Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
14.1. Возникновение и развитие турбулентности Причиной появления турбулентности является развитие случайных возмущений гидродинамических параметров, возникающих при взаимо- действии жидкости с ограждающими стенками и внутренними неоднород- ностями потока, с потерей устойчивости слоистого течения. Упрощенно картину формирования турбулентных вихрей можно представить следую- щим образом. Допустим, в плоском течении возникло отклонение ряда ли- ний тока от первоначально слоистого течения с формированием волны, рис. 14.1, а. Такая волнообразная структура неустойчива. Действительно, в зонах расширения трубок тока, согласно уравнению Бернулли (4.61), дав- ление повышается, в зонах сужения – уменьшается. Это приводит к росту амплитуды волны и ее свертыванию в вихрь, см. рис. 14.1, б. а) б) Рис. 14.1. Схема развития возмущения при возникновении турбулентности: а) возмущение линий тока; б) формирование вихря При этом потеря устойчивости слоистого течения является только на- чалом вихреобразования. Полностью турбулентным течение становится позже (ниже по потоку). Нелинейность газодинамических систем приводит к тому, что амплитуда возмущений оказывается ограниченной и когда она достигает насыщения, говорят, что течение стало развитым турбулент- ным. Формирование развитого турбулентного течения можно проследить по рис. 14.2, где показано возникновение и развитие турбулентности при истечении струи в неподвижную атмосферу и в ламинарном потоке за ре- шеткой. а) б) Рис. 14.2. Развитие турбулентности: а – затопленная струя; б – течение за решеткой P P P P P 219 Здесь (на левой фотографии) видно, что первоначально ламинарная по- верхность струи воздуха становится неустойчивой, ниже по течению воз- мущения нарастают и, в конечном итоге, струя становится турбулентной. Аналогично, (на правой фотографии) показано, что неустойчивость сдви- говых слоев, сформированных решеткой, приводит к развитию турбулент- ности вниз по потоку. В целом турбулентность можно представить, как трехмерное нестацио- нарное движение, в котором вихри различных масштабов вызывают энер- гичное смешение жидкости, что приводит к возникновению турбулентных напряжений, намного превышающих ламинарные, то есть обусловленных действием молекулярной вязкости. 14.2. Структура и основные характеристики турбулентности Экспериментальные исследования показывают, что структура турбу- лентности, которая трансформируется по мере развития течения от точки потери устойчивости ламинарного режима, зависит от типа течения: сво- бодные сдвиговые * либо пристенные течения ** . Но в любом случае турбу- лентное течение представляет собой совокупность взаимодействующих между собой вихрей различных порядков, различающихся характерными масштабами и скоростями, рис. 14.3. Размер максимальных вихрей соиз- мерим с характерным размером области течения L. Размер минимальных, как увидим далее, зависит от вязкости жидкости и уменьшается с увеличе- нием скорости осредненного потока u , но значительно превышает длину свободного пробега молекул. Рис. 14.3. Турбулентные вихри в затопленной струе: 1 – крупномасштабные; 2 – мелкомасштабные Мерой интенсивности турбулентных пульсаций служит кинетическая энергия турбулентности k (отнесенная к единице массы кинетическая энергия турбулентных пульсаций), определяемая равенством 3 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 x y z i i i i k u u u u u u u (14.1) Вследствие действия сил молекулярной вязкости происходит рассеяние кинетической энергии турбулентных пульсаций, которое оценивается ве- * Течения не ограниченные стенками, например, слои смешения движущихся с раз- ной скоростью жидкостей, затопленные струи, след за плохо обтекаемым телом. ** Течение в пограничных слоях. 220 личиной удельной диссипации кинетической энергии турбулентности s – отнесенной к единице массы скоростью превращения энергии турбулент- ных пульсаций в тепловую энергию. По аналогии с диссипативным членом уравнения сохранения энергии (4.79) диссипацию турбулентности s мож- но определить следующим образом 3 , 1 j j j j s i i i i i j u u u u x x x x (14.2) 14.2.1 Свободная турбулентность Рассмотрим качественную картину свободного турбулентного течения с числом Рейнольдса Re / uL значительно превосходящим критическое Re кр . Обозначим: l i – характерный размер турбулентного вихря; v i – его ха- рактерная скорость (по порядку величины близкая к 2 i u ). Тогда число Рейнольдса Re / i i i v l характеризует отношение сил инерции к силам вязкости при движении жидкости рассматриваемого вихря. Наиболее крупные вихри (вихри первого порядка) подпитываются энергией от ос- редненного течения. Пульсации гидродинамических параметров, созда- ваемые ими, носят «отпечаток» осредненного течения и, следовательно, анизотропны и неоднородны, а характерное число Рейнольдса Re 1 по по- рядку величины совпадает с Re. То есть силы инерции движения этих вих- рей значительно превышают стабилизирующие силы вязкости и они рас- падаются с образованием более мелких вихрей второго порядка, «заимст- вующих» кинетическую энергию от вихрей первого порядка. Число Re 2 меньше, чем Re 1 , но при большом Re еще достаточно высоко, поэтому данные вихри также распадаются с образованием более мелких. Такой кас- кадный процесс распада с переносом энергии турбулентных пульсаций от «старших» возмущений «младшим» продолжается, пока не выполнится условие Re 1 i . Самые мелкие возмущения характеризуются наибольши- ми значениями локальных градиентов скорости; поэтому преимуществен- но в них сосредоточена диссипация кинетической энергии турбулентности в теплоту под действием вязкости, рис. 14.4, а. Так как для крупномасштабных вихрей числа Рейнольдса Re i высоки, то силы вязкости движения этих вихрей малы по сравнению с инерцион- ными. То есть кинетическая энергия турбулентности передается ими по каскаду практически без диссипации и только на самых малых вихрях рас- сеивается в тепло. Следовательно s будет равна среднему количеству энергии, поступающей от осредненного течения к наиболее крупным воз- мущениям. Тогда величина s может быть оценена на основании сообра- жений размерности по параметрам осредненного течения: масштабу L и средней скорости u . Так как 2 3 м; м/с; м /с s L u , то 221 3 s u L (14.3) а) б) Рис. 14.4. Каскадная структура развитого турбулентного течения: а – схематичная структура турбулентности; б – спектральная плотность энергии турбулентности По мере дробления вихревых структур пульсации, создаваемые ими, становятся все более однородными и изотропными и действительно явля- ются таковыми при достаточно высоком числе Re, так как вследствие хао- тичности передачи энергии, ориентирующее влияние среднего течения при каждом переходе к более мелким возмущениям ослабевает. (Течение с од- нородной и изотропной мелкомасштабной турбулентностью называется развитым турбулентным, а изотропность, выполняющаяся только для оп- ределенного масштаба возмущений – называется локальной.) Следующая из этого независимость параметров мелкомасштабной турбулентности от характеристик осредненного течения позволяет предположить, что все па- раметры мелкомасштабных пульсаций определяются только величиной диссипации энергии турбулентности s и кинематической вязкости . (Это предположение составляет суть первой гипотезы Колмогорова.) Тогда, ис- пользуя соображения теории размерностей, можем ввести масштабы раз- мера l 0 и скорости движения 0 l v мельчайших вихрей: 0 1 3 1 4 4 0 ; l s s l v (14.4) Величина l 0 называется внутренний (Колмогоровский) масштаб турбу- лентности и характеризует линейные размеры вихрей, на которые вяз- кость еще оказывает существенное влияние. Степень многомасштабности турбулентного переноса, с учетом (14.3), оценим как 1 1 1 3 3 3 3 3 4 4 4 0 4 3 3 1 1 Re s l L L L L L u u (14.5) 222 Как видим, действительно, чем больше число Рейнольдса осредненного течения, тем меньше размер мелкомасштабных вихрей. Используя (14.5), можем оценить размер минимальных вихрей. Например, при 0,1 м; L 6 Re 10 = , получаем 6 0 5 10 м l При высоких числах Re диапазон размеров вихрей l i может быть очень широким. Следовательно, в этом случае должен существовать достаточно протяженный интервал порядков однородных и изотропных возмущений, где влияние вязкости пренебрежимо мало, а статистические параметры турбулентности зависят только от величины s . Для проверки этого факта обычно рассматривается распределение спектральной плотности энергии турбулентности E по волновым числам, определяемым, как величина обратная масштабу вихря: 1 / i i l . Энергия турбулентности, содержащая- ся в диапазоне волновых чисел от до d запишется, как d E и имеет размерность 2 2 м /с . Размерность волнового числа 1 / м . Тогда из соображений размерности и отмеченной выше локальной изотропности можем записать 2 5 3 3 E (14.6) Зависимость (14.6) носит название «закона пяти третей» и составляет суть второй гипотезы Колмогорова. Она имеет принципиальное значение для понимания общих закономерностей переноса в турбулентных потоках. Интервал волновых чисел, для которых справедливо соотношение (14.6) называется инерционным. Неявно в идее локальной изотропии содержится предположение о том, что непосредственная связь между крупно и мелко- масштабными возмущениями слабая, а поведение мелких вихрей одинако- во во всех турбулентных потоках. Закон «пяти третей» неоднократно под- твержден экспериментально. Пример экспериментальной зависимости ти- па (14.6) показан на рис. 14.4, б. Со стороны малых масштабов к инерци- онному интервалу примыкает область диссипации, а со стороны больших масштабов – область энергии. В области энергии происходит генерация турбулентной энергии. В инерционном интервале энергия передается практически без потерь «вниз по масштабам», а в области диссипации энергия переходит в тепло. Таким образом, согласно Колмогорову в локально изотропном турбу- лентном потоке скорость поступления энергии турбулентности k от ос- редненного течения и передающейся по каскаду не зависит от молекуляр- ной вязкости, а определяется двумя параметрами: кинетической энергией турбулентности k и линейным масштабом l. Но так как k равна диссипа- ции турбулентности на мелкомасштабный вихрях s , то из соображений размерности следует 223 3/ 2 s k k C l , (14.7) где С k – безразмерный коэффициент, определяемый из экспериментов (Для развитого турбулентного течения 0,164 k C ). Соотношение (14.7) называется формулой Колмогорова и используется в большинстве моделей турбулентности. Необходимо подчеркнуть, что не всегда свободная турбулентность ло- кально изотропна. Для течений в следе за телом, затопленной струе, в сло- ях смешения часто характерна двойная структура турбулентности: на фоне крупных вихрей, движение которых носит скорее упорядоченный, чем хаотичный характер, развивается мелкомасштабная турбулентность, рис. 14.3, 14.5. Такие организованные вихревые структуры, сравнимые по размеру с масштабом области течения, называют когерентными, Они при- водят к вовлечению из внешнего потока ламинарных порций жидкости внутрь турбулентной области. При этом через рассматриваемую точку проходит то турбулентный, то ламинарный поток. Данное явление назы- вают перемежаемостью. а) б) Рис. 14.5. Двойная структура турбулентности: а – обтекание цилиндра; б – течение в слое смешения Двойная структура в свободных сдвиговых течениях приводит к тому, что они зачастую оказываются довольно сложными для многих методов расчета и большинство моделей турбулентности не в состоянии хорошо спрогнозировать их параметры. 14.2.2 Турбулентный пограничный слой В отличие от ламинарного турбулентный пограничный слой обычно имеет отчетливую границу, выше которой турбулентность отсутствует * Эта граница имеет неправильные очертания, беспорядочно изменяющиеся во времени. Каждая точка границы колеблется в пределах примерно от (0,3…0,4) до 1,2 (где – расстояние от стенки, на котором средняя ско- * Если, конечно, поток, обтекающий стенку ламинарный. 224 рость равна 0,99 от скорости внешнего потока) со средним значением 0,78 , рис. 14.6. а) б) Рис. 14.6. Турбулентный пограничный слой: а – пограничный слой на пластине; б – внешняя область пограничного слоя; 1 – когерентная структура В пограничном слое выделяют две области внутреннюю и внешнюю. Толщина внутренней составляет 20 % от общей толщины пограничного слоя. Но здесь генерируется 80 % энергии турбулентности. Она населена мелкомасштабными вихрями с характерным размером порядка расстояния до стенки и малым временем «жизни». Внешняя область населена крупно- масштабными вихрями с характерным размером порядка толщины погра- ничного слоя с долгим временем «жизни» – когерентными структурами. Эти структуры приводят к появлению перемежаемости. Доля времени (у), в течение которого на расстоянии у от стенки наблюдается турбулент- ность, убывает с ростом у и при у = равняется всего лишь 0,06. Найдем распределение осредненной скорости поперек турбулентного пограничного слоя, развивающегося на пластине. Течение будем считать стационарным, двумерным. Ось х системы координат, направим вдоль платины по потоку, ось у – перпендикулярно пластине, а пластину будем считать гладкой. При такой постановке существует только одна компонента осреднен- ной скорости x u и две пульсационной x u и y u . Уравнение Рейнольдса (4.106) для рассматриваемого случая примет вид 2 2 d d 0 d d x x y u u u y y (14.8) Интегрируя (14.8) по у, получим 0 d const d x x y u u u y (14.9) Соотношение (14.9) показывает, что направленный от жидкости к стен- ке поток х-компоненты импульса будет одним и тем же при любом у и, следовательно, равным напряжениям трения на стенке 0 . Проинтегриро- вать уравнение (14.9) невозможно, так как неизвестно рейнольдсово на- пряжение x y u u . Поэтому для определения профиля осредненной скоро- сти воспользуемся соображениями теории размерностей. Их общефизиче- 225 ский представлений можно сказать, что x u будет функцией координаты у, напряжений 0 и характеристик жидкости и . При этом 0 и должны входить в искомую зависимость только в виде комбинации 0 / для исклю- чения размерности массы из итогового соотношения. Поэтому составим из них параметр 0 * u , (14.10) имеющий размерность скорости, который будем использовать в качестве масштаба скоростей. Эта величина носит название динамическая ско- рость. Из сформированного набора параметров * , , u x можно образовать единственную безразмерную комбинацию * / u x . Следовательно, искомая зависимость будет иметь вид * * x u yu f u , или u f y , (14.11) где * * / , / x u u u y y y – безразмерные скорость и расстояние от стен- ки; * * / y u – линейный масштаб, называемый динамическая длина; f – некоторая универсальная функция. Уравнение (14.11) называется универсальным законом турбулентности вблизи стенки или просто законом стенки. Получим вид функции f для двух предельных случаев: больших и ма- лых значений расстояния от стенки у + При у + = 0 x y u u = 0 в силу условий прилипания жидкости. Поэтому при малых у + можно пренебречь вторым слагаемым в уравнении (14.9). То- гда имеем 0 d d x u y (14.12) Интегрирование (14.12) дает линейный профиль скорости при малых у + 0 x u y , или * * x u u u y , или * * x u y u x (14.13) То есть f y y . Слой жидкости, в пределах которого d d x x y u u u y и справедливо уравнение (14.12), называют вязким подслоем турбулентно- го пограничного слоя. Толщину вязкого подслоя , в пределах которой справедливы соотношения (14.13), на основании экспериментальных дан- ных принимают равной пяти динамическим длинам: * 5 u (14.14) 226 Во втором предельном случае * y y можно пренебречь силами моле- кулярной вязкости по сравнению с рейнольдсовыми напряжениями. То есть считать, что d 0 d x u y и 0 x y u u . В таком случае профиль скоро- сти также не должен зависеть от вязкости, а определяться только тремя па- раметрами у, 0 и . Из них можно составить единственную комбинацию с размерностью градиента скорости 0,5 0 * 0,5 u y y . Тогда при * y y должно выполняться соотношение * d d x u u A y y , (14.15) где А – универсальная безразмерная константа. Интегрирование уравнения (14.15) дает * 1 ln x u Au y A , (14.16) где А 1 – константа интегрирования. Слой жидкости, в пределах которого выполняется уравнение (14.16), называется логарифмическим пограничным слоем. Перейдя в соотношении (14.16) к относительным переменным, придадим ему универсальную фор- му 1 ln u y B (14.17) Константы и В, входящие в (14.17), определяют из опытов и обычно принимают равными = 0,41 (0,38…0,44), В = 5,5 (4,1…6,3). Логарифми- ческий слой охватывает диапазон относительной координаты, который можно оценить соотношением * * 30 500 y y y . Справедливость полу- ченных выше формул для профиля скорости подтверждается многочис- ленными опытами. В диапазоне относительной координаты * * 5 30 y y y , на формирова- ние профиля осредненной скорости оказывают влияние как вязкие, так и турбулентные напряжения. Здесь для описания профиля скорости исполь- зуют различные аппроксимационные выражения. Вообще, согласно современным представлениям о турбулентности, в пограничном слое выделяют следующие области: 1 – вязкий подслой; 2 – переходная область; 3 – логарифмический слой; 4 – область следа; 5 – об- ласть перемежаемости, рис. 14.7. 227 Рис. 14.7. Структура турбулентного пограничного слоя Рассмотренные выше первые три области образуют внутреннюю об- ласть пограничного слоя. Описанный выше и действующий в пределах внутренней области закон стенки, как показывают опыты, носит универ- сальный характер, нечувствителен к изменению внешних условий: про- дольного перепада давления, степени турбулентности внешнего потока, числа Рейнольдса и других. То есть он применим к расчету турбулентного пограничного слоя при обтекании не только пластин, но и других поверх- ностей, например, при расчете течений в каналах и трубах и поэтому при- меняется во многих моделях турбулентности. Область следа и перемежаемости образуют внешнюю область турбу- лентного пограничного слоя. Название «область следа» появилось вслед- ствие того, что реализующийся здесь профиль осредненной скорости мож- но получить, если поместить пластину в область некоторого гипотетиче- ского турбулентного следа сразу за точкой отрыва [15]. В области следа профиль скорости отклоняется от логарифмического, что объясняется имеющейся здесь перемежаемостью. В результате значе- ние скорости, получаемое при осреднении по достаточно большому про- межутку времени, оказывается средним между значениями скорости, отве- чающими турбулентному и ламинарному потокам. Так как в ламинарном потоке обмен импульсом между соседними слоями жидкости гораздо меньше, чем в турбулентном, то во внешней части турбулентного погра- ничного слоя средняя скорость при удалении от стенки возрастает быст- рее, чем в логарифмическом слое. В трубопроводах и каналах за начальным участком течения погранич- ные слои смыкаются (см. раздел 8.4). Следовательно, структура внешней области ТПС здесь отличается от структуры пограничного слоя на пласти- не (отсутствует область следа и перемежаемости). Поэтому для погранич- ного слоя в трубах и каналах логарифмический закон распределения ос- редненной скорости (14.17) хорошо выполняется практически до оси тече- ния. 5 0 10 10 1 10 2 10 3 15 20 внутренняя область внешняя область 1 2 3 4 5 y + u + 1 ln u y B u y 228 Описанная выше структура и профиль скорости, строго говоря, отно- сятся к пограничному слою на пластине и в трубе. Если течение происхо- дит со значительным градиентом давления, имеется существенная кривиз- на поверхности, вдув в пограничный слой жидкости или ее отсос, то эти факторы должны учитываться дополнительно и требуют корректировки полученных соотношений * |