить величиной
2 2
0 2
2 1

y
u
p
u
y
y
l




 
 

(12.17)
В соответствии с (12.12) и (12.15) справедлива оценка
2 0
2


y
u
u
l
y





2 0
2
u
l

, Тогда, учитывая эту оценку и (12.17), можем записать
1 0
p
y


 
(12.18)
Из (12.18) вытекает, что давление постоянно поперек пограничного слоя, равно давлению во внешнем потоке и является функцией только про-

190 дольной координаты, то есть
 
p
f x

. Таким образом, исходная система уравнений пограничного слоя (12.6)…(12.8) принимает вид уравнений по- граничного слоя Прандтля
2 2
1 d d
x
x
x
x
y
p
u
u
u
u
u
x
x
y
y




 






,
(12.19)
0
y
x
u
u
x
y






(12.20)
Система (12.19), (12.20) незамкнутая, так как содержит три неизвест- ных
,
,
x
y
u u
p
. Давление р может быть определено из решения задачи о по- тенциальном обтекании тела. Также из этой задачи должна быть определе- на скорость на внешней границе пограничного слоя u
0
, входящая в гранич- ные условия системы (12.19), (12.20).
Один из этих неизвестных параметров может быть исключен из рас- смотрения, например, следующим образом. Для потенциального течения вдоль линии тока выполняется следующее соотношение (интеграл Бернул- ли для идеальной жидкости)
2 0
const
2
u
p
 

(12.21)
Дифференцируя (12.21) по х, получим
0 0
d d
d d
p
u
u
x
x
 
(12.22)
С использованием (12.22) можно исключить давление из уравнения
(12.19). В результате получим следующую систему уравнений:
2 0
0 2
d d
x
x
x
x
y
u
u
u
u
u
u
u
x
y
x
y





 



,
(12.23)
0
y
x
u
u
x
y






,
(12.24)
 
0
( ,0)
,0 0;
( , )
x
y
x
u x
u
x
u x
u


 
(12.25)
В рассмотренной постановке предполагается, что пограничный слой по всему контуру тела настолько тонок, что его искажающее влияние на внешний поток пренебрежимо мало. Поэтому задачи расчета параметров внешнего потенциального течения и течения в пограничном слое могут решаться независимо.
Решение уравнений Прандтля. Рассмотрим для примера решение уравнений (12.23)…(12.25) при обтекании пластины. Данное решение впервые получил Г. Блазиус в 1908 г.
Распределение скорости в пограничном слое ищется в виде
0 0
x
u
y
f
u
 
  

 
,
(12.26)

191
То есть считается, что в любых сечениях х профили скорости, выраженные в относи- тельных координатах, подобны.
С учетом того, что
0

x
u


, далее вместо относительной координаты /
y

исполь- зуется координата
0
/
/
y
x u
 

, то есть скорость u
x
находится в виде
 
0
x
u
u f


(12.27)
Для упрощения решения уравнений Прандтля вводится функция тока

:
,
x
y
u
u
y
x



 


(12.28)
С использованием функции тока уравнение неразрывности (12.24) удовлетворяется тождественно, а уравнение (12.23) приводится к виду (при этом учитывается, что при обтекании пластнны
0
d
/ d
0
u
x

)
2 2
3 2
3
y y x
x
y
y
  
  
 

 
  
 

(12.29) с граничными условиями
0 0,
0 при
0 и
0;
при
y
x
u
y
y
y


 




 


(12.30)
С целью получения выражения для функции тока в относительных координатах вводится в рассмотрение вместо
 
f

ее первообразная
 
 
d
f
  
 

. Тогда, так как
 
 
f

   
, то
 
0
x
u
u

  
(12.31)
Учитывая (12.28), получаем выражение для функции тока в виде
 
 
0 0
0 0
0 0
0 0
0
d d
/
d
/
/
y
y
y
x
y
u
y
u
y
u
x u
u
x u
x u




 




   

 








. (12.32)
Дифференцируя это выражение, получим
 
 
 
 
 
 
0 0
3 2
0 0
0 0
2 3
1
,
,
2 1
,
,
2
u
u
x
x
y
u
u
u
u
x
x y
x
x
y
y










    
  




 
 
 




 
 
 

 

 



(12.33)
Подставляя результат, с учетом (12.28), в (12.29), получаем следующее уравнение для определения функции

(

)
2 0


   
(12.34)
Это обыкновенное нелинейное дифференциальное уравнение третьего порядка бы- ло проинтегрировано Г. Блазиусом с помощью степенных рядов при следующих гра- ничных условиях
0,
0 при
0;
1 при


 
 
 
 
  
(12.35)
В частности, получено
 
0 0,332



. Тогда, учитывая, что
 
3 0
0 0
x
y
u
u
y
x





  
 







,
(12.36) получим

192 3
0 0,332
u
x

 

(12.37)
Обычно в практических расчетах используется относительная величина касательных напряжений – коэффициент трения C
f
, для которого из (12.37) получается следующее выражение
2 0
0 0,664 0,664
Re
2
f
x
C
u
u x






(12.38)
Проинтегрировав (12.37) по двум поверхностям пластины (верхней и нижней) и поделив на
2 0
1 2
u S

(где
2 1
S
l
 

площадь поверхности пла- стины), получим коэффициент силы трения на пластине:
2 0
0 1,328 1,328 1
Re
2
f
l
F
C
u l
S u






(12.39)
Эти результаты хорошо совпадают с опытными данными И. Никурадзе, которым разными методами получено:
1,315/ Re и
1,319/ Re
f
l
f
l
C
C


, что подтверждает верность основных положений теории пограничного слоя. Вместе с тем, следует отметить, при x = 0 решение (12.37) дает со- вершенно не соответствующий физическим представлениям результат:

=

. Объясняется это тем, что вблизи переднего края пластины наруша- ется условие
/
/
x
x
u
x
u
y

  

, положенное в основу вывода уравнений
Прандтля.
12.3. Интегральные соотношения пограничного слоя
Даже упрощенная по сравнению с полной системой уравнений Навье-
Стокса система уравнений пограничного слоя (12.23)…(12.25) остается сложной для решения. Поэтому разработаны другие, более упрощенные подходы для расчета результатов взаимодействия вязкого потока с твердой стенкой
*
. К таким методам относится применение интегральных соотно- шений. Суть данного метода заключается в следующем.
Если предположить, что известно распределение скорости поперек по- граничного слоя, то есть известна функция
 
,
x
u
f y x

, то уравнения
(12.23), (12.24) могут быть проинтегрированы по координате у. В результа- те мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение вместо урав- нения в частных производных.
*
Ведь, в конечном итоге, именно это – результат силового и теплового взаимодей- ствия потока со стенкой и является целью решения уравнений пограничного слоя.

193
Получим уравнения пограничного слоя в интегральных соотношениях. Рассмотрим элементарный объем жидкости, выделенный в пограничном слое нормальными к твер- дой стенке сечениями АВ и CD, отстоящими друг от друга на малое расстояние d x и его верхней границей BC, рис. 12.4.
Рис. 12.4. К выводу интегральных соотношений
Запишем выражение уравнения сохранения количества движения жидкости, нахо- дящейся в этом объеме в проекции на ось х: пов d
ABCD
n x
F
u u
F
P



,
(12.40) где u
n
– проекция вектора скорости на направление внешней нормали к элементу по- верхности d F; пов
P

проекция на ось х главного вектора внешних сил, равного сумме сил давления и трения пов пов пов
p
P
P
P



На участке поверхности объема АB
n
x
u
u
 
, на участке CD
n
x
u
u

, а на участке
ВC примем
0
x
u
u

. Тогда левая часть (12.40) может быть записана следующим образом
0 0
0 0
d d
d d
d d
d d
ABCD
n x
x x
x x
x x
BC
F
u u
F
u u
y
u u
y
u u
y
x u
m
x






  
 













. (12.41)
Последний член в (12.41), описывающий перенос количества движения через гра- ницу ВC, определим, используя следующее соображение. Так как при установившемся течении накапливания жидкости в выделенном объеме не происходит, то поток массы через границу ВC равен разности потоков через границы CD и АB. То есть
0
d d
d d
d
BC
x
m
u
y
x
x



 








(12.42)
С учетом (12.42) (12.41) примет вид
2 0
0 0
d d
d d
d d
d d
d
ADCD
n x
x
x
F
u u
F
u
y
x u
u
y
x
x
x


























(12.43)
Определим проекцию на ось х главного вектора внешних сил давления и трения.
Пусть на границу АB действует давление р. Тогда давление, действующее на границу
CD, будет равно d
d d
p
p
x
x

(12.44) и проекция на ось х суммы внешних сил давления, приложенных к границам АB и CD, определится, как
 
d d
d d
d d
p
AB CD
p
P
p
p
p
p
x
x
x






    
   









(12.45)
u
0
u
0
x
A
D
B
C
p

d d
d
p
p
x
x

 
d x

u
x
d x


194
Давление на границе ВC примем равным среднему значению между давлением на границах АB и CD. Тогда проекция на ось х внешней силы давления, приложенной к границе ВC будет равна
1
d d
d d
d d
2
d d
d
p
BC
p
P
p
p
x
x
p
x
x
x
x





 





(12.46)
В последнем выражении пренебрегается слагаемым, пропорциональным величине второго порядка малости
 
2
d x
Силу трения, действующую на границу AD объема определим следующим образом d
AD
P
x

 
(12.47)
С учетом полученных выражений, проекция на ось х главного вектора внешних сил запишется следующим образом пов d
d d
d
p
p
AB CD
BC
AD
p
P
P
P
P
x
x
x





 
 
(12.48)
Подставляя (12.43) и (12.48) в (12.40), получим уравнение импульсов для плоского пограничного слоя, называемое интегральным соотношением Кармана
2 0
0 0
d d
d d
d d
d d
x
x
p
u
y
u
u
y
x
x
x









 
 














(12.49)
Уравнение (12.49) справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного по- граничного слоя, так как при его выводе не делалось никаких предположений о приро- де напряжений трения

. Давление р, входящее в (12.49), можно исключить, применив выражение для интеграла Бернулли внешнего потенциального течения, как это дела- лось в предыдущем разделе. В результате, используя (12.22), получим
2 0
0 0
0 0
d d
d d
d d
d d
x
x
u
u
y
u
u
y
u
x
x
x








 
















(12.50)
Избавимся в уравнении (12.50) от носящей значительную степень неопределенно- сти величины толщины пограничного слоя

, используя введенные выше понятия тол- щина вытеснения

* и толщина потери импульса

**. Для этого предварительно преоб- разуем второй член в левой части (12.50) следующим образом
0 0
0 0
0 0
d d
d d
d d
d d
d
x
x
x
u
u
u
y
u
u
y
u
y
x
x
x
























(12.51)
Подставим (12.51) и (12.50) и перекомпонуем члены
2 0
0 0
0 0
0 0
0
d d
d d
d d
d d
d d
d d
x
x
x
u
u
u
u
y
u
y
u
y
u
y
x
x
x
x

























 











(12.52) или




0 0
0 0
0
d d
d d
d d
x
x
x
u
u u
u
y
u
u
y
x
x


















(12.53)
С использованием (12.4) и (12.5) уравнение (12.53) можно представить в виде


2 0
0 0
d d
**
*
d d
u
u
u
x
x



 

(12.54) или, выполняя дифференцирование, получим окончательное выражение для интегрального соотношения Кармана

195


0 2
0 0
d **
d
1 2 **
*
d d
u
x
x u
u




  

(12.55)
Как уже отмечалось выше оно справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного пограничного слоя.
Теперь, используя полученное уравнение, можем выяснить физический смысл толщины потери импульса. Для этого рассмотрим пограничный слой на пластине. В этом случае u
0
= const и уравнение (12.55) приобретает вид
2 0
d **
d x
u




(12.56)
Интегрируя (12.56) по длине пластины от
0
x

до x
l

, получим вели- чину силы сопротивления F, действующей на пластину
2 0
**
l
F
u l
 

,
(12.57) где
**
l


толщина потери импульса в конце пластины.
Вспоминая, что (12.57) представляет собой решение уравнения сохра- нения количества движения, можем заключить, что величина потери коли- чества движения (которая выражается правой частью этого равенства) пропорциональна

**. Этим и объясняется термин «толщина потери им- пульса». Так как градиент давления при обтекании пластины отсутствует, то следовательно, толщина потери импульса характеризует потерю коли- чества движения потока в пограничном слое, затрачиваемую на преодоле- ние сил трения.
Решение интегральных соотношений. Рассмотрим в качестве приме- ра решение интегрального соотношения Кармана при ламинарном обтека- нии пластины, которое в рассматриваемом случае имеет вид (12.56).
Для решения (12.56) задаемся законом распределения скорости в пограничном слое в виде полинома
 
 
 
 
2 0
1 2
0
n
x
n
u
a
x
a x y
a
x y
a
x y
u



 
(12.58)
Число членов полинома определяется количеством достоверных граничных усло- вий, которые можно задать для рассматриваемого типа течения. Очевидными из них являются условия прилипания на стенке:
0 при
0
x
u
y


, а также условия на внешней границе пограничного слоя:
0
при
x
u
u
y

 
. В качестве третьего условия можно за- дать
0 при
x
u
y
y


 

. Разработаны и другие дополнительные условия, которые по- зволяют увеличить количество членов полинома и улучшить тем самым точность ап- проксимации. Например, четвертое условие можно получить из уравнения (12.23), учи- тывая, что при у = 0 0
x
y
u
u


. То есть
2 0
0 2
d
0
при
0
d
x
u
u
u
y
x
y


 


(12.59)

196
В качестве пятого условия можно использовать равенство нулю второй производ- ной на внешней границе пограничного слоя:
2 2
0 при
x
u
y
x


 

Подстановка в эти условия выражения (12.58) и решение полученной системы уравнений относительно коэффициентов
0 1
2 3
4
,
,
,
,
a
a a a
a
, дает следующее выражение для профиля скорости
3 4
0 2
2 3
x
u
y
y
y
u
 
 



 
 



 
 
(12.60)
Подставив (12.60) в (12.4) и (12.5) и выполнив интегрирование, найдем
* 0,3 ,
** 0,1175
 
 


(12.61)
Напряжение трения

находятся с использованием закона сопротивления Ньютона
0 2
u
  

(12.62)
С учетом (12.61) и (12.62) уравнение (12.56) принимает вид
0
d
0,1175 2
d x
u




(12.63)
В результате интегрирования получим
3 0
0 5,83
,
0,343
x
u
u
x


 
 
(12.64)
Данное решение получено Польгаузеном и хорошо соответствует точ- ному решению Г. Блазиуса (12.37).
12.4. Переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный.
Структура турбулентного пограничного слоя
Течение в пограничном слое на стенке может быть ламинарным, пере- ходным и турбулентным независимо от режима течения невозмущенного внешнего потока. Рассмотрим, например, пограничный слой на пластине, рис. 12.5.
Проведенные исследования показали, что режим течения в погранич- ном слое определяется числом Рейнольдса, определенным по характерно- му размеру пограничного слоя, например, его толщине

*
:
0 0
Re
u
u

 





(12.65)
При Re

> Rе

кр происходит нарушение ламинарного режима течения и возникновение турбулентности. Поэтому вдоль достаточно длинной пла- стины режим течения в пограничном слое изменяется. На малых расстоя- ниях от передней кромки пластины толщина пограничного слоя мала и по- граничный слой сохраняет свое устойчивое ламинарное течение с молеку-
*
В качестве характерного размера пограничного слоя могут использоваться также и другие, связанные с

величины: продольная координата х, отсчитываемая от передней кромки пластины, толщина вытеснения

*, толщина потери импульса

**.

197 лярным механизмом переноса. При увеличении толщины ламинарного по- граничного слоя до критической величины

кр
(на расстоянии х
кр от перед- ней кромки пластины) устойчивость течения в пограничном слое наруша- ется и появляется участок переходного течения, где хаотически по времени сменяется ламинарный и турбулентный режимы течения.
Рис. 12.5. Структура пограничного слоя на пластине
За переходным участком начинается турбулентный пограничный слой с турбулентным механизмом переноса. Характерным признаком перехода является резкое увеличение толщины пограничного слоя и напряжений трения на стенке, так как напряжения трения в этом случае определяются как молекулярной, так и турбулентной вязкостью. Длина переходного уча- стка невелика. Поэтому в расчетах обычно полагают, что ламинарный по- граничный слой сразу переходит в турбулентный. При этом, несмотря на турбулентный характер течения в «основном» объеме пограничного слоя, непосредственно вблизи стенки существует тонкий слой практически с ла- минарным характером течения – вязкий подслой толщиной


, см. рис. 12.5.
Распределение скоростей
*
в вязком подслое – линейное, как при течении
Куэтта. Распределение скоростей в турбулентной зоне пограничного слоя – логарифмическое. Между вязким подслоем и внешней, турбулентной зо- ной развитого пограничного слоя не существует резкой границы и переход от линейного профиля скорости к логарифмическому происходит плавно, с образованием промежуточной области.
Критическое число Рейнольдса при обтекании пластины равно


кр
3
Re
2,8...30 10



,
(12.66) то есть по порядку величины соответствует критическому числу Рейнольд- са
Re
d
, определяющему переход от ламинарного к турбулентному режиму
*
Подробно структура и профиль скорости в ТПС рассмотрены в разделе 14.2.2.
Ламинарный пограничный слой
Внешняя область течения
Турбулентный пограничный слой
Логарифмический профиль скорости

линейный профиль скорости
Вязкий подслой
у
у

кр
u
0
u
0
u
0
x
кр
u




т
Переходная область

198 течения в трубах. Если в качестве характерного размера пограничного слоя используется не толщина пограничного слоя

, а другие, связанные с ней величины, то соответствующие критические значения чисел Рейнольдса определяются соотношениями






кр кр кр
5 3
2
*
**
Re
3,2...30 10 , Re
1...10 10 , Re
4...40 10
x








. (12.67)
В общем случае положение точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный зависит от:

степени турбулентности набегающего потока, характеризуемого ве- личиной
 
2 0
0
/
u
u

(чем выше степень турбулентности внешнего течения, тем скорее ламинарный пограничный слой переходит в турбулентный);

градиента давления вдоль обтекаемой поверхности d / d
p
x
(положи- тельный градиент ускоряет переход к турбулентному пограничному слою, отрицательный

затягивает);

состояния (шероховатости) обтекаемой твердой поверхности, кото- рая влияет на переход вследствие внесения в поток дополнительных воз- мущений.
12.5. Пограничный слой при течении с продольным
градиентом давления. Отрыв пограничного слоя
Уравнения пограничного слоя были нами получены при допущении о малости его относительной толщины

/х. Однако это допущение может на- рушаться, если возникает отрыв пограничного слоя. Для выяснения сущ- ности явления отрыва напомним, что давление поперек слоя практически постоянно и, следовательно, изменение давления вдоль пограничного слоя будет таким же, как и во внешнем потенциальном потоке. Рассмотрим в качестве примера обтекание круглого цилиндра, рис. 12.6.
Рис. 12.6. Структура пограничного слоя в зоне отрыва
у
у
у
u
0
С
О
d
0
d
p
x

u
0
u
0
d
0
d
p
x

d
0
d
p
x


199
Начиная от передней критической точки
*
скорость внешнего потока, обтекающего цилиндр, возрастает, а давление на внешней границе погра- ничного слоя падает. Минимального значения давление достигает в точке
С, там, где скорость потока становится максимальной u
0max
. Продольный градиент давления в пограничном слое на этом участке отрицательный d / d
0
p
x

. Частицы среды, движущиеся на этом участке в пограничном слое, испытывают ускорение, обусловленное падением давления в направ- лении течения. Этому движению препятствует сила трения, обусловленная действием вязких напряжений. Все же, благодаря прямому перепаду дав- ления, ускорение в потоке наблюдается, по крайней мере, до точки С.
За точкой С перепад давления положительный d / d
0
p
x

, так как внешний поток тормозится и давление, в соответствии с интегралом Бер- нулли, возрастает. Частицам приходится двигаться против возрастающего давления. В идеальной жидкости это привело бы лишь к уменьшению ки- нетической энергии и восстановлению полного давления (до давления в передней критической точке). В действительности в пограничном слое часть энергии затрачивается на компенсацию работы сил трения, оказы- вающих тормозящее действие. В связи с этим, частицы среды в погранич- ном слое, имеющие малый запас кинетической энергии, начиная с некото- рой точки О уже не могут преодолеть совокупное действие обратного гра- диента давления и сил трения, они в точке О останавливаются. При этом частицы, движущиеся на большем расстоянии от стенки, вытесняются в сторону внешнего потока. Часть жидкости, расположенная ниже точки О по потоку, под действием обратного градиента давления получает возврат- ное движение. Это явление и называется отрывом пограничного слоя.
На основании описанной картины течения нетрудно сформулировать условия отрыва:
0
d
0 или
0
d
x
y
u
y


 
(12.68)
Из соотношений (12.68) можно получит координату точки отрыва. За- метим, что отрыв может произойти только за точкой минимума давления, а основным фактором, определяющим отрыв, является градиент давления.
При турбулентном движении в пограничном слое наличие пульсаций скорости приводит к более интенсивному обмену энергией между погра- ничным слоем и внешним потоком, поэтому кинетическая энергия частиц среды в пограничном слое увеличивается. Последнее является причиной того, что отрыв турбулентного пограничного слоя происходит значительно позже, чем ламинарного. Затягивание точки отрыва (при турбулентном по-
*
Точка на поверхности обтекаемого тела, где набегающий поток полностью тормо- зится.

200 граничном слое) положительно влияет на снижение величины сопротивле- ния плохо обтекаемых тел.
Отрыв пограничного слоя практически всегда сопровождает течения, которые развиваются вблизи уступов, изгибов, изломов твердых стенок.
Только при весьма малых числах Рейнольдса, когда течение относится к классу ползущих, возможно практически безотрывное обтекания вязкой жидкостью таких препятствий.
12.6. Сопротивление тел обтекаемых вязкой жидкостью
Тело, движущееся в жидкости, встречает со стороны последней сопро- тивление, для преодоления которого нужна дополнительная сила. В случае же когда тело неподвижно, а жидкость обтекает его, наоборот тело оказы- вает сопротивление течению жидкости.
Рассмотрим силу, с которой набегающий поток действует на обтекае- мое тело. Эта сила складывается из сил давления и сил трения. Результи- рующая этих сил является полной гидродинамической (газодинамической)
силой Р, которую принято представлять двумя составляющими силой ло-
бового сопротивления Р
х
и подъемной силой Р
у
, рис. 12.7.
Рис. 12.7. Силы взаимодействия тела с потоком
За обтекаемым телом образуется гидродинамический след. Частицы жидкости, приторможенные в пограничным слое, попадают в след и по- степенно смешиваются с основным потоком. Непосредственно за плохо- обтекаемым телом давление в следе может быть существенно ниже давле- ния в невозмущенном потоке. Однако оно очень быстро выравнивается, в то время, как отличие в скорости может сохраняться на больших расстоя- ниях за телом. Применим к контрольному объему ABCD уравнение сохра- нения количества движения в проекции на горизонтальную ось, учитывая, что расход жидкости через поверхности AB и CD одинаков:
u
0
y

y

y
A
B
C
D
u
0
u, p
ПС
ПС
ГС
P
y
P
x
P
x

,
,
,
,
p
0

0

0
p
0

201


2 0
0 0
0
d d
d
y
y
y
x
y
y
y
u u
u
y
p
y
p y
P














(12.69)
Откуда найдем силу лобового сопротивления




0 0 0
0
d d
y
y
x
y
y
P
u
u
u
y
p
p
y




 





(12.70)
Из формулы (12.70) видно, что сила лобового сопротивления связана с падением скорости и давления в следе. Это в соответствии с уравнением
Бернулли означает, что возникновение силы лобового сопротивления объ- ясняется рассеянием механической энергии в потоке вследствие вязкости, то есть возрастанием энтропии.
Как уже отмечалось силу лобового сопротивления принято делить на
силу сопротивления давления и силу трения. Такое деление условно, так как причиной возникновения, как одной, так и другой силы является вяз- кость жидкости, но удобно с методической точки зрения.
Для оценки силового взаимодействия между потоком и телом вводятся безразмерные аэродинамические коэффициенты:

коэффициент лобового сопротивления
2 0 0
/ 2
x
x
F
C
u


;
(12.71)

коэффициент подъемной силы
2 0 0
/ 2
y
y
F
C
u


(12.72)
Коэффициенты С
х
и С
у
зависят от формы тела, его ориентации в потоке и режима обтекания, характеризуемого числами Рейнольдса и Маха. Обте- кание тела сверхзвуковым потоком (М > 1) сопровождается образованием ударных волн и волн разрежения. В этом случае сила сопротивления дав- ления называется волновым сопротивлением.
Все тела делят на хорошо обтекаемые и плохо обтекаемые. Тела, обте- каемые без отрыва пограничного слоя называют хорошо обтекаемыми, а с отрывом – плохо обтекаемыми. Обтекаемость тел зависит от тех же факто- ров, что и аэродинамические коэффициенты и может характеризоваться отношением силы сопротивления давления к силе сопротивления трения.
Одно и то же тело при различной ориентации в потоке и при различных режимах течения может быть хорошо и плохо обтекаемым. Плохо обте- каемые тела всегда обтекаются с отрывом. Рассмотрим зависимость коэф- фициента С
х
шара от числа Рейнольдса
0 0 0
Re
/
u d
 

, рис. 12.8.

202
Рис. 12.8. Схемы обтекания и коэффициенты сопротивления шара и цилиндра в зависимости от числа Рейнольдса: 1 – цилиндр; 2 – шар
Здесь можно отметить пять характерных областей, возникновение ко- торых обусловлено изменением картины обтекания, см. рис. 12.8. В облас- ти I, при Re
0
< 100.
x
C
уменьшается. Здесь обтекание практически безот- рывное. Картина обтекания близка к картине обтекания шара идеальной жидкостью. Сила сопротивления почти исключительно определяется си- лой сопротивления трения. Резкое снижение
x
C
с увеличением числа Рей- нольдса показывает, что в этой области сила сопротивления пропорцио- нальна скорости u
0
, что характерно для ламинарного режима течения.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса до


3 0
Re
2...3 10


(об- ласть II) в кормовой части возникает неустойчивое вихревое движение.
Это понижает давление в кормовой части и приводит к увеличению сопро- тивления давления и замедлению падения
x
C
В области III, где


3 4
0 2...3 10
Re
2 10


 
, ламинарный пограничный слой отрывается от поверхности шара. В области срыва течения поток еще ламинарный и на некотором удалении в кормовой зоне турбулизируется.
Коэффициент
x
C
слабо возрастает, что объясняется интенсификацией вихревого движения в кормовой области и увеличением сопротивления давления.
При
4 5
0 2 10
Re
2 10


 
(область IV) коэффициент аэродинамического сопротивления сохраняет приблизительно постоянное значение

203 0,45...0,47
x
C

так как положение точки отрыва S пограничного слоя не изменяется. Эта область называется областью локальной автомодельности
по числу Рейнольдса. В этой области при увеличении Re
0
увеличивается зона турбулентности в области обратных токов за точкой отрыва и точка Т перехода ламинарного течения в турбулентное в отрывной зоне приближа- ется к точке отрыва S ламинарного пограничного слоя.
Затем в узкой зоне чисел Рейнольдса
5 5
0 2 10
Re
4 10


 
коэффициент
x
C
кризисным образом уменьшается (область V). В этой области чисел Re
0
точка перехода Т совпадает с точкой отрыва S. То есть пограничный слой турбулизируется перед отрывом. Турбулентный пограничный слой обла- дает большей сопротивляемостью отрыву. Поэтому точка отрыва, теперь уже турбулентного пограничного слоя, резко смещается вниз по потоку.
Обтекание шара улучшается, сопротивление давления резко падает, что приводит к падению
x
C
в 3…5 раз.
Интересно отметить, что в области
3 5
0 2,5 10
Re
2 10


 
можно сни- зить
x
C
с 0,47 до 0,1 путем искусственной турбулизации основного по- тока, например, установив перед точкой отрыва S на поверхности шара тонкое кольцо.
В дальнейшем, при
5 0
Re
4,5 10


, отмечается некоторое увеличение
x
C
, после чего коэффициент лобового сопротивления сохраняет практиче- ски постоянное значение (область VI). Это вторая область автомодельно- сти по числу Рейнольдса, соответствующая фиксированному положению точки отрыва турбулентного пограничного слоя.
Аналогичная картина реализуется и при обтекании цилиндра.
12.7. Контрольные вопросы
1. Дайте определение понятию гидродинамический след.
2. Дайте определение понятиям толщина вытеснения, толщина потери импульса.
3. Опишите основные гидродинамические особенности течений в по- граничном слое по сравнению с течением вдали от стенки, использующие- ся при выводе уравнений Прандтля.
4. В чем заключается принцип применения интегральных соотношений при расчете пограничных слоев?
5. Опишите качественную структуру турбулентного пограничного слоя. Каковы критические значения числа Рейнольдса перехода ламинар- ного пограничного слоя в турбулентный?
6. Опишите качественную картину течения в пограничном слое при по- ложительном градиенте давления. В чем состоит причина отрыва погра- ничного слоя?

204 7. Дайте определение понятиям сила лобового сопротивления, подъем- ная сила.
8. Дайте определение понятиям коэффициент лобового сопротивления, коэффициент подъемной силы.
9. Опишите качественную картину течения возле шара при увеличении числа Рейнольдса обтекающего его потока.

205