Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа

• Название: Механика жидкости и газа
• Анкор: Гидравлический пресс
• Дата: 01.06.2022
• Размер: 5.98 Mb.
• Имя файла: TPM_Zezin_mehanika_zhidkosti_gaza.pdf
• Тип: Учебное пособие; #561398
• страница: 4 из 22

ГЛАВА 4. ОСНОВНЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
МЕХАНИКИ ЖИДКОСТИ И ГАЗА
Уравнения движения сжимаемой жидкости представляют собой мате- матическое выражение законов сохранения массы, количества движения, момента количества движения, энергии, содержащихся в некотором объе- ме жидкости. Для облегчения вывода этих уравнений и исключения повто- ряющихся математических преобразований получим вначале обобщенную форму уравнения сохранения, справедливого для любой физической вели- чины: массы, энергии и т. д.
4.1. Общая форма уравнения сохранения количества произвольной
физической величины в контрольном объеме
Выделим в движущейся сжимаемой жидкости контрольный объем W, ограниченный непроницаемой поверхностью S. Будем считать, что жид- кость данного объема характеризуется некоторой физической величиной
*
, плотность распределения которой по данному объему задана непрерывно дифференцируемой векторной либо скалярной функцией

(t, x, y, z). Тем самым мы предполагаем, что для описания поля гидродинамических пара- метров среды используются переменные Эйлера.
Отвлекаясь от конкретного физического содержания рассматриваемой величины, сформулируем следующим образом закон сохранения ее коли- чества в произвольном непроницаемом движущемся объеме сжимаемой жидкости: скорость изменения количества величины в контрольном объе-
ме равна сумме воздействий поверхностного и объемного внешних факто-
ров. Запишем это в виде уравнения d
d d
d d
W
S
W
W
A S
B W
t






,
(4.1) где А – величина, характеризующая воздействие поверхностного фактора в единицу времени на единицу площади поверхности; В – величина, харак- теризующая воздействие объемного фактора в единице объема за единицу времени.
Применив формулу (1.11) к производной от интеграла в левой части, перепишем (4.1) в виде d
d d
d
n
W
S
S
W
W
u S
A S
B W
t

 







(4.2)
Будем считать, что функция А обладает свойствами (1.12) или (1.20).
Тогда, с использованием формулы Остроградского-Гаусса уравнение (4.2) примет вид
*
Например, массой, количеством движения, полной энергией.

47
+
d
+
d
y
y
x
x
z
z
W
W
u
A
u
A
u
A
W
B
W
t
x
y
z
x
y
z

































. (4.3)
При выводе уравнения (4.3) не делалось никаких ограничений на вели- чину контрольного объема W. Следовательно, оно справедливо и для бес- конечно малого объема. В результате, отбросив интегралы, получаем диф- ференциальную форму уравнения сохранения количества физической ве- личины
+
+
y
y
x
x
z
z
u
A
u
A
u
A
B
t
x
y
z
x
y
z



















(4.4)
Выполним дифференцирование в левой части (4.4) и перегруппируем слагаемые
+
+
+
y
y
x
x
z
z
x
y
z
u
A
u
A
u
A
u
u
u
B
t
x
y
z
x
y
z
x
y
z






 






 


















Первые четыре слагаемых в последнем выражении есть индивидуаль- ная производная параметра

, см. формулу (2.7). Следовательно (4.4) мож- но представить в виде d
+
+
d
y
y
x
x
z
z
u
A
u
A
u
A
B
t
x
y
z
x
y
z









 














(4.5) или, используя оператор дивергенции, в виде d
div
+
d
y
x
z
A
A
A
B
t
x
y
z




 






u
(4.6)
Применим полученные выражения обобщенного закона сохранения ко- личества произвольной физической величины (4.1), (4.4), (4.5) к частным случаям.
4.2. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности представляет собой математическое выра- жение закона сохранения массы. В данном случае в (4.1) и (4.4) следует положить

=

, А = 0. В результате получаем следующие выражения урав- нения неразрывности в интегральной форме d
d d
n
W
S
W
W
u s
B W
t

 





(4.7) и в дифференциальной форме
+
y
x
z
u
u
u
B
t
x
y
z











(4.8)
В уравнениях (4.7), (4.8) B имеет смысл объемного источника (стока) массы, например, как результат действия химических реакций или фазо- вых переходов. Если источников и стоков нет, то вместо (4.8) имеем

48
+
0
y
x
z
u
u
u
t
x
y
z











(4.9)
Используя (4.5), уравнению (4.8) можно придать следующий вид d
+
d
y
x
z
u
u
u
B
t
x
y
z






 









(4.10) или, используя оператор дивергенции, d
div d
B
t

 

u
(4.11)
Если в области течения отсутствуют источники и стоки массы (В = 0) и жидкость несжимаема (

= const), то уравнение неразрывности запишется следующим образом
+
0 или div
0
y
x
z
u
u
u
x
y
z









u
(4.12)
В дальнейшем будем полагать, что в области течения источники и сто- ки массы отсутствуют.
4.3. Уравнение сохранения количества движения. Уравнения
Навье-Стокса
Закон сохранения количества движения в контрольном объеме форму- лируется следующим образом: изменение количества движения жидкости
в контрольном объеме в единицу времени равно сумме действующих на не-
го поверхностных и объемных внешних сил. Поэтому в данном случае обобщенная переменная

представляет собой удельное (отнесенное к еди- нице объема) количество движения, то есть
  
u
, поверхностный фактор
А – напряжение поверхностных сил, действующих в точке поверхности объема с вектором внешней нормали n:
n
A

p
, а объемный фактор В – объемные силы: B
 
f . В качестве объемных сил будем рассматривать си- лу тяжести и инерционные силы (возникающие при рассмотрении процес- сов в жидкости в подвижной системе координат): и
 
f
g
a ,
(4.13) где g – ускорение силы тяжести; а
и
– центростремительное ускорение, ус- корение в переносном движении и т. п.
Таким образом, уравнение сохранения количества движения принимает вид:
1) в интегральной форме d
d d
d
n
n
W
S
S
W
W
u S
S
W
t

 

 





u
u
p
f
;
(4.14)
2) в дифференциальной форме

49
+
+
y
y
x
x
z
z
u
u
u
t
x
y
z
x
y
z











 







u
p
u
p
u
u
p
f
(4.15)
Здесь
,
,
x
y
z
p
p
p
– вектора напряжений поверхностных сил, приложенных к элементарным площадкам, перпендикулярным осям Ох, Оy, Оz соответст- венно.
Выполним дифференцирование в левой части (4.15) и сгруппируем сла- гаемые:
+
+
y
x
z
x
y
z
u
u
u
u
u
u
t
x
y
z
t
x
y
z



































u
u
u
u
u
+
y
x
z
x
y
z





 



p
p
p
f
(4.16)
Первая скобка в левой части (4.16) представляет собой индивидуаль- ную производную скорости, вторая скобка равна нулю вследствие уравне- ния неразрывности (4.9). Поэтому (4.15) принимает вид d
+
d
y
x
z
t
x
y
z






 



p
p
u
p
f .
(4.17)
Уравнение (4.17) носит название уравнения сохранения количества движения в напряжениях, так как в правой части присутствуют вектора напряжений поверхностных сил, для определения которых необходимы дополнительные данные.
Уравнение (4.17) векторное. Запишем его проекцию на координатную ость Ох
*
d
1
+
d
yx
x
xx
zx
x
p
u
p
p
f
t
x
y
z










 




,
(4.18) где
,
,
xx
yx
zx
p
p
p
– проекции векторов
,
,
x
y
z
p
p
p
на координатную ось Ох, то есть компоненты тензора напряжений (3.12). Для применения данного уравнения в расчетах необходимо связать компоненты тензора напряжений со скоростями деформаций движущейся жидкости. С этой целью исполь- зуем обобщенную гипотезу Ньютона.
Подставляя выражения для
,
,
xx
yx
zx
p
p
p
, из (3.30), получим проекцию уравнения сохранения количества движения несжимаемой жидкости на ось
Ох в следующем виде d
2
d
y
x
x
x
x
u
u
u
u
p
f
t
x
x
x
y
y
x













  
























*
Проекции на другие оси записываются аналогично и для сокращения объема по- собия здесь не приводятся. Читателю предлагается проделать эти выкладки самостоя- тельно.

50
x
z
u
u
z
x
z





















,
(4.19) или, выполняя дифференцирование в правой части,
2 2
2 2
2 2
d
2
d
y
x
x
x
x
z
x
u
u
u
u
u
p
u
f
t
x
y x
z x
x
y
z











  
 
 

 






 
 







Перегруппируем слагаемые и изменим порядок дифференцирования в смешанных производных:
2 2
2 2
2 2
d d
y
x
x
x
x
x
z
x
u
u
u
u
u
u
p
u
f
t
x
x
x
y
z
x
y
z













  
 


 


















. (4.20)
Последнее слагаемое в правой части (4.20) рано нулю, так как содержит производную от дивергенции скорости. Кроме того учтем, что
/
   
Тогда окончательно получим
2 2
2 2
2 2
d
1
d
x
x
x
x
x
u
u
u
u
p
f
t
x
x
y
z








 




 





(4.21)
Проекции уравнения на другие оси координат находятся аналогично.
2 2
2 2
2 2
d
1
d
y
y
y
y
y
u
u
u
u
p
f
t
y
x
y
z








 






 





;
(4.22)
2 2
2 2
2 2
d
1
d
z
z
z
z
z
u
p
u
u
u
f
t
z
x
y
z








 




 





(4.23)
Уравнения (4.21)…(4.23) носят название уравнений Навье-Стокса.
В векторной форме уравнения Навье-Стокса (4.21)…(4.23) запишутся следующим образом
2
d
1
grad d
p
t
 
 

u
f
u .
(4.24)
Использованное в уравнении (4.24) обозначение
2 2
2 2
2 2
2
x
y
z



 





(4.25) называется дифференциальным оператором Лапласа. Например
2
F

есть
2 2
2 2
2 2
2
F
F
F
F
x
y
z










. Тогда выражение
2

u раскрывается следующим образом


2 2
2 2
2
x
y
z
x
y
z
u
u
u
u
u
u
  


 
 
 
u
i
j
k
i
j
k .
Уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости имеют более слож- ный вид, что обусловлено более сложной зависимостью напряжений по- верхностных сил от тензора скоростей деформации. Их вывод, который можно найти, например, в [2], в данном учебном пособии мы не приводим.

51
Отметим лишь, что уравнения Навье-Стокса для сжимаемой жидкости от- личается от (4.24) только последним слагаемым в правой части, которое учитывает действие вязких касательных напряжений. Если обозначить это слагаемое, не раскрывая его содержания, через а

, то уравнения Навье-
Стокса для сжимаемой жидкости можно записать в виде d
1
grad d
p
t

 


u
f
a .
(4.26)
Рассмотрим частные случаи уравнений Навье-Стокса.
4.3.1
Уравнения движения идеальной жидкости. Уравнения
Эйлера
В областях течения, где отсутствуют значительные поперечные гради- енты скорости, жидкость может считаться идеальной. Такие режимы тече- ния реализуются, например, вдали от твердых поверхностей.
Уравнения движения идеальной среды могут быть получены из уравне- ний Навье-Стокса (4.21)…(4.23) при

= 0 d
d
1 1
d
1
;
;
d d
d
y
x
z
x
y
z
u
u
p
p
u
p
f
f
f
t
x
t
y
t
z









 
 
 
(4.27)
Уравнения (4.27) носят название уравнений Эйлера. Заметим, что дан- ные уравнения справедливы, как для сжимаемой, так и для несжимаемой жидкости.
4.3.2
Уравнения гидростатики
Если жидкость неподвижна, то уравнения Эйлера принимают вид
1 1
1
;
;
x
y
z
p
p
p
f
f
f
x
y
z






 
 
 
(4.28)
Придадим уравнениям (4.28) другую, более удобную в некоторых при- ложениях форму. Умножим первое уравнение (4.28) на dx, второе на dу, третье на dz и сложим
1
d d
d d
d d
x
y
z
p
p
p
f x
f
y
f z
x
y
z
x
y
z












 




(4.29)
Выражение в скобках есть полный дифференциал функции гидростати- ческого давления


, ,
p
f x y z

. Окончательно получаем
1
d d
d d
x
y
z
f
x
f
y
f
z
p




(4.30)
Уравнения (4.28), (4.30) называют основными дифференциальными
уравнениями гидростатики.
Рассматриваемые нами объемные силы являются потенциальными. В соответствии с определением потенциала силы

имеем

52
x
y
z
f
f
f
x
y
z








 








