Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
7.1. Ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в каналах Такие течения реализуются при движении очень вязкой жидкости или при течении в тонких капиллярах, с малыми скоростями. Рассмотрим ла- минарное течение жидкости в цилиндрической трубе произвольной фор- мы, рис. 7.1. Направим ось z вдоль оси трубы и будем считать тубу беско- нечно длинной. Рис. 7.1. Течение в цилиндрической трубе Так как труба цилиндрическая, то поперечные компоненты скорости равны нулю u x = 0, u y = 0. Пренебрегая действием объемных сил, уравне- ния Навье-Стокса (4.21)…(4.23) приводим к виду 2 2 2 2 2 2 1 1 0 , 0 , 1 z z z z z p p x y u p u u u u z z x y z (7.1) Из уравнения неразрывности (4.12) следует 0 z u z (7.2) Из (7.2) видно, что проекция скорости u z является функцией только x и y, а из первых двух уравнений (7.1) – что р – функция только z. Вследствие этого система (7.1) и (7.2) сводится к одному уравнению 2 2 2 2 d d z z u u p z x y (7.3) Левая часть (7.3) зависит только от x и y, а правая – только от z. Это может быть только в случае постоянства левой и правой частей. Поэтому можем записать d const d p p z l , (7.4) y l x z u z 103 где р – постоянное по длине трубы падение давления на участке l. Таким образом, уравнение (7.3) сводится к линейному уравнению в ча- стных производных второго порядка 2 2 2 2 2 z z z u u p u l x y , (7.5) которое должно быть решено при граничном условии обращения в нуль скорости u z на контуре нормального к оси сечения, а также дополнитель- ного условия, задающего падение давления р на длине l. Рассмотрим частные случаи интегрирования уравнения (7.5). Плоское движение между двумя параллельными плоскостями y h . В этом случае координата х исчезает, и задача сводится к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка 2 2 d d z u p l y (7.6) Его решение при граничных условиях 0 при z u y h имеет вид 2 2 1 2 z ph y u l h (7.7) То есть распределение скорости представляет собой параболу. Макси- мальная скорость достигается в плоскости симметрии потока (y = 0) и рав- на 2 max 2 z ph u l (7.8) Определим объемный расход, отнесенный к единице ширины потока 3 2 d 3 h z h ph Q u y l , (7.9) откуда получаем среднерасходную скорость 2 ср max 1 2 2 3 3 z z Q ph u u h l (7.10) Анализируя выражение (7.9) необходимо обратить внимание, во- первых, на существенную зависимость расхода от высоты щели пропор- ционально кубу h, во-вторых, расход пропорционален перепаду давле- ния, а не корню из перепада, как в случае идеальной жидкости, что следует из уравнения Бернулли. Движение жидкости в круглой трубе. Течение в рассматриваемом случае обладает осевой симметрией. Поэтому целесообразно использовать цилиндрическую систему координат с осью Оz, совпадающей с осью тру- бы и осью Оr, направленной по ее радиусу. Для этого необходимо найти 104 выражение дифференциального оператора Лапласа (4.25) в новой системе координат, учитывая осевую симметрию. Так как 2 2 2 r x y , то , , r x r y x r x r y r r x (7.11) По правилам дифференцирования сложных функций с учетом (7.11) имеем , z z z z u r x y u u r u x x x r x r r (7.12) Находим вторую производную по координате х, учитывая (7.11) и (7.12): 2 2 2 2 2 1 z z z z z z u u x u r x u x u x u x x x r r r x r r r r r r x r r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 z z z z x u x u y u x u r r r r r r r r r r Аналогично находится вторая производная по координате у 2 2 2 2 2 2 2 2 1 z z z u x u y u r r y r r r Тогда для оператора Лапласа в рассматриваемом случае осевой сим- метрии и независимости скорости от координаты z имеем выражение 2 2 2 2 2 2 1 1 z z z z z u u u u u r r r r r r x y r (7.13) С учетом (7.13) уравнение (7.5) для рассматриваемого случая примет вид 1 z u p r r r r l (7.14) Дважды интегрируя по r, находим 2 1 2 1 ln 4 z p u r C r C l (7.15) Постоянные интегрирования определяем из граничных условий 0 при , 0 при 0 z z u u r R r r , (7.16) где R – радиус трубы. С использованием (7.16) находим 2 1 2 0, 4 R C C (7.17) Таким образом, для рассматриваемого случая распределение скорости в поперечном сечении трубы примет вид 105 2 2 1 4 z pR r u l R (7.18) Максимальная скорость достигается на оси канала (при r = 0) и равна 2 max 4 z pR u l (7.19) Объемный расход определится, как 2 2 4 0 0 d 1 d 2 8 R R z pR r pR Q u r r r r l R l (7.20) Формула (7.20) выражает закон Пуазейля: при установившемся лами- нарном движении несжимаемой жидкости сквозь цилиндрическую круг- лую трубу объемный расход пропорционален перепаду давления на единицу длины трубы и четвертой степени ее радиуса. Как видим, в данном случае зависимость расхода от размера попереч- ного сечения канала еще существеннее, чем при плоском ламинарном те- чении – расход пропорционален четвертой степени радиуса (диаметра) трубы. Связь расхода с перепадом давлений, как и в предыдущем случае, линейная. Найдем среднерасходную скорость течения 2 max ср 2 8 2 z z u Q pR u l R (7.21) Как видно, максимальная скорость в два раза превышает среднерасход- ную. Течение Куэтта. Данным термином называют плоское безградиентное течение вязкой жидкости, вызванное перемещением пластин, рис. 7.2. Рис. 7.2. Течение Куэтта Уравнения движения жидкости (7.1) в этом случае принимает вид 2 2 0 z u x (7.22) Решение (7.22) при граничных условиях 0 z u при 0, z x u v при x h (где v – относительная скорость перемещения верхней пластины) представляет собой линейную функцию v x z u z 106 z x u v h (7.23) Из (7.23) видно, что данный вид течения характеризуется постоянной величиной касательных напряжений по всей толщине зазора между пла- стинами 0 d d z u v x h (7.24) Величина расхода жидкости, приходящаяся на единицу ширины зазора, вызванная перемещением пластин, будет равна 0 0 d d 2 h h z v vh Q u x x x h (7.25) 7.2. Течение жидкости в тонком слое переменной толщины Рассмотрим движение жидкости в гидродинамическом слое смазки. Особенностью такого движения жидкости является малость толщины слоя по сравнению с размерами граничных поверхностей. Это дает возможность считать поверхности слабоискривленными и рассматривать гидродинами- ческую задачу в декартовой системе координат. Рассмотрим две слабоис- кривленные и приблизительно параллельные поверхности, между которы- ми движется слой жидкости под действием градиента давления и переме- щения поверхностей, рис. 7.3. Рис. 7.3. Схема расположения поверхностей смазывающего слоя Движение считаем установившимся. Ось х системы координат распо- ложим коллинеарно вектору скорости первой поверхности. Тогда u = u 1x , u 1y = 0. Проекции скорости второй поверхности на оси х и y в общем слу- чае отличны от нуля, u 2x 0, u 2y 0. Так как по предположению толщина слоя все время остается малой, то отношение u 2y /u 1x также является малой величиной. Поэтому для проекций скорости жидкости в любой точке слоя y x u u . Кроме того, вследствие малости h, производные скорости жидко- u 1x h u 2x u 2y x y z 107 сти по оси y значительно превосходят производные по оси х для любой компоненты. То есть 2 2 2 2 2 2 , , , i i i i i i u u u u u u i x y z y x z y x z (7.26) На основании этих рассуждений можем пренебречь в уравнениях На- вье-Стокса не только инерционными / , / , / , , i i i u x u y u z i x y z * , но и вязкими членами, содержащими производные по х и z. Так как движе- ние считаем пространственным, в уравнении неразрывности должны быть сохранены все три члена. Тогда уравнения движения жидкости в щели примут вид 2 2 2 2 ; 0; x z u p p p u x y z y y ; (7.27) 0. y x z u u u x y z (7.28) Из системы (7.27), (7.28) сразу может быть найдено распределение ско- рости по толщине слоя. Поскольку, в соответствии со вторым уравнением (7.27) давление по толщине слоя постоянно, то первое и третье уравнения могут быть проинтегрированы по этой координате. Так как эти уравнения по форме одинаковы, то решение запишем для первого из них 2 1 2 1 2 x p u y C y C x (7.29) Константы интегрирования находятся из граничных условий. Рассмотрим, например, частный случай, когда границы щели непод- вижны. Тогда граничные условия имеют вид 0 при 0 и x u y y h . Под- ставляя граничные условия в (7.29) находим 1 2 , 0. 2 h p C C x (7.30) Закон распределения скорости для данного случая принимает вид 1 2 x p u y y h x (7.31) Плоский клиновидный слой смазки. Рассмотрим плоское движение жидкости в клиновидном зазоре, рис.7.4. * Конвективные члены исчезают вследствие малости производных либо скоростей, так как они представляют собой произведение этих величин. 108 Рис. 7.4. Схема движения жидкости в клиновом слое Пусть нижняя пластина клина движется с постоянной скоростью u 0 в направлении отрицательной оси х. Пространство слева и справа от верхнего клина считаем запол- ненным жидкостью, находящимся под одинаковым давлением p 0 . Распределение ско- рости в слое смазки описывается соотношением (7.29). Найдем постоянные интегриро- вания для наших граничных условий 0 при 0 x u u y и 0 при x u y h : 0 1 2 0 , 2 u h p C C u h x (7.32) Подставляя (7.32) в (7.29), получаем 0 1 1 2 x p y u y y h u x h (7.33) Распределение давления по длине слоя p(x) найдем с использованием уравнения неразрывности следующим образом. Проинтегрируем уравнение неразрывности по y 0 d 0 h y x u u y x y (7.34) Интеграл равен нулю, так как подынтегральная функция равна нулю. Граничные условия для y u и давления имеют вид: 0 при 0 и y u y y h ; p = p 0 при x = 0 и x = l. (7.35) С учетом граничных условий 0 0 d 0 h h y y u y u y . Тогда (7.34) запишется в виде 0 0 d 0 или d 0 h h x x u y u y x x (7.36) Подставив в (7.36) (7.33) и выполнив интегрирование, получим 3 0 0 12 2 u h h p x x (7.37) Из (7.37) следует, что выражение в скобках не зависит от х. Так как это выражение не зависит и от y, то оно является константой. С учетом этого замечания, запишем (7.37) в виде 3 0 0 0 3 или 6 12 2 2 u h u h h p p h h u x x h (7.38) 109 Постоянная интегрирования h имеет смысл толщины слоя, при которой / 0 p x , то есть давление достигает экстремальной величины. Можно показать, что это макси- мум. Для удобства интегрирования уравнения (7.38) перейдем в производной от пере- менной х к переменной h. Толщина зазора зависит от продольной координаты следую- щим образом (см. рис.7.4) 1 0 0 0 1 h h x h h x h k l l , (7.39) где 1 0 0 / k h h h - геометрический параметр клиновидности зазора. С учетом (7.39) можем записать 0 h p p h p k x h x l h (7.40) С учетом (7.40) уравнение (7.38) примет вид 0 2 3 0 6 1 u l p h h kh h h (7.41) Интегрируя, подучим 0 0 2 0 6 1 2 u l h p C kh h h (7.42) Для определения постоянных 0 и h C используем граничные условия (7.35). После преобразований получаем 0 0 0 0 2 0 6 1 1 2 , 2 2 u l k h h C p k k kh (7.43) Теперь закон распределения давления по длине зазора выразится формулой 2 0 0 2 2 0 6 1 1 2 2 u l l k l p p l kx k k kh l kx (7.44) График распределения давления по длине зазора в относительных координатах 0 0 2 0 6 / / u l p p p f x l kh показан на рис. 7.5 для k = 1,2. Рис. 7.5. Распределение давления по длине смазочного зазора Максимум давления достигается в точке / 2 x l k , что соответствует толщине зазора h 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 x/l p x 110 Вычислим силы давления Р и трения F , действующие в зазоре и приходящиеся на единицу его ширины. Сила Р найдется, как интеграл от избыточного давления: 2 0 0 2 2 0 0 6 2 d ln 1 2 l u l k P p p x k k k h (7.45) Как видим, сила давления обратно пропорциональна квадрату толщины зазора. По- этому при возрастании прижимающей нагрузки клина сила давления возрастает при уменьшении зазора до момента компенсации нагрузки. Тем самым предотвращается выдавливание смазочного слоя из зазора. Для отыскания силы трения вычислим касательное вязкостное напряжение, исполь- зуя распределение скорости (7.33) 0 0 0 2 x y u u h p y h x (7.46) Подставив в (7.46) выражение для h из (7.39) и / p x из (7.38), окончательно полу- чим 2 0 0 2 0 6 1 4 2 k u l l h l kx k l kx (7.47) С учетом (7.47) сила трения найдется, как 0 0 0 0 4 6 d ln 1 2 l u l F x k h k k (7.48) Например, при k = 1,2, соответствующей максимуму силы давления 0 0 0,75 u l F h Рассмотрим распределение скорости в зазоре (7.33) с учетом данных по распреде- лению давления р(х). При x x , где / 0 p x , возможно такое сочетание парамет- ров, при котором 0 x u . То есть в верхней части зазора смазка движется противопо- ложно пластине, рис. 7.6. Рис. 7.6. Образование отрыва и обратного течения в смазочном слое На участке / 2 l x x l k , где градиент давления отрицательный, жидкость в нижних слоях движется в сторону возрастания давления, преодолевая при этом и со- противление трения. То есть двигаться в направлении движения нижней пластины мо- гут только частицы смазки, имеющие достаточный запас кинетической энергии. В верхних слоях, где абсолютная величина скорости мала и, следовательно, запаса ее ки- нетической энергии становится недостаточно, жидкость начинает двигаться в сторону u 0 E 1 C E D 111 падения давления, образуя возвратное течение, сопровождающееся отрывом основного потока от твердой поверхности. Сечение отрыва найдем из условия 0 x y h u y (7.49) Подставим в (7.49) профиль скорости (7.33) и преобразуем получившееся выраже- ние к виду отр 0 отр 0 2 h u p h x (7.50) Учитывая (7.38), из (7.50) найдем отр отр 3 2 1 или 2 2 k h h x l k k (7.51) Из (7.51) следует, что отр x l только при отрицательном параметре клиновидности k < 0. 7.3. Контрольные вопросы 1. Какой вид имеет профиль скорости в поперечном сечении канала в течении Пуазейля? 2. Какой зависимостью связан расход жидкости с перепадом давлений в течении Пуазейля? 3. Какой вид имеет профиль скорости в поперечном сечении потока в течении Куэтта? 4. Какой вид имеет профиль скорости в поперечном сечении тонкого плоского зазора переменной высоты при течении с перепадом давления? 5. Какой вид имеет распределение давления по длине плоского клино- видного слоя смазки? 6. Как связана сила давления в смазочном зазоре с его толщиной? |