Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
Относительное движение идеальной жидкости. Рассмотрим движе- ние идеальной жидкости в канале, который движется с ускорением отно- сительно Земли. С такими течениями приходится сталкиваться при расче- тах, например, турбомашин. Если рассматривать движение в системе ко- ординат, связанной со стенками канала, то оно будет установившемся. Од- нако при переходе в подвижную систему координат мы в число объемных сил должны включить силы инерции. Рассмотрим движение вдоль трубки тока, вращающейся целиком во- круг некоторой оси с постоянной угловой скоростью , рис. 4.1. Рис. 4.1. Относительное движение жидкости К числу объемных сил, действующих на жидкость в данном движении, относятся: сила тяжести т f , центробежная сила ц f и кориолисова сила к f т f g , 2 0 0 ц v r r f r r , к 2 f ω u , (4.65) где v r окружная переносная скорость перемещения трубки тока на радиусе r; 0 r орт радиального направления; u – скорость жидкости в подвижной системе координат. Уравнение Бернулли для трубки тока при стационарном течении иде- альной жидкости имеет вид 2 d d d 0 2 u (4.66) Потенциал объемных сил в данном случае включает потенциал силы тяжести т и центробежной силы и . Сила Кориолиса работы не совер- шает, так как в соответствии с (4.65), ее направление ортогонально линии тока. Следовательно, ее действие не изменяет запас энергии движущейся жидкости. Так как уравнение Бернулли по своему физическому смыслу есть уравнение сохранения механической энергии, то (4.66) не должно со- 59 держать силы Кориолиса. Потенциал силы тяжести, в предположении, что ось z подвижной системы ортогональна поверхности земли, имеет вид т gz (4.67) Потенциал центробежной силы выражается формулой 2 2 ц 2 r (4.68) Подставляя (4.67), (4.68) в (4.66), получим 2 2 2 const 2 2 r u gz (4.69) Применяя этот интеграл к двум сечениям 1 и 2 трубки тока, учитывая, что r = v есть окружная скорость трубки тока, получим уравнение отно- сительного установившегося движения идеальной жидкости 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 u v u v gz gz (4.70) Для несжимаемой жидкости / p и уравнение (4.70) принимает вид 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 u v u v p gz p gz (4.71) Из (4.71) видно, что чем выше окружная скорость относительного дви- жения трубки тока, тем выше давление жидкости в данном сечении. 4.5. Уравнение сохранения энергии В технических устройствах часто имеют место случаи течения жидко- сти и газа, сопровождающиеся теплообменом с окружающей средой, су- щественным переходом механической работы в теплоту. В этих случаях для определения параметров состояния рабочей среды недостаточно толь- ко уравнений движения (Эйлера либо Навье-Стокса), а дополнительно тре- буется использовать уравнение, выражающее общий термодинамический закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии в контрольном объеме формулируется сле- дующим образом: изменение полной (внутренней плюс кинетической) энергии в контрольном объеме в единицу времени равно сумме мощности внешних (поверхностных и объемных) сил, действующих на контрольный объем, теплового потока подведенного к нему извне и мощности внутрен- них источников тепловыделения. Обобщенная переменная в данном случае представляет собой удель- ную (отнесенную к единице объема) полную (внутреннюю плюс кинетиче- скую) энергию, то есть 2 / 2 U e u , поверхностный фактор А – сума мощности поверхностных сил, приложенных к элементу площади по- верхности объема с вектором внешней нормали n и плотности теплового потока, подведенного извне через этот элемент площади q. То есть 60 , , x x x y y y z z z A q A q A q p u p u p u . Объемный фактор В есть сумма мощности объемных сил f и удельного объемного тепловыделения Q, например, за счет фазовых переходов. То есть B Q f u . Таким образом, учитывая изложенное и (4.4), уравнение сохранения энергии за- пишется следующим образом + + y y x z x z Uu Uu U Uu t x y z x y z p u p u p u + y x z q q q Q x y z f u (4.72) Преобразуем левую часть уравнения (4.72), учитывая уравнение нераз- рывности (4.9), + + y y x x z z Uu u Uu u U Uu u U t x y z t x y z d + d x y z U U U U U u u u t x y z t (4.73) Выполним дифференцирование в первом слагаемом правой части (4.72). Тогда + + y y x z x z x y z x y z p u p p u p u p p f u u f + x y z x y z u u u p p p (4.74) Выражение, стоящее в скобках в правой части (4.74) есть правая часть уравнения сохранения количества движения (4.17). Поэтому (4.74) можно представить следующим образом + y x z x y z p u p u p u f u d + d x y z t x y z u u u u u p p p (4.75) Подставим (4.73), (4.75) в (4.72), учитывая, что 2 u u u : 2 d d / 2 d d x y z U u + t t x y z u u u p p p + y x z q q q Q x y z .(4.76) Так как 2 / 2 U e u , то (4.76) примет вид d + d y x z x y z q q e q + Q t x y z x y z u u u p p p (4.77) 61 Раскроем скалярное произведение в первых трех слагаемых правой час- ти (4.77), обозначив эту сумму через е Д д y x z x y z xx xy xz u u u e p p p x y z x x x u u u p p p y y x x z z yx yy yz zx zy zz u u u u u u p p p p p p y y y z z z (4.78) Подставим выражения для компонент тензора напряжений в несжи- маемой жидкости (3.30) в формулу (4.78) 2 2 2 2 Д 2 2 2 y y x z z u u u u u e x y z z y 2 2 y x x z u u u u x z y x (4.79) Из (4.79) следует, что в случае несжимаемой жидкости е Д представляет собой часть механической энергии, расходуемой на преодоление сил вяз- кости и переходящей в тепло, то есть е Д количественно выражает диссипа- цию механической энергии. Диссипация равна нулю, если либо отсутству- ет деформация жидкости (она движется, как твердое тело), либо среда иде- альная ( = 0). С учетом введенного обозначения уравнение сохранения энергии за- пишется в виде Д d + d y x z q q e q e Q t x y z (4.80) Уравнение (4.80) показывает, что изменение внутренней энергии про- исходит за счет теплообмена с окружающей средой и за счет диссипации механической энергии. Поскольку процесс диссипации необратим, то дис- сипированную энергию е Д можно рассматривать, как потери механической энергии. Проекции плотности теплового потока найдем с использованием закона теплопроводности Фурье , , x y z T T T q q q x y z , (4.81) где – коэффициент теплопроводности. С учетом (4.81) уравнение (4.80) приобретает вид Д d d e T T T e Q t x x y y z z (4.82) 62 4.5.1 Уравнение баланса энергии при адиабатическом движении идеального и совершенного газа Напомним, что адиабатическим является процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой, а идеальным называется газ, лишен- ный внутреннего трения. Так как внутреннее трение и теплопроводность явления одной природы – процесса молекулярного переноса, то пренебре- гая трением, не будем учитывать и теплопроводность в газовой фазе. Кро- ме того будем пренебрегать и явлениями лучистого переноса теплоты. По- этому для рассматриваемого случая q x = q y = q z = Q = 0, p xy = p yx = p xz = p zx = p yz = p zy = 0, xx yy zz p p p p , и (4.80) примет вид d d y x z u u e u p t x y z (4.83) Используя уравнение состояния, выразим удельную внутреннюю энер- гию через давление и плотность: 1 1 v v v p v c p p p e c T c R c c k (4.84) Дивергенцию вектора скорости, стоящую в правой части (4.83) выразим из уравнения неразрывности (4.10), полагая, что объемный источник массы отсутствует: 1 d d y x z u u u x y z t (4.85) Подставляя (4.84) и (4.85) в (4.83), получим d d 1 d d p p k t t (4.86) Выполним дифференцирование в левой части уравнения (4.86) и при- ведем подобные. В результате получим d d d d p p k t t , или d d p k p (4.87) Интегрирование (4.87) дает адиабату Пуассона / const k p То есть адиабатическое движение идеального совершенного газа явля- ется баротропным. 63 Получим уравнение сохранения энергии для случая стационарного движения в отсутствии объемных сил * . Для этого заметим, что d d d d d d p p p t t t (4.88) Подставим (4.88) в уравнение (4.86), имея в виду, что в его левой части стоит индивидуальная производная внутренней энергии, d d d d d d e p p t t t (4.89) Так как / e p h , то (4.89) принимает вид d d d d h p t t или d d h p (4.90) Для данных условий уравнение Бернулли (4.55) запишется следующим образом 2 d d 0 2 u p (4.91) Из (4.90) и (4.91) получаем 2 d 0 2 u h (4.92) Из (4.92) следует, что в адиабатическом течении идеального газа вдоль лини тока сумма энтальпии и кинетической энергии остается постоянной: 2 0 2 u h h , (4.93) где h 0 энтальпия адиабатически заторможенного потока, которую называ- ют полной энтальпией ** или энтальпией торможения. Рассмотрим как изменяется в данном процессе еще одна термодинами- ческая функция – энтропия S, определяемая соотношением d d q S T (4.94) Преобразуем (4.94), используя выражение для второго начала термоди- намики и (4.87), * Влияние объемных сил при движении газа сказывается только при очень большом перепаде, например, в задачах динамической метеорологии. В большинстве техниче- ских приложений газовой динамики влияние объемных сил пренебрежимо мало. ** Не путать с полной энергией, которая равна сумме внутренней и кинетической энергий. 64 d d 1 / d / d d d d / d ln / 1 d ln 1 v v v c T p p T p S c c R T T T p R p k k d ln d ln 1 d ln d ln 1 1 k R R p p k k k Отсюда, интегрируя, получаем ln const 1 k R p S k (4.95) Так как при адиабатном движении идеального газа отношение / k p ос- тается постоянным вдоль линии тока, то в соответствии с (4.95) данное те- чение является и изоэнтропным. 4.6. Уравнения Рейнольдса для развитого турбулентного режима движения несжимаемой жидкости Обобщенная гипотеза Ньютона и уравнения Навье-Стокса справедливы как для ламинарного, так и для турбулентного режимов движения. Однако использование их «напрямую» для турбулентного режима вследствие на- личия пульсационных составляющих параметров течения затруднительно. Поэтому при расчете турбулентных режимов течения обычно ставится за- дача отыскания осредненных скоростей и давлений. Для решения этой за- дачи исходные уравнения подвергаются операции осреднения по времени. Проделаем эту процедуру для модели несжимаемой жидкости. Средние значения пульсирующих параметров ; ; , , , i i i p p p u u u i x y x (4.96) определяем по формулам, аналогичной (2.44). Операция осреднения обладает рядом свойств, справедливость которых нетрудно показать прямыми вычислениями. Например, покажем, что ос- редненная производная по координате от пульсирующего давления равна производной от осредненной величины: 2 2 2 2 1 1 d d T T t t T T t t p p p t p t x T x x T x (4.97) Этому же правилу подчиняется и производная по времени p p t t (4.98) Кроме того для любого параметра, например u, справедливы следую- щие равенства 65 i i u u ; 0 u ; i j i j u u u u ; i j i j i j u u u u u u ; i j k i j k i j k i j k j i k k i j u u u u u u u u u u u u u u u u u u (4.99) и пр. Учитывая эти правила осреднения, приходим к выводу, что уравнение неразрывности при переходе к осредненным параметрам не изменит своего вида 0 или div 0 y x z u u u x y z u (4.100) Перейдем к осреднению уравнения Навье-Стокса в проекции на ось х. Предварительно следующим образом преобразуем выражение для конвек- тивной составляющей индивидуальной производной d / d x u t , входящей в левую часть (4.21). x y x x x x x x z x y z y x y x x x x z z x u u u u u u u u u u u u x y z x y z u u u u u u u u u u x y z x y z (4.101) В (4.101) учтено, что для несжимаемой жидкости div 0 u . С учетом этого преобразования это уравнение Навье-Стокса примет вид 2 2 2 2 2 2 1 x y x x x x z x x x x u u u u u u u u u u p f t x y z x x y z .(4.102) Аналогично записываются и два других уравнения. Перед проведением осреднения членов уравнения (4.102) в целом рассмотрим боле подробно осреднение конвективного члена в его левой части. 2 2 2 2 1 1 d d T T t t x x x x x x T T t t u u u u t u u t x T x x T 2 2 2 2 1 1 d 2 d T T t t x x x x x x x x x x T T t t u u u u t u u u u u u t x T x T , откуда, с учетом (4.99), находим x x x x x x u u u u u u x x x (4.103) С учетом уравнения неразрывности (4.100) сумма конвективных произ- водных от осредненной скорости может быть преобразована следующим образом 66 x y y x x x z x x x x z x y z x u u u u u u u u u u u u u u u u x y z x y z x y z x x x x y z u u u u u u x y z (4.104) Наконец представим члены, содержащие пульсационные составляющие скорости, в виде 1 x x x x u u u u x x (4.105) В результате первое уравнение Навье-Стокса после операции осредне- ния его членов приобретает вид 2 2 2 2 2 2 1 x x x x x x x x y z x u u u u u u u p u u u f t x y z x x y z 1 1 1 x y x x x z u u u u u u x y z (4.106) Аналогично осредняются и два других уравнения Навье-Стокса. Эти осредненные уравнения носят название уравнений Рейнольдса. Уравнение (4.106) по форме такое же, как и исходное уравнение Навье- Стокса за исключением последних трех слагаемых в правой части с пуль- сационными составляющими скорости вида 1 x x u u x , которые выражают собой действие дополнительных напряжений, присущих пульсирующему турбулентному потоку. Их называют турбулентными (рейнольдсовыми) напряжениями. Запишем уравнение (4.106) в компактной форме, используя для обозначения про- странственных координат и проекций гидродинамических параметров числовые индек- сы. То есть обозначим 1 2 3 , , x x x y x z , 1 x u u , 2 y u u , 3 z u u и т. д. Кроме того будем предполагать, что если в одночленном выражении будет встречаться повторяю- щийся индекс, то по этому индексу производится суммирование. Например, конвек- тивная часть индивидуальной производной проекции скорости u x запишется так x x x x y z u u u u u u x y z 3 1 , 1 j j i i i i i u u u u j x x С учетом указанных правил уравнения Рейнольдса (4.106) примут вид 2 1 1 j j j j i i j i j i i i u u u u u p u f t x x x x x , 1,3 j (4.107) Подобная форма записи математических выражений будет использоваться и в дальнейшем, при необходимости. 67 Таким образом, касательные напряжения в турбулентном потоке скла- дывается из вязких напряжений * , описываемых слагаемыми в правой части уравнений типа (4.106), стоящими в скобках, и турбулентных i j i j , (4.108) причем турбулентные напряжения выражаются формулой i j i j u u (4.109) и обладают свойством взаимности: i j ji , то есть образуют симметрич- ный тензор второго ранга т τ с компонентами , , 1,3 i j i j . Диагональные компоненты i i u u играют роль нормальных, а остальные касательных напряжений. Как видим, уравнения Рейнольдса, по сравнению с уравнениями Навье- Стокса содержат дополнительные неизвестные – турбулентные напряже- ния. Поэтому для замыкания данной системы необходимы дополнитель- ные соотношения, связывающие эти напряжения с другими параметрами течения. Такие соотношения не могут быть получены из общефизических законов сохранения, и формулируются на основе ряда гипотез, выдвину- тых различными авторами (Буссинеском, Прандтлем, Лаундером и др.). Гипотезы (модели турбулентности) содержат определяемые из опыта кон- станты и справедливы только для тех условий, при которых определены данные константы. Теория турбулентности, построенная на основе этих гипотез, носит название полуэмпирической теории турбулентности. Если рассматриваются турбулентные течения, в которых внутренняя энергия жидкости претерпевает существенные изменения, то для их расче- та необходимо привлекать уравнение сохранения энергии, которое получа- ется из уравнения (4.72) с использованием концепции Рейнольдса и вы- полнения операций осреднения пульсационных составляющих параметров. В данном пособии вывод осредненного уравнения сохранения энергии не приводится. Информацию по данному вопросу можно найти, например. В [2]. 4.7. Замыкающие соотношения и условия однозначности 4.7.1 Замыкающие соотношения Полученная выше система трех дифференциальных уравнений, описы- вающих динамику жидкости и газа, и включающая: уравнение неразрыв- ности, векторное уравнение сохранения количества движения, уравнение сохранения энергии неполная, так как содержит семь неизвестных: u, , р, Т, , , Q. Для ее замыкания должны привлекаться дополнительные соот- ношения, описывающие зависимость коэффициентов динамической вязко- * То есть определяемых молекулярной вязкостью жидкости 68 сти и теплопроводности от параметров состояния среды, уравнение для определения интенсивности объемного источника тепловыделения Q, а также уравнение состояния. При расчете турбулентных течений перечисленные выше замыкающие соотношения должны быть дополнены математическими выражениями, описывающими связь тензора турбулентных напряжений i j i j u u с ос- редненными параметрами течения, то есть моделями турбулентности. Используя замыкающие соотношения можно исключить из уравнений неразрывности, сохранения количества движения и энергии «лишние» пе- ременные и свести задачу динамики жидкости к трем дифференциальным уравнениям * относительно трех неизвестных функций, в качестве которых могут быть, например, , , , , , , , , , , , x y z t p x y z t T x y z t u Если рассматривается адиабатическое течение баротропного нетепло- проводного газа, то уравнение сохранения энергии можно не рассматри- вать, так как температура найдется из уравнения состояния. В этом част- ном случае задача упрощается и включает в себя два дифференциальных уравнения (неразрывности и сохранения количества движения) относи- тельно двух неизвестных функций , , , , , , , x y z t p x y z t u Если рассматривается течение несжимаемой жидкости и коэффициент ее кинематической вязкости не зависит от температуры, то уравнение со- хранения энергии может быть проинтегрировано независимо от остальных. В этом случае общая задача гидродинамики распадается на две независи- мые: систему двух дифференциальных уравнений (неразрывности и сохра- нения количества движения) относительно неизвестных функций , , , , , , , x y z t p x y z t u и одно дифференциальное уравнение (сохранения энергии) с искомой функцией , , , T x y z t 4.7.2 Условия однозначности Сформированная таким образом система уравнений должна быть до- полнена условиями однозначности, позволяющими из общего многообра- зия решений, удовлетворяющих данной системе дифференциальных урав- нений, выделить единственное решение, соответствующее поставленной задаче. К этим условиям относятся: геометрические характеристики облас- ти течения, граничные (краевые) условия и начальные условия. * Заметим, прежде всего, что уравнение сохранения количества движения вектор- ное, поэтому, по сути дела, это три скалярных уравнения. То есть система уравнений динамики жидкости включает пять скалярных дифференциальных уравнений. Кроме того, следует сказать, что дифференциальных уравнений в задаче гидродинамики мо- жет быть еще больше, если модель турбулентности построена с использованием «сво- их» дифференциальных уравнений. 69 Кратко охарактеризуем данные условия однозначности. Рассмотрим при этом общую постановку задачи динамики, так как указанные выше ча- стные случаи легко получаются из общей. Геометрические характеристики. Геометрические характеристики области течения определяют размеры и границы потока жидкости. Граничные условия. Граничные условия определяют особенности движения жидкости на границах во все моменты времени и зависят от типа границы: непроницаемая либо проницаемая стенка, свободная граница, проницаемая граница расчетной области. С математической точки зрения это ограничения на величины каждой из искомых функций, заданные на границе расчетной области. 1) Граница – непроницаемая стенка. Условия на стенке зависят от того рассматривается вязкая, либо идеальная жидкость. а) При расчете течений вязкой жидкости на непроницаемой стенке за- дается условие прилипания, которое состоит в равенстве вектора скорости жидкости вектору скорости стенки в каждой точке ее поверхности: ст ст ст ст , , , x y z t u u (4.110) Если стенка неподвижна, то u ст (t) = 0. Необходимо отметить, что вы- полнение условия прилипания не зависит от материала и состояния по- верхности. Оно выполняется при обтекании поверхностей как смачивае- мыми, так и несмачиваемыми жидкостями и нарушается только при тече- нии сильно разреженных газов * б) При расчете течений идеальной жидкости на непроницаемой стенке задается условие непротекания, то есть равенство нормальных к поверхно- сти стенки компонент векторов скорости жидкости и стенки: ст ст ст ст , , , x y z t u n u n , (4.111) где n – вектор нормали к данной точке поверхности стенки. Если стенка неподвижна, то u ст (t) = 0. 2) Граница – проницаемая стенка. В этом случае на стенке должны быть заданы соотношения, определяющие величину скорости вдува (отсо- са) u w (x ст , y ст , z ст , t), которая при задании граничных условий должна быть добавлена к нормальной компоненте скорости стенки: ст ст ст ст ст ст ст , , , , , , w x y z t u x y z t u n u n , (4.112) где знак плюс берется при вдуве и минус – при отсосе. В случае вязкой жидкости в дополнение к условиям (4.112) должна быть обнулена каса- тельная к стенке компонента скорости: ст ст ст , , , 0 x y z t u τ , где – век- тор касательной к данной точке поверхности стенки. Если рассматривается неадиабатическое течение, то на стенке кроме скорости течения должны быть заданы условия теплообмена с окружаю- щей средой, то есть должна быть задана функция q(x ст , y ст , z ст , t). * В так называемых свободномолекулярных течениях. 70 3) На свободной границе жидкости задается условие равенства давле- ния в жидкости давлению в окружающей среде р св = р 0 4) На проницаемых поверхностях области течения, то есть на поверхно- стях, через которые жидкость попадает в расчетную область и покидает ее, задаются, например: на входе – распределение скорости u(x вх , y вх , z вх , t) и температуры Т(x вх , y вх , z вх , t); на выходе – равенство давления в потоке жидкости давлению в окру- жающей среде р(x вых , y вых , z вых , t) = р 0 Начальные условия. Если рассматривается нестационарная задача, то в дополнение к граничным условиям должны быть заданы поля гидроди- намических параметров в начальный момент времени, то есть начальные условия. На момент времени t 0 должны быть заданы: поле вектора скоро- сти u = u(x, y, z, t 0 ), любые две из трех следующих функций * = (x, y, z, t 0 ). p = p(x, y, z, t 0 ), T = T(x, y, z, t 0 ). Функции (x, y, z, t 0 ), (x, y, z, t 0 ), Q(x, y, z, t 0 ) не задаются, а находятся из соответствующих замыкающих соотно- шений. При этом значения полей гидродинамических параметров должны удовлетворять граничным условиям и дифференциальным уравнениям. Поэтому, например, если задано начальное поле скорости и температуры, то начальное поле давления следует определить из исходной системы дифференциальных уравнений. Условия однозначности могут быть заданы в виде числового значения, функциональной зависимости или дифференциального уравнения. Систе- ма уравнений, описывающая движение среды, совместно с условиями од- нозначности называется краевой задачей. 4.8. Контрольные вопросы 1. Какой физический закон отражает уравнение неразрывности? 2. Запишите уравнение неразрывности для сжимаемой и несжимаемой жидкости. 3. Дайте определение закона сохранения количества движения для жидкого контрольного объема. 4. Запишите уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости. 5. Запишите уравнения движения Эйлера. 6. Запишите основное дифференциальное уравнение гидростатики. 7. Дайте определение баротропной среды. 8. Дайте определение потенциального течения. Укажите свойства по- тенциальных течений. 9. Запишите выражение уравнения Бернулли для трубки тока в диффе- ренциальной форме. * Третья функция найдется из уравнения состояния. 71 10. Запишите выражение интеграла уравнения Бернулли для трубки то- ка. 11. Дайте определение закона сохранения энергии для жидкого кон- трольного объема. 12. Как изменяется энтропия при адиабатическом течении идеального, совершенного газа? 13. Что собой представляют турбулентные напряжения? 14. Что собой представляют условия однозначности? |