Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 6. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ПОДОБИЯ И РАЗМЕРНОСТЕЙ В технических приложениях зачастую приходится сталкиваться с си- туацией, когда исследование рабочих процессов на натурном объекте ока- зывается невозможным из-за больших материальных затрат или времени, потребного для выполнения испытаний. В этом случае испытания на на- турном объекте заменяют исследованиями на моделях. Необходимость мо- делирования возникает также, когда требуемый результат не может быть получен теоретическим путем. При этом встает вопрос, как правильно смоделировать процесс и каким образом представить полученные резуль- таты, чтобы они обладали общностью, а не только отражали результаты конкретных модельных исследований. Ответ на него дает теория подобия - учение о подобии явлений. 6.1. Основные положения теории подобия Термин подобие заимствован из геометрии. Как известно, геометриче- ски подобные фигуры, например треугольники, обладают тем свойством, что их соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорцио- нальны: (1) (1) (1) 1 2 1 2 1 2 3 1 2 1 1 2 2 3 3 (2) (2) (2) 1 2 3 ; ; ; l l l l c l l l , (6.1) где 1 2 , , 1,3 i i i соответственные углы первого и второго треугольни- ка; (1) (2) , , 1,3 i i l l i длины сходственных сторон первого и второго подоб- ных треугольников; с l – константа геометрического подобия. В условие подобия (6.1) входят как безразмерные (углы), так и размер- ные (длины сторон) величины. Однако, если представить длины сторон в относительных единицах (1) (1) 0 (1) (1) 0 1 1 1 1 2 2 / , / , l l l l l l (2) (2) 0 2 2 2 / l l l и т. д., вы- брав в качестве масштабов каждой фигуры сходственные величины, на- пример длину первой стороны 0 (1) 1 1 l l , 0 (2) 2 1 l l , то условие подобия будет содержать только безразмерные величины и заключаться в равенстве соот- ветственных углов и сходственных размеров фигур. Действительно 1 2 , i 1,3; i i 2 1 1 (1) (2) (2) (1) (1) (2) 2 2 2 1 1 2 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1, , l l l l c l l l l l l l l l c l . (6.2) Условия подобия могут быть распространены на любые физические яв- ления, например, на поле скоростей при движении двух потоков жидкости кинематическое подобие, на поле сил, вызывающих это движение ди- намическое подобие, на поле температур и тепловых потоков тепловое подобие и т. д. И в общем случае подобие двух явлений означает подобие 92 полей одноименных физических величин * , определяющих эти явления. При этом сравнивать физические величины, описывающие подобные процессы, следует только в сходственных точках пространства и в сходственные мо- менты времени. Сходственные точки пространства двух подобных про- цессов имеют одинаковые численные значения координат, выраженные в относительных единицах. Аналогично, сходственные моменты времени, выраженные в относительных единицах, одинаковы. Поля физических величин, определяющих какой-либо физический про- цесс, можно рассматривать, как решение дифференциальных уравнений, описывающих его. Но если в подобных процессах безразмерные значения однородных параметров в сходственных точках одинаковы, то и сами уравнения, будучи представленными в относительном виде, должны быть одинаковы. Более того, должны быть одинаковыми безразмерные условия однозначности (граничные и начальные условия). Очевидно, что эти усло- вия одинаковости накладывают ограничения на выбор масштабов физиче- ских параметров, описывающих анализируемый процесс. Рассмотрим бо- лее подробно данные ограничения на примере гидродинамического подо- бия. Подобие гидродинамических процессов. Как известно, динамика процессов движения вязкой несжимаемой жидкости описывается уравне- ниями Навье-Стокса (4.21)…(4.23). Преобразуем их к безразмерному ви- ду ** , для чего выберем масштабы физических параметров 0 0 0 0 0 , , , , L u t p f и перейдем к относительным переменным: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , , , , , , , , y x z x y z u u x y z u p f t x y z u u u p f t L L L u u u p f t . (6.3) Выразив из (6.3) размерные переменные через безразмерные и масшта- бы, подставим их в уравнение (4.21): 2 0 0 0 0 0 x x x x x y z x u u u u u u u u u f f t x y z t L 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 x x x u u u p p u x L x y z L (6.4) Уравнение (6.4) еще не является безразмерным, так как перед каждым членом стоит размерный комплекс, составленный из масштабов перемен- ных и констант (в данном случае и ) задачи. Для приведения к безраз- * То есть равенство однородных физических величин, выраженных в относитель- ном (безразмерном) виде. ** Проделаем эту операцию, в качестве примера, только для первого уравнения, то есть для проекции уравнения на ось х. 93 мерному виду поделим обе части уравнения на коэффициент при конвек- тивном члене 2 0 0 / u L : 0 0 0 0 0 2 0 x x x x x y z x u u u u L f L u u u f t x y z u t u 2 2 2 0 2 0 0 2 2 2 0 x x x u u u p p x u L x y z u (6.5) Здесь все члены уравнения уже безразмерны, включая и комплексы, стоящие перед соответствующими членами уравнения (6.5). Эти комплек- сы называют числами подобия. Числам подобия принято присваивать име- на собственные по фамилиям выдающихся ученых, внесших существен- ный вклад в данную отрасль знаний. Числа подобия, сформированные при анализе уравнения движения, называются: число Фруда 2 0 0 0 Fr u f L ; (6.6) число Эйлера 0 2 0 Eu p u ; (6.7) число Рейнольдса 0 0 Re u L ; (6.8) число Струхаля (гомохронности) * 0 0 0 Sh L u t (6.9) Таким образом, два гидродинамических процесса будут подобными, а описывающие их уравнения, представленные в относительных перемен- ных, будут одинаковыми, если будут одинаковыми соответствующие числа подобия, то есть: Fr idem; Eu idem; Re idem; Sh idem (6.10) * Число Струхаля, характеризующее нестационарность течения, обычно использу- ется для описания периодических процессов. В этом случае оно записывается в виде 1 Sh u l , где - характерная частота изменения параметров течения. Для описания непериодических процессов многими авторами применяется число 0 0 0 Ho 1/ Sh / u t L , называемое числом гомохронности. 94 Обратимся к условиям однозначности задачи. Пусть мы рассматриваем стационарное течение несжимаемой жидкости в канале и во входном его сечении задана величина расхода с равномерным распределением скоро- сти. Тогда краевое условие в начальном сечении может быть записано в виде 2 вх вх вх вх вх вх Re Re ; Fr Fr u d u gd (6.11) Здесь в качестве масштабов физических переменных задачи приняты: 0 вх u u скорость в начальном сечении канала в качестве масштаба ско- рости; 0 вх L d диаметр канала в его начальном сечении в качестве мас- штаба линейного размера области течения; 0 f g ускорение свободного падения в качестве масштаба объемной силы. Как видим числа Рейнольдса и Фруда могут быть заданы исходя из краевых условий и, сформированные таким образом, однозначно определяют решение задачи для остальной об- ласти течения. Поэтому данные числа называются определяющими или критериями подобия. При описанных выше краевых условиях перепад давлений р между входом и выходом канала является зависимой пере- менной, то есть находятся из решения уравнений. Поэтому, если число Эй- лера определить, как 2 вх Eu / ( ) p u , то равенство этих чисел в двух про- цессах будет обеспечено автоматически. Следовательно, число Eu в дан- ном случае не является определяющим числом подобия. Таким образом, равенство критериев подобия автоматически обеспечивает и равенство со- ответствующих чисел подобия при надлежащем выборе масштабов пере- менных задачи. Краевые условия на боковых стенках канала задаются в виде условия «прилипания» жидкости ст 0 u . Использовать данное краевое условие для формирования определяющего числа подобия (задав, например, Re 0 ) нельзя, так как будут обнулены соответствующие члены уравнения (6.5), и решение задачи становится невозможным. Таким образом, в рассмотренной задаче определяющим, то есть крите- риями подобия являются только числа Re и Fr, определенные из краевого условия во входном сечении канала. Задание этих чисел по соотношению (6.11) обеспечит подобие процессов при моделировании. Заметим, что в зависимости от постановки задачи определяющие числа могут становиться неопределяющими и наоборот * Таким образом, обобщая изложенное выше, можем сказать: * Например, если в качестве краевых условий задан не расход, а перепад давлений на концах канала, то определяющим будет число Эйлера, а число Рейнольдса будет следовать из решения задачи. 95 1. Подобными могут быть физические явления только качественно одинаковые, то есть такие, которые описываются уравнениями, одинако- выми как по форме, так и по содержанию. Если же математическое описание каких-либо двух явлений одинаково по форме, но различно по физическому содержанию, то такие явления на- зываются аналогичными. Аналогичными могут быть, например, процессы теплопроводности, электропроводности и диффузии. 2. Обязательным условием подобия физических процессов является геометрическое подобие. 3. При анализе подобных явлений сопоставлять между собой можно только однородные * величины и лишь в сходственных точках пространст- ва и в сходственные моменты времени. 4. Подобие двух физических явлений означает подобие всех величин, характеризующих рассматриваемые явления. Это значит, что в сходствен- ных точках пространства и в сходственные моменты времени любая вели- чина (1) первого явления пропорциональна однородной с ней величине (2) второго явления, то есть (2) (1) (2) (1) или c (6.12) Коэффициент пропорциональности c называется константой (посто- янной) подобия. При этом каждая физическая величина имеет свою по- стоянную подобия c , численно отличную от других. Ни от координат, ни от времени c не зависит. В качестве масштаба 0 физической величины в каждом из сравнивае- мых явлений следует выбирать анализируемые физические величины в сходственных точках пространства в сходственные моменты времени. Основные положения теории подобия можно сформулировать в виде трех теорем. Первая теорема подобия. Подобные между собой процессы имеют одинаковые числа подобия. Вторая теорема подобия. Зависимость между переменными, харак- теризующими какой-либо процесс, может быть представлена в виде за- висимости между числами подобия 1 2 , , ..., n K K K : 1 2 , , ..., 0 n f K K K (6.13) Зависимость вида (6.13) называется уравнением подобия. Так как для всех подобных между собой процессов числа подобия сохраняют одно и то же значение, то уравнения подобия для них также одинаковы. Следова- тельно, представляя результаты какого-либо опыта в числах подобия, мы * Однородными называются такие величины, которые имеют один и тот же физиче- ский смысл и одинаковую размерность. 96 получим обобщенную зависимость, которая справедлива для всех подоб- ных между собой процессов. Третья теорема подобия. Подобны те процессы, условия однозначно- сти которых подобны, а числа подобия, составленные из величин, входя- щих в условия однозначности, имеют одинаковое численное значение. Итак, теория подобия позволяет, не интегрируя дифференциальных уравнений, получить из них числа подобия и, используя опытные данные, установить уравнения подобия, которые справедливы, для всех подобных между собой процессов. Однако необходимо помнить, что такие обобщенные зависимости огра- ничены условиями подобия, и из них нельзя делать заключения, выходя- щие за пределы этих ограничений. Общего решения теория подобия не да- ет, она позволяет лишь обобщить опытные данные. При практическом моделировании полное подобие удается выполнить не всегда. Рассмотрим, например, условия подобия (6.11). Для выполнения гидродинамического подобия двух потоков необходимо выполнение ра- венства чисел Re и Fr. Из условия Fr 1 = Fr 2 следует 2 2 вх1 вх2 вх2 вх2 вх1 вх2 вх1 вх1 или u u u d gd gd u d , (6.14) то есть масштаб скорости пропорционален корню из масштаба линейного размера. Или скорость в модели вх2 u должна быть меньше скорости в на- туре вх1 u в вх2 вх1 / d d раз. С другой стороны из условия Re 1 = Re 2 получаем вх1 вх1 вх2 вх2 вх2 2 вх1 1 2 вх1 1 вх2 или u d u d u d u d (6.15) Из (6.15) вытекает, что если моделирование производится на одной и той же жидкости 1 2 , то скорость в модели должна быть меньше ско- рости в натуре в вх2 вх1 / d d раз. Как видим, выполнение одновременно двух условий (6.11) невозможно. В этом случае проводится дополнительный анализ и выявляется преобла- дающее влияние того или иного критерия подобия на результат моделиро- вания. Практикой исследований установлено, что течения со свободной поверхностью в поле силы тяжести формируются, в основном, под влияни- ем этой силы и здесь моделирование должно выполняться по критерию Фруда. При течениях в закрытых каналах, без образования свободной по- верхности, определяющим является критерий Рейнольдса. Для выявления степени влияния критерия подобия на результат моде- лирования полезно представлять их физический смысл. Выясним этот смысл для чисел Fr, Eu, Re, Sh . Они получены путем деления коэффициен- 97 тов при отдельных членах уравнения, которые представляют собой отне- сенные к единице массы силы различной природы, на коэффициент при конвективной силе инерции. Вспоминая физический смысл членов уравне- ния Навье-Стокса, приходим к следующему выводу. Число Фруда 2 0 0 Fr / u gL характеризует отношение силы инерции к силе тяжести; число 0 0 Re / u L отношение сил инерции к силе вязкости; число 2 0 0 Eu / p u отношение силы давления к силе инерции; число 0 0 0 Sh / L u t отношение локальной силы инерции к конвективной. Эти результаты еще раз подтверждают то, что рассматриваемые числа подобия являются числами динамического подобия, так как все они представляют собой отношение различных сил. 6.2. Основные положения теории анализа размерностей Иногда изучаемое явление настолько сложно, что для него невозможно составить полную систему уравнений. В этом случае общий вид условий подобия может быть найден при помощи метода анализа размерностей. Рассмотрим основные понятия данной теории. Размерными называются величины, численные значения которых зави- сят от системы единиц измерения. Примеры размерных величин: длина, время, энергия, момент силы и т. д. Безразмерными называются величины, численные значения которых не зависят от системы единиц измерения. Примеры безразмерных величин: отношение двух длин, геометрические углы * , отношение квадрата длины к площади, отношение энергии к моменту силы и т. д. Единицы измерения бывают основными и производными. Производные единицы выражаются определенным образом через основные. Именно на- личие производных единиц позволяет компоновать безразмерные ком- плексы числа подобия. Количество и вид основных единиц зависит от системы единиц измерения. В системе СИ за основные единицы измерения приняты: l метр, t – секунда, m - килограмм-массы, k – градус Кельвина и т. д. Размерностью называется выражение производной единицы измерения через основные. Размерность будем записывать символически в виде фор- мулы, в которой символ единицы массы обозначается М, символ единицы длины – L, символ единицы времени – Т, символ единицы температуры – K. Размерность физической величины обозначается символом этой вели- * Фактически углы имеют размерность – рад, градус. Однако в научных и техниче- ских исследованиях принято измерять углы в рад, поэтому можно считать угол безраз- мерной величиной. 98 чины, заключенным в квадратные скобки. Например, для размерности си- лы F будем иметь 2 F MLT (6.16) Теория размерностей основывается на следующих положениях. 1. Любое математическое уравнение, описывающее изучаемый процесс, должно быть однородным по размерностям, то есть физические величины должны входить в это уравнение таким образом, чтобы все члены уравне- ния имели одинаковую размерность. 2. Производные единицы измерения выражаются через основные в виде их произведения в соответствующих степенях, то есть в виде зависимости типа (6.16). В теории размерностей доказывается следующая теорема, которая на- зывается -теоремой и звучит следующим образом. Выражающая неко- торый физический закон функциональная связь между n k s размер- ными величинами , , ,..., , , , ,..., f l t m q v a h w , из которых k величин имеют независимые размерности , , ,... l t m , может быть представлена в виде свя- зи между n k s безразмерными комплексами , ,..., q v w , каждый из которых является комбинацией из 1 k размерных величин. Рассмотрим основные рекомендации по применению -теоремы при анализе задач механики жидкости и газа. Первым этапом анализа является составление полного перечня пара- метров, определяющих исследуемый процесс. Это одна из наиболее слож- ных составляющих анализа. Задача облегчается, если известно математи- ческое описание процесса, хотя бы в самом общем виде. Однако в ряде случаев приходится руководствоваться просто общими физическими сооб- ражениями о сути исследуемого явления, использовать опыт анализа раз- мерностей аналогичных задач. В общем случае размерные физические величины, определяющие про- цесс, можно подразделить на три группы: геометрические параметры, характеризующие размеры и форму об- ласти течения – l 1 , l 2 , l 3 ,…; кинематические, динамические и энергетические характеристики по- тока, например, скорость u (или расход Q), давление р или перепад давле- ний р (или градиент давления d p/d t), касательное напряжение , сила со- противления F c , объемная сила (ускорение свободного падения g); тепло- вой поток q (или коэффициент теплоотдачи ), температура (разность температур ) и т. д.; физические характеристики свойств жидкости и газа, например, плотность , коэффициент динамической вязкости , модуль упругости Е, коэффициент поверхностного натяжения , удельная теплоемкость с р , ко- эффициент теплопроводности и т. д. 99 В результате определяется количество существенных для процесса фи- зических величин n. Приведенный выше перечень является не обязатель- ным и не полным. В каждой конкретной задаче он должен формироваться на основании анализа физической сути исследуемого процесса. Число основных размерностей в задачах механики жидкости и газа принимается равным трем (размерности длины, массы, времени). Если ис- следуются тепловые характеристики течения, то добавляется четвертая размерность Кельвин. Таким образом, k = 3 или k = 4. В соответствии с этим, за величины с независимыми размерностями обычно принимаются, например, характерная длина l 1 , скорость u, плотность , температура Определяется количество безразмерных комплексов s n k Базируясь на каждой из «оставшихся» s переменных задачи с зависи- мыми размерностями, формируют безразмерные комплексы i (i = 1…s). Например, на базе величины коэффициента динамической вязкости получаем ком- плекс 1 a b c d l u (6.17) Входящие в выражения типа (6.17) показатели степени , , , a b c d определяются из условия нулевой размерности у всего комплекса i . Например, для комплекса имеем 1 1 1 3 ; ; ; ; ML T l L u LT ML K (6.18) С учетом (6.18) условие нулевой размерности комплекса примет вид 1 1 1 3 0 0 0 0 b c a d ML T L LT ML K L T M K (6.19) Приводя в левой части (6.19) подобные члены и приравнивая степени при одинако- вых сомножителях в левой и правой частях, получим следующую систему уравнений 1 3 0; 1 0; 1 0; 0. a b c b c d (6.20) Отсюда получаем: 1; 1; 1; 0 a b c d . Тогда безразмерный комплекс примет вид 1 l u (6.21) Аналогично получаются выражения для других безразмерных комплексов, напри- мер, 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 , , , , , , l p t g l p tu l g E l l u u u l u u (6.22) Безразмерные комплексы типа 2 l , очевидно, выражают безразмерную геометрию области течения. Анализируя выражения для других комплексов, замечаем, что есть величина обратная числу Рейнольдса, g – обратная числу Фруда, t – обратная числу 100 Струхаля, р – это число Эйлера. Параметр выражает в безразмерном виде напряже- ния вязкого трения; величина 2 f C в гидрогазодинамике называется коэффициен- том трения. Величины, обратные параметрам и называются числами Вебера We и Коши Ca соответственно, они характеризуют действие на жидкость сил поверхностного натяжения и упругости (сжимаемости). Перечисленные числа являются основными числами гидродинамического подобия. Таким образом, рассматривая, например, гидродинамическую задачу мы можем сказать, что между параметрами потока существует функцио- нальная связь, которая в обобщенном (безразмерном) виде может быть представлена следующим образом 1 / , Eu, , Fr, Re, We,Ca,Sh 0 i f l l C (6.23) Любой из безразмерных параметров в (6.23) может рассматриваться, как зависимый, а остальные, как аргументы. Чаще всего искомыми пара- метрами являются , Eu f C Метод анализа размерностей не позволяет установить вид самой зави- симости (6.23), однако часто знание даже только перечня безразмерных параметров, определяющих протекание процесса, и их вида весьма полезно для теоретического анализа и для рациональной постановки эксперимента. Впрочем, в некоторых частных случаях теория анализа размерностей позволяет установить и вид функциональной связи между параметрами те- чения. Рассмотрим, например, течение жидкости через водослив, рис. 6.1. Рис. 6.1. Течение жидкости через водослив Анализируя физическую картину процесса, можно сказать, что массо- вый расход жидкости G при фиксированной форме лотка будет опреде- ляться плотностью жидкости , ускорением свободного падения g, высо- той слоя (напором) жидкости h. , , G f g h (6.24) Имеем четыре независимых между собой размерных параметра. Основ- ных размерностей в данной задаче три: кг, с, м. Следовательно, можем сформировать только один безразмерный комплекс, величина которого не зависит от принятой системы единиц и, следовательно, является констан- той. Таким образом, можем записать h b 101 1/ 2 5 / 2 G C g h (6.25) Отсюда с точностью до константы С находим вид функции для расчета расхода жидкости при ее течении через водослив 5 G C gh (6.26) Величина константы С может быть определена из эксперимента. 6.3. Контрольные вопросы 1. Дайте определение сходственных точек пространства и сходствен- ных моментов времени. 2. Дайте определение подобия полей физических величин. 3. Поясните понятия числа подобия и критерия подобия. 4. Перечислите основные числа гидродинамического подобия и пояс- ните их физический смысл. 5. Сформулируйте основные теоремы теории подобия. 6. Укажите основные положения теории анализа размерностей. 7. Сформулируйте -теорему теории размерностей. |