Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
f i j k i j k . (4.31) Следовательно, d d d d d d d x y z x y z f z f y f x x y z (4.32) есть полный дифференциал. Если проекции объемной силы константы, то (4.32) можно проинтегри- ровать const x y z f x f y f z (4.33) Будем рассматривать баротропные среды, то есть такие, плотность ко- торых зависит только от давления: p . Тогда, если ввести в рассмот- рение функцию давления такую, что 1 d dp , (4.34) то последние слагаемые в правых частях уравнений (4.28) запишутся сле- дующим образом 1 1 1 , , p p p x x y y z z (4.35) С учетом (4.31) и (4.35) уравнения (4.28) примут вид 0, 0, 0 x y z (4.36) Рассмотрим вид уравнений (4.36), для различных моделей баротропной среды: несжимаемой жидкости, адиабатического и изотермического газа. Несжимаемая жидкость. В этом случае = const и / p . Уравне- ния (4.36) принимают вид 1 1 1 , , x y z p p p f f f x y z (4.37) Адиабатический совершенный газ. В данной модели 1/ k Cp , где С – константа. Получим выражение для функции давления 1 1 1 d d 1 1 k k k p p k p C С k Cp , где С 1 – постоянная интегрирования. Так как 1/ k C p , то функция дав- ления для модели адиабатического газа выразится следующим образом 1 1 k p C k (4.38) 53 Подставив (4.38) в (4.36), получим уравнения статики адиабатического совершенного газа , , 1 1 1 x y z k p k p k p f f f k x k y k z (4.39) Изотермический совершенный газ. В данной модели / p RT , что позволяет получить следующие выражения для функции давления 1 d d ln p p RT RT p C p , (4.40) и уравнений статики ln , ln , ln x y z f RT p f RT p f RT p x y z (4.41) 4.3.3 Потенциальные течения Пусть в области течения существует скалярная функция , частные производные которой по координатам равны соответствующим проекциям вектора скорости , , x y z u u u x y z (4.42) Соотношения (4.42) означают, что вектор скорости равен градиенту Эта функция называется потенциалом скорости * , а соответствующее тече- ние потенциальным. В потенциальном течении угловая скорость любой частицы жидкости равна нулю 0 x y z , что легко проверить, если подставить (4.42) в (2.32) и (2.34). Поэтому потенциальные течения назы- вают безвихревыми. Раскроем индивидуальную производную в левой части первого уравне- ния (4.27) и выполним следующие преобразования: d d x x x x x y z y y x x x x z z z x x y y z u u u u u u u t x y z u u u u u u u u u u u u u t x y x x u t z x x 2 2 2 1 2 x y z y x x x z y z u u u u u u u u u u t x y x z x (4.43) Разности частных производных, стоящие в скобках, равны нулю, так как с точностью до множителя ½ представляют собой проекции угловой скорости на оси Оz и Оy, а в потенциальном течении они равны нулю. По- этому (4.43) примет вид * По аналогии с потенциалом силы. 54 2 / 2 d d x x u u t u t x , (4.44) где 2 2 2 2 x y z u u u u – квадрат модуля скорости. Выражая u x через потенциал скорости, представим / x u t в виде x u t t x x t (4.45) Аналогично выражаются производные других компонент скорости. Будем считать движущуюся среду баротропной. Тогда с учетом (4.31), (4.35), (4.44), (4.45) уравнения Эйлера (4.27) для потенциального движения примут вид 2 2 2 0; 2 0; 2 0. 2 u x t u y t u z t (4.46) Равенство нулю частных производных по всем координатам от выра- жения, содержащегося в скобках (4.46), означает, что оно не зависит от ко- ординат, а является только функцией времени. То есть решение (4.46) име- ет вид 2 2 u F t t , (4.47) где F t – произвольная функция времени. Выражение (4.47) носит название интеграла Коши-Лагранжа. Если те- чение стационарное, то решение уравнений (4.46) принимает вид 2 const 2 u (4.48) Слагаемые в левой части (4.48) представляют собой отдельные виды механической энергии, содержащиеся в 1 кг жидкости: кинетическую, по- тенциальную энергию положения, потенциальную энергию давления. В целом (4.48) выражает постоянство полной механической энергии жидко- сти во всей области течения. 4.4. Уравнение Бернулли для трубки тока Запишем соотношение (4.43) с учетом (2.32) и (2.34) в виде 2 / 2 d 2 d x x y z z y u u u u t x u t (4.49) 55 Аналогично можно выразить индивидуальные производные и других проекций скорости d 2 2 d 1 y x z z x y u u u u t u y t , (4.50) 2 / 2 d 2 d z z x y y x u u u u t z u t (4.51) Умножим (4.49) на i, (4.50) на j, (4.51) на k и сложим. В результате по- лучаем векторную форму этих выражений: 2 grad d 2 2 d t u t u u u ω (4.52) Подставим (4.52) в уравнение Навье-Стокса (4.26), учитывая, что объ- емные силы имеют потенциал и считая движущуюся среду баротропной, 2 2 grad 2 u t u u ω a . (4.53) Уравнение (4.53) выполняется во всей области течения. Возьмем про- извольную в этой области линию тока и умножим скалярно обе части уравнения (4.53) на элемент длины дуги d s данной линии тока: d 2 d grad d d B t u s u ω s s a s . (4.54) Здесь введено обозначение 2 2 u B – трехчлен Бернулли. Так как вектор произведения u ω ортогонален вектору u, а вектор d s коллинеарен вектору скорости u, то второй член в левой части (4.54) равен нулю. Заметим, кроме того, что скалярное произведение grad d B s есть полный дифференциал функции В grad d d d d d B B B B x y z B x y z s Таким образом уравнение (4.54) приобретает вид d d d B t u s a s , или, раскрывая выражение для трехчлена Бернулли, 2 d d d d d 2 u t u s a s (4.55) Уравнение (4.55) называется уравнением Д. Бернулли и является одним из фундаментальных уравнений механики жидкости и газа. Проинтегрируем (4.55) вдоль рассматриваемой линии тока от точки 1 до точки 2, считая, что из объемных сил действует только сила тяжести, а движение жидкости рассматривается в системе координат, связанной с по- 56 верхностью земли и осью Оz направленной вертикально вверх. Тогда 0, x y z f f f g и, в соответствии с (4.33), const gz , где z – вер- тикальная координата рассматриваемой точки. Подставим это выражение потенциала массовых сил в (4.54) и поделим все члены получившегося уравнения на g. Кроме того, введем обозначения: 2 2 1 1 1 1 d , d t h h g g t u a s s . (4.56) В результате получаем следующее уравнение, связывающее параметры нестационарного течения сжимаемой жидкости в двух сечениях трубки то- ка между собой 2 2 1 1 2 2 1 2 2 2 t u u z z h h g g g g (4.57) Рассмотрим его более подробно. Все члены уравнения имеют размер- ность длины * , однако им можно придать энергетический смысл. Действи- тельно, если жидкость поднята на высоту z, то каждая единица ее массы обладает потенциальной энергией zg. Второй член уравнения / g это работа сил давления, производимая в единицу времени по перемещению единицы веса жидкости вдоль линии тока. Наконец третий член кинети- ческая энергия единицы веса жидкости, перемещающейся вдоль линии то- ка. Физический смысл величины h следует из (4.56). Как видно, это ра- бота, затрачиваемая жидкостью на преодоление вязких сил, отнесенная к единице веса жидкости. Данный вид энергии безвозвратно теряется (пере- ходит в теплоту) при протекании жидкости между точками 1 и 2. Этот процесс необратимого преобразования механической энергии в тепловую называется диссипацией. Слагаемое t h в соответствии с (4.56), можно трактовать как затраты энергии на разгон (торможение) жидкости. Этот член называют инерционным напором. Для ускоряющихся потоков он по- ложительный, для замедляющихся – отрицательный. В целом уравнение Бернулли (4.57) и его дифференциальная форма (4.55), выражают закон сохранения механической энергии движущейся жидкости. Имея это в виду, придадим уравнению Бернулли более общий вид и добавим в левую часть (4.55) слагаемое тех de , представляющее собой дифференциал удельной технической работы. Эта величина положитель- ная, если техническая работа совершается внешними техническими систе- мами (насосами, компрессорами и т. п.) и отрицательна, если жидкость со- вершает работу по приводу технических устройств. Тогда уравнение (4.55) примет вид * В гидродинамике подобные члены называются напорами. 57 2 тех d d d d d d 2 u e t u s a s (4.58) Аналогичное слагаемое добавим и в уравнение (4.57) 2 2 1 1 2 2 1 тех 2 2 2 t u u z h z h h g g g g , (4.59) где h тех – напор, создаваемый внешними техническими системами, уста- новленными на участке между точками 1 и 2 рассматриваемой линии тока. Рассмотрим частные случаи уравнения Бернулли. Несжимаемая жидкость = const. Функция давления для этого случая имеет вид / p . Тогда уравнение Бернулли (4.57) для несжимаемой жидкости запишется следующим образом 2 2 1 1 2 2 1 тех 2 2 2 t p u p u z h z h h g g g g (4.60) Если течение жидкости установившееся, то / 0 t u и, следовательно, h t = 0. Тогда имеем 2 2 1 1 2 2 1 тех 2 2 2 p u p u z h z h g g g g (4.61) Перепишем уравнение (4.60) в виде 2 2 1 2 2 1 1 2 тех 2 2 u u p p z z h h g g g g (4.62) Оно представляет собой частную форму закона сохранения механической энергии: изменение полной удельной, отнесенной к единице веса энергии жидкости (потенци- альной и кинетической 2 / 2 z u g ) равно сумме работы приложенных к ней сил (дав- ления 1 2 / p p g , вязкости h , а также технической работы h тех ). Дифференциальная форма уравнения Бернулли для несжимаемой жид- кости получается путем подстановки в (4.58) / p и = const 2 тех 1 d d d d d d 0 2 t u g z p e e e , (4.63) где использованы обозначения: d d e a s , d / d t e t u s . Знак «ми- нус» в первом обозначении поставлен исходя их физического смысла этого параметра – потерь механической энергии потока вследствие действия сил вязкого сопротивления. Адиабатическое течение совершенного газа. Для данного случая функция давления выражается формулой (4.38). Следовательно уравнение Бернулли для адиабатического течения со- вершенного газа запишется следующим образом |