Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа

• Название: Механика жидкости и газа
• Анкор: Гидравлический пресс
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: TPM_Zezin_mehanika_zhidkosti_gaza.pdf
• Тип: Учебное пособие; #561398
• страница: 2 из 22

ГЛАВА 2. ОСНОВЫ КИНЕМАТИКИ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ
2.1. Переменные Лагранжа и Эйлера
При решении задач кинематики и динамики в механике жидкости и га- за используются подход Лагранжа и подход Эйлера. Независимые пере- менные, от которых зависят искомые переменные задачи в соответствую- щих подходах, называются переменным Лагранжа и Эйлера соответствен- но.
Переменные Лагранжа. При подходе Лагранжа «прослеживается» траектория движения каждой частицы жидкости. Пусть в начальный мо- мент t = 0 координаты рассматриваемой частицы были равны x
0
= а, y
0
= b,
z
0
= c. Ее положение в момент времени t описывается координатами x, y, z, которые однозначно зависят от начального положения частицы. Таким об- разом, можем записать






, , , ,
, , , ,
, , ,
x
x a b c t
y
y a b c t
z
z a b c t



(2.1)
Очевидно, что аналогичная зависимость существует и для гидродина- мических параметров частицы








, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , ,
a b c t
p
p a b c t
a b c t
T
T a b c t
  



u
u
(2.2)
Величины , , ,
a b c t , которые однозначно определяют текущие кинемати- ческие и динамические параметры рассматриваемой частицы, и называют- ся переменными Лагранжа.
Переменные Эйлера. При подходе Эйлера рассматривается фиксиро- ванная точка пространства с координатами x, y, z. В различные моменты времени через данную точку, естественно, проходят различные частицы жидкости. Но в конкретный, рассматриваемый момент t проходящая через нее частица будет иметь вполне конкретные гидродинамические характе- ристики. Следовательно, при данном подходе имеем








, , , ,
, , , ,
, , , ,
, , ,
x y z t
p
p x y z t
x y z t
T
T x y z t
  



u
u
. (2.3)
Таким образом, в рассматриваемом подходе величины , , ,
x y z t одно- значно определяют поле гидродинамических параметров. Они и называют- ся переменными Эйлера.
Применение того или иного подхода зависит от удобства, которое дает его использование при решении конкретной задачи. Заметим, однако, что в
МЖГ переменные Эйлера находят более широкое применение.
2.2. Индивидуальная и местная производные
Индивидуальная производная. Пусть в некоторой области среды за- дана некоторая физическая величина

(векторная или скалярная) в виде дифференцируемой по пространству и времени функции. Выделим в этой области частицу жидкости и рассмотрим ее движение. Для этой частицы данная величина будет зависеть только от времени
 
t

. Ее изменение по

27 времени характеризуется производной и


, которая называется индивиду-
альной. Рассмотрим, как она выражается в переменных Эйлера и Лагранжа.
1) Пусть

задана в переменных Эйлера, то есть


, , ,
x y z t
  
. Для фиксированной частицы ее координаты изменяются с изменением времени
 
 
 
,
,
x
x t
y
y t
z
z t



(2.4)
Следовательно,
     


,
,
,
x t
y t z t t
  
и по правилу дифференцирова- ния сложных функций имеем и
d d
d d
d d
d d
x
y
z
t
x
t
y
t
z
t
t
 




 








(2.5)
Учитывая, что (2.4) есть уравнения траектории частицы, можем запи- сать d
d d
;
;
d d
d
x
y
z
x
y
z
u
u
u
t
t
t



(2.6)
Подставляя (2.6) в (2.5), в переменных Эйлера получим и
d d
x
y
z
u
u
u
t
t
x
y
z
  



 








(2.7)
2) В переменных Лагранжа


, , ,
a b c t
  
. Для выделенной частицы
, ,
a b c постоянны, поэтому в переменных Лагранжа и
t


 

(2.8)
Местная производная. Рассмотрим фиксированную точку пространст- ва. Через нее в различные моменты времени проходят различные частицы жидкости, имеющие различные значения величины

. При фиксированных координатах точки имеем
 
t
  
. Изменение величины

по времени в фиксированной точке характеризуется местной производной м


1) Пусть

определена в переменных Эйлера, то есть


, , ,
x y z t
  
Поэтому для фиксированной точки пространства в переменных Эйлера имеем м
t


 

(2.9)
2)
Если

определена в переменных Лагранжа, то


, , ,
a b c t
  
. А так как для различных частиц жидкости
, ,
a b c
различны, то мы должны записать м
d d
d d
d d
a
b
с
a
t
b
t
с t
t





 







(2.10)
То есть, чтобы найти местную производную в переменных Лагранжа необходимо определить производные по времени от
, ,
a b c

28
2.3. Скорость и ускорение частицы жидкости
Скорость частицы является индивидуальной производной от радиус- вектора частицы по времени, а ускорение – индивидуальной производной от вектора скорости: и
и и
,






u
r
a
u
r
(2.11)
1) При использовании переменных Эйлера скорость есть функция коор- динат и времени


, , , ,
x
x
u
u
x y z t



, , , ,
y
y
u
u
x y z t



, , ,
z
z
u
u
x y z t

, тогда d
d
x
y
z
u
u
u
t
t
x
y
z













u
u
u
u
u
a
(2.12)
Или в проекциях на оси координат d
;
d d
;
d d
d
x
x
x
x
x
x
x
y
z
y
y
y
y
y
y
x
y
z
z
z
z
z
z
z
x
y
z
u
u
u
u
u
a
u
u
u
t
t
x
y
z
u
u
u
u
u
a
u
u
u
t
t
x
y
z
u
u
u
u
u
a
u
u
u
t
t
x
y
z




 










































(2.13)
2)
При использовании переменных Лагранжа координаты частицы (проекции ради- ус-вектора) имеют вид






, , , ,
, , , ,
, , ,
x
y
z
x
r
x a b c t
y
r
y a b c t
z
r
z a b c t
 
 
 
,
(2.14) тогда
,
,
,
x
y
z
x
y
z
u
u
u
t
t
t
t












r
u
(2.15)
Соответственно
2 2
2 2
2 2
2 2
,
,
,
y
x
z
x
y
z
u
u
x
y
u
z
a
a
a
t
t
t
t
t
t
t
t
























u
r
a
(2.16)
2.4. Стационарные и нестационарные течения. Траектория и
линия тока. Трубка тока
Течение жидкости (газа) называется стационарным, если поле гидро- динамических параметров, определяющих данное течение, не зависит от времени. В противном случае течение называется нестационарным.
Если

есть физическая величина, характеризующая течение, то для стационарности процесса требуется, чтобы ее местная производная была равна нулю

м
= 0. В переменных Эйлера имеем


м
0,
, ,
x y z
t


 

  

(2.17)
В переменных Лагранжа формула для местной производной имеет более сложный вид, см. (2.10). Однако и в этом случае условие равенства ее нулю дает


, ,
x y z
  
[1], что естественно. Ведь стационарность есть свойство поля гидродинамических па-

29 раметров данного течения, а само поле не должно зависеть от метода, который исполь- зуется для его определения: Лагранжа или Эйлера – результат должен быть один и тот же.
Траектория. Траекторией называется геометрическое место точек пространства, через которые последовательно проходит рассматриваемая элементарная частица.
При использовании переменных Лагранжа координаты элементарной частицы (2.14) являются уравнением траектории.
Если используются переменные Эйлера, то для определения траектории необходимо решать дифференциальные уравнения (2.6).
Линия тока. Линией тока называется кривая, касательная к которой в каждой точке в рассматриваемый момент времени совпадает с вектором скорости. То есть линию тока «вычерчивают» различные частицы жидко- сти. Уравнение лини тока можно получить, если записать условие колли- неарности отрезка дуги линии тока d
s = {d
x, d
y, d
z} и вектора скорости
u= {u
x
, u
y
, u
z
}, то есть условие пропорциональности соответствующих про- екций векторов: d
d d
x
y
z
x
y
z
u
u
u


(2.18)
Обозначим через d
l каждое из отношений (2.18), понимая под l вспомо- гательную независимую переменную. Тогда уравнения линии тока можно представить следующим образом






d d
d
, , , ;
, , , ;
, , ,
d d
d
x
y
z
x
y
z
u
x y z t
u
x y z t
u
x y z t
l
l
l



(2.19)
В (2.19) время t представляет собой параметр. Каждому значению t со- ответствует своя линия тока.
При использовании переменных Эйлера проекции скорости u
x
, u
y
, u
z
представляют собой известные функции , , ,
x y z t
. Для того чтобы найти ли- нию тока, проходящую через точку
0 0
0
,
,
x y
z
в момент времени t
0
надо ре- шить систему (2.19) при фиксированном t = t
0
и начальных условиях
0 0
0 0
0 0
,
,
l l
l l
l l
x
x
y
y
z
z






(2.20)
В переменных Лагранжа уравнения линий тока имеют более сложный вид, так как различным точкам линии тока соответствуют различные значения
, ,
a b c
*
. Вывод урав- нений линий тока в переменных Лагранжа можно найти, например в [1].
Линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности
**
. Действительно, предположим обратное.
Пусть две линии тока пересеклись в точке С, рис. 2.1. Тогда векторы u
1
и
u
2
следует рассматривать, как составляющие результирующего вектора u в этой точке.
*
Ведь в различных точках линии тока находятся различные частицы жидкости.
**
Данные точки называются особыми.

30
Рис. 2.1. К доказательству невозможности пересечения линий тока
Однако данный вектор u не касателен ни к линии тока NC, ни к MC, а значит ни одна из них не является линией тока, что противоречит исход- ному условию.
В стационарных течениях линии тока и траектории частиц совпадают.
Трубка тока. Выберем в жидкости замкнутый контур l и проведем че- рез каждую его точку линию тока. Получим трубчатую поверхность, рис. 2.2, которую назовем трубкой тока. Если контур l мал, то трубка тока называется элементарной. В пределах поперечного сечения элементарной трубки тока распределение скоростей принимают равномерным. Очевидно, что через боковую поверхность трубки тока жидкость не протекает, так как вектора скорости касательны к ней.
а)
б)
Рис. 2.2. К определению трубки тока
Совокупность частиц, ограниченных элементарной трубкой тока, назы- вают элементарной струйкой, а поток конечных размеров рассматривают, как совокупность элементарных струек. Таким образом, приходим к струйной модели течения.
Расход жидкости. Обозначим через d
s площадь произвольно ориенти- рованного поперечного сечения элементарной трубки тока, см. рис. 2.2, б.
n – вектор нормали к данной площадке,

– вектор касательной; u – вектор скорости в данном сечении трубки тока. Составим скалярное произведение d
d
n
s
u
s


u n
,
(2.21) где u
n
– проекция скорости на нормаль к площадке d
s. Это произведение положительно, если вектора n и u образуют острый угол и отрицательно при тупом угле. Следовательно, модуль данного произведения представля- ет собой объемный расход жидкости через рассматриваемое сечение труб- ки тока:
C
u
1
u
2
u
N
M
l
ds
ds
n
u
n
n
u

u

31 d
d
n
dQ
s
u
s
 

u n
(2.22)
Если S – площадь произвольного сечения реального потока, то величи- на d
d d
n
S
S
S
Q
Q
S
u
S







u n
(2.23) представляет собой объемный расход жидкости через сечение S, а величи- ны d
d ;
d
n
S
G
Q
G
u
S
 
 

(2.24) называются массовым расходом элементарной струйки и массовым расхо- дом через поверхность S соответственно.
2.5. Деформация жидкой частицы при движении
Рассмотрим деформацию элемента объема, имеющего в начальный мо- мент времени форму параллелепипеда, рис. 2.3, за малый интервал време- ни dt.
Рис. 2.3. К описанию деформации жидкой частицы
Составляющие скорости жидкости в точке а в начальный момент вре- мени обозначим через
,
,
x
y
z
u u
u
. Тогда для компонентов скорости в точке b справедливы соотношения d
x
bx
x
u
u
u
y
y




, d
y
by
y
u
u
u
y
y




, d
z
bz
z
u
u
u
y
y




(2.25)
Аналогичные выражения можем записать для точки d d
x
d x
x
u
u
u
x
x




, d
y
d y
y
u
u
u
x
x




, d
z
d z
z
u
u
u
x
x




(2.26) и точки а
1 1
d
x
a x
x
u
u
u
z
z




,
1
d
y
a y
y
u
u
u
z
z




,
1
d
z
a z
z
u
u
u
z
z




(2.27)
При деформации элемента объема деформация каждой его грани состо- ит из скашивания (угловая деформация) и растяжения (линейная деформа- ция), рис. 2.4.
z
dx
d y
a
b
c
d
d
1
c
1
a
1
b
1
x
y

32
а)
б)
Рис. 2.4. Угловая а и линейная б деформации грани
Учитывая малость объема и интервала dt, угловую деформацию грани
а, b, c, d найдем следующим образом d
d
dd
bb
dd
bb
ad
ab
x
y




   



(2.28)
Величину отрезка dd

найдем, как разность перемещений точек d и а в направлении оси y:


d d
d d d
y
y
d y
a y
y
y
u
u
dd
u
u
t
u
x u
t
x t
x
x




 











(2.29)
Аналогично выражается длина отрезка bb



d d
d d d
x
x
bx
a x
x
x
u
u
bb
u
u
t
u
y
u
t
y t
y
y




 











(2.30)
С учетом этих выражений скорость угловой деформации грани а, b, c, d найдется как d
y
x
z
u
u
t
y
x


  
 




(2.31)
Индекс z означает, что рассматривается угловая деформация контроль- ного объема в плоскости, перпендикулярной оси Оz. Угловые смещения ребер вызывают появление угловой скорости вращения всей частицы жид- кости. Проекция угловой скорости на ось Оz найдется, как среднеарифме- тическое угловых скоростей ребер аb и аd. Так как направления вращения ребер противоположны, то получим
1 1
2 d
2
y
x
z
u
u
t
x
y




  
 








(2.32)
Аналогично можно получить выражения для угловых скоростей де- формации и угловых скоростей вращения для других осей
,
y
x
z
z
x
y
u
u
u
u
z
y
x
z




 

 





,
(2.33)
a


y
b
b’
c
cc
’
d
x
d’
a
y
b
b’
c
c
’
d
x
d’

33 1
1
,
2 2
y
x
z
z
x
y
u
u
u
u
y
z
z
x








 

 













(2.34)
Линейная деформация элемента объема приводит к удлинению ребер, см. рис. 2.4, б. Относительная скорость растяжения объема в направлении оси х найдется, как d d
1
d d d
x
x
x
u
x t
u
dd
x
t ad
x t
x




 



(2.35)
Аналогично находятся скорости относительного удлинения по другим осям
,
y
z
y
z
u
u
y
z


 
 


(2.36)
Рассмотрим выражение d d d d d d d d
x
x
u
x t y z
x t y z
x




. Нетрудно заме- тить, что оно представляет собой изменение элемента объема, вызванное линейной деформацией в направлении оси x за промежуток времени dt.
Тогда общее изменение объема за тот же промежуток времени найдется как d
d d d d d d d d d d d d
y
x
z
u
u
u
W
x t y z
x t y z
x t y z
x
y
z









(2.37)
Отсюда относительная скорость изменения контрольного объема опре- делится равенством
1 d d
y
x
z
x
y
z
u
u
W
u
W
t
x
y
z






     



(2.38)
Дифференциальный оператор в (2.38) есть дивергенция вектора скоро- сти u, см. формулу (1.19). То есть
1 d div d
W
W
t

u
(2.39)
Как видно из (2.39), divu представляет собой относительную скорость расширения (сжатия) среды в рассматриваемой точке. Если при движении жидкой частицы ее контрольный объем не меняется, например жидкость несжимаема, то дивергенция скорости равна нулю div
0
y
x
z
u
u
u
x
y
z










u
(2.40)
Если под знаком дивергенции будет стоять не скорость, а другая век- торная величина, то (1.19) будет описывать влияние на скорость изменения количества данной физической величины, содержащейся в некотором объ- еме, сжимаемости (растяжимости) среды.

34
Завершая рассмотрение закономерностей деформации движущейся жидкой частицы, отметим следующее. Подробный анализ ее кинематики показывает [1], что движение элементарного объема среды можно в каж- дый момент времени представить разложенным на: 1) квазитвердое дви- жение со скоростью u
к.т
, равной сумме поступательной скорости u
а
и вра- щательной, соответствующей вектору угловой скорости
ω
; 2) деформаци- онное движение. Деформационное движение определяется симметричным тензором второго ранга, называемым тензором скоростей деформаций
xx
xy
xz
yx
yy
yz
zx
zy
zz







 













ε
Компоненты тензора ε связаны с определенными выше скоростями уг- ловых и линейных деформаций следующими соотношениями
xx
x
  
,
yy
y
  
,
zz
z
  
,
1 2
xy
yx
z
    
,
1 2
xz
zx
y
    
,
1 2
yz
zy
x
    
(2.41)
2.6. Режимы течения жидкости. Понятие турбулентности
Наблюдения за поведением частиц жидкости при ее движении показы- вает, что характер движения потока может быть различным в зависимости от рода жидкости, скорости ее движения и состояния стенок, ограничи- вающих поток. При определенных условиях частицы движутся упорядо- ченно, образуя слоистое (или ламинарное
*
) движение. Пример ламинарно- го течения при обтекании цилиндра показан на рис. 2.5, а.
а)
б)
Рис.2.5. Примеры ламинарного а) и турбулентного б) обтекания цилиндра
При других условиях частицы наряду с основным ориентирующим движением беспорядочно перемещаются из слоя в слой, их мгновенные местные скорости резко изменяются по величине и направлению. Слоистая структура разрушается, образуются завихрения, вызывающие перемеши- вание слоев, происходит пульсация параметров течения. Такое движение
*
От лат. lamina – пластинка, полоска.

35 называют турбулентным
*
. Пример визуальной картины турбулентного об- текания цилиндра показан на рис. 2.5, б.
Впервые достаточно полные лабораторные исследования режимов движения выполнил английский физик Осборн Рейнольдс (1883 г.), кото- рый установил, что режим движения жидкости определяется безразмер- ным параметром
Re
ud
ud





,
(2.42) где


плотность движущейся среды; u,

(

)

ее скорость и коэффициент динамической (кинематической) вязкости соответственно; d – характерный размер области течения. Данный параметр назван числом Рейнольдса. На рис. 2.6 проиллюстрирован опыт Рейнольдса по исследованию характера движения подкрашенной струйки жидкости в трубопроводе при увеличе- нии скорости течения.
а)
б)
в)
Рис. 2.6. Иллюстрация опыта Рейнольдса
При ламинарном режиме течения струйка имеет четкие очертания и движется строго параллельно стенкам трубопровода, см. рис. 2.6, а.При увеличении скорости течения (числа Re) форма струйки теряет устойчи- вость и затем распадается под действием турбулентных пульсаций, см. рис. 2.6, б и 2.6, в.
Еще один пример определяющего влияния числа Рейнольдса на режим движения жидкости для течения другого типа продемонстрирован на рис. 2.7.
а)
б)
в)
Рис. 2.7. Изменение структуры плоской затопленной струи при увеличении числа Рейнольдса: а – Re = 330; б – Re = 1450; в – Re = 3800
Здесь показано изменение формы плоской струи, истекающей в непод- вижную среду при увеличении числа Рейнольдса Re
/
ud


, где u, d – средняя скорость в начальном сечении струи и ширина щели, через кото- рую происходит истечение соответственно.
*
От лат. turbulentus – беспорядочный.

36
Пусть имеется турбулентный поток жидкости, расход которой неизме- нен. Если зарегистрировать местную скорость потока в какой либо его точке, то мы увидим, что скорость испытывает интенсивные высокочас- тотные пульсации, обусловленные вихревой структурой течения, рис. 2.8, а. Представим теперь местную скорость движения частиц жидко- сти u в виде суммы осредненной
u
и пульсационной составляющей

u
:

 
u
u
u
,
(2.43) а осредненную скорость
u
определим по формуле
/ 2
/ 2 1
d
t T
t T
T





u
u
,
(2.44) где u – вектор местной мгновенной скорости; t – текущее время процесса;
T – период осреднения (величина достаточно большая по сравнению с пе- риодом пульсаций, но достаточно малая по сравнению с характерным вре- менем процесса). В результате окажется, что осредненное значение скоро- сти остается постоянным, см. рис. 2.8, а.
а)
б)
Рис. 2.8. Пульсации скорости в стационарном турбулентном потоке:
а – стационарном: б – нестационарном
Если таким же образом представить другие гидродинамические харак- теристики потока, то увидим, что осредненные значения гидродинамиче- ских полей обычно оказываются весьма гладкими и медленно меняющи- мися; пульсации же, наоборот, характеризуются большой изменчивостью во времени и в пространстве.
Поэтому при анализе турбулентных течений чаще всего оперируют с осредненными величинами. В частности, определяются линии тока и тра- ектории для осредненного течения и т. д.
Благодаря наличию пульсаций, строго говоря, турбулентные течения всегда нестационарны и трехмерны. Однако, если осредненные гидроди- намические параметры течения не изменяются по времени, то такие турбу- лентные течения называют стационарными, см. рис. 2.8, а, в противном случае – нестационарными, см. рис. 2.8, б.
T
t
t
u
u’
u
t
u
u
u

37
Разделение гидродинамических характеристик течения на осредненную и пульсационную составляющие представляет суть концепции Рейнольдса при анализе турбулентных течений. Подробнее теория турбулентных тече- ний рассматривается в Главе 14.
2.7. Контрольные вопросы
1. Дайте определение переменным Лагранжа и переменным Эйлера.
2. Как выражается ускорение частицы в переменных Эйлера?
3. Дайте определение линии тока и траектории частицы.
4. Дайте определение трубки тока.
5. Дайте определение расхода жидкости через сечение трубки тока и через сечение произвольной формы и размеров.
6. Напишите формулу для определения проекций угловой скорости де- формируемой частицы.
7. Запишите выражения для составляющих тензора скоростей деформа- ции жидкой частицы.
8. Дайте физическое толкование понятию дивергенции вектора скоро- сти жидкости.
9. Дайте определение понятиям ламинарного и турбулентного режима движения жидкости.
10. В чем заключается суть концепции Рейнольдса при описании тур- булентных режимов течения жидкости.
11. Как определяется стационарный и нестационарный режим турбу- лентного течения жидкости.

38