Гидравлический пресс. Механика жидкости и газа
 Скачать 5.98 Mb.
|
|
ГЛАВА 3. НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ ЖИДКОСТЕЙ И ГАЗОВ 3.1. Силы, действующие в жидкости и газе Жидкости газы всегда подвержены действию некоторых сил. Вследст- вие текучести этих сред силы являются распределенными, то есть дейст- вующим во всех точках поверхности или объема. В зависимости от области приложения силы делятся на внешние и внутренние. Внешние силы приложены к выделенному объему со стороны внешней среды, внутренние – возникают в пределах рассматриваемого объема. По характеру воздействия силы классифицируются на поверхно- стные и объемные. К поверхностным силам относятся силы внутреннего трения и силы давления. Они действуют лишь на поверхность выделенного объема и обу- словлены действием соседних частиц жидкости или твердых тел, соприка- сающихся с рассматриваемым объемом. По третьему закону Ньютона вы- деленный объем жидкости действует на соприкасающиеся с ним тела с та- кой же силой. К объемным силам относятся силы тяжести, инерции и элек- тромагнитные. Они пропорциональны массе выделенного элемента объема и действуют на все частицы жидкости в этом объеме. В механике жидкости и газа рассматривают единичные силы, то есть силы, отнесенные к единице площади поверхности или массы, и называют напряжением поверхностных сил и плотностью объемных сил соответст- венно. Вектор напряжения поверхностных сил в точке поверхности с внешней нормалью n определяется, как 0 lim n S S P p , (3.1) где S – элемент площади в рассматриваемой точке поверхности; P – внешняя поверхностная сила, приложенная к данной площадке. Как видно из (3.1), размерность n p есть размерность давления; в сис- теме СИ – Па = Н/м 2 Рассмотрим более подробно структуру поверхностных сил и схему их обозначений. Пусть имеется элемент площади S с внешней нормалью n . К ней приложен вектор напряжения поверхностных сил n p , рис. 3.1. Рис. 3.1. Схема поверхностных сил, действующих на площадку с нормалью n p n p n p nn n p n n n S 39 Данный вектор в общем случае содержит нормальную p nn и касатель- ную p n компоненты: n n nn p p p τ n , (3.2) где τ единичный вектор касательной к рассматриваемой площадке. p nn называется нормальным напряжением к площадке S, p n – каса- тельным напряжением. Первый индекс указывает ориентацию площадки, то есть ее нормаль, второй – ось, на которую проектируется вектор напря- жений. Напряжение n p принято считать положительным, если оно является внешним по отношению к рассматриваемому объему жидкости, то есть приложено к внешней стороне поверхности объема, ограниченного этой поверхностью. Напомним, что сторона элемента поверхности считается внешней, если вектор нормали к ней направлен наружу объема. Если рас- смотреть внутреннюю сторону той же самой поверхности, то вектор нор- мали к ней будет направлен противоположно n, то есть будет равен – n, см. рис. 3.1. Напряжение, действующее с данной (внутренней) стороны по- верхности, следует обозначить n p . Так как рассматриваемая площадка, по условию задачи, находится в равновесии, то в соответствии с принципом равенства действия и противодействия, имеет место соотношение n n p p (3.3) Рассмотрим теперь объемные силы. Плотность их распределения опре- деляется, как 0 lim W W F f , (3.4) где f вектор плотности распределения объемной силы; F объемная сила, действующая на элементарный объем W ; средняя плотность среды в элементарном объеме. Как следует из (3.4), размерность f есть размерность ускорения; в сис- теме СИ – м/с 2 . Проекции вектора плотности объемной силы f обозначают- ся , , x y z f f f Главное различие между объемными и поверхностными силами заклю- чается в том, что вектор f является однозначной функцией точки про- странства и времени , t f r , то есть образует векторное поле. Вели- чина же вектора поверхностной силы n p в данной точке зависит от ори- ентации площадки рассматриваемой поверхности в пространстве. То есть, если в данной точке выделить одинаковые по площади, но различные по ориентации в пространстве площадки, то величины поверхностных сил, приложенных к этим площадкам, будут различаться. Для произвольной точки пространства и произвольного момента времени , , n f t p r n Рассмотрим более подробно свойства напряжений поверхностных сил. 40 3.2. Свойства напряжений поверхностных сил Выделим в движущейся среде элемент объема в форме тетраэдра, три грани которого лежат в координатных плоскостях, рис. 3.2. Рис. 3.2. Схема действия напряжений поверхностных сил Векторы напряжений внешних поверхностных сил, приложенные к граням данного объема, направлены произвольно, так как в общем случае их направление не совпадает ни с нормальным, ни с касательным направ- лениями к рассматриваемой грани. Векторы внешних нормалей к элемен- там площади S x , S y , S z равны – i, j, k соответственно, так как на- правлены противоположно единичным векторам координатных осей. По- этому напряжения, приложенные к данным площадкам, обозначены , , , x y z p p p см. рис. 3.2. Применим второй закон Ньютона к выделенному объему. При этом уч- тем, что в соответствии с (3.3) , x x p p , y y z z p p p p . Тогда уравнение движения рассматриваемого тетраэдра можем записать в виде d d n n x x y y z z W W S S S S t u f p p p p , (3.5) где W – объем выделенного тетраэдра; плотность среды, заключенной в нем; u - вектор скорости центра масс тетраэдра; f вектор плотности объемных сил, действующих на выделенный объем. Разделим обе части уравнения (3.5) на S n и учтем, что cos , , cos , , cos , y x z x y z n n n S S S n n n S S S n i n j n k , (3.6) где n x , n y , n z – проекции вектора нормали n на оси координат x, y, z соответ- ственно. В результате получим d cos , cos , cos , d n x y z n W S t u F p p n i p n j p n k . (3.7) 41 Устремим объем тетраэдра к нулю, стягивая его в точку к началу коор- динат. Так как объем тетраэдра при стремлении к нулю его линейных раз- меров является бесконечно малой величиной более высокого порядка, чем площадь грани, то 0 lim 0 W n W S (3.8) В результате получаем следующее уравнение, связывающее напряже- ния поверхностных сил, действующих на выделенный объем, cos , cos , cos , n x y z p p n i p n j p n k (3.9) Или n x x y y z z n n n p p p p (3.10) Проектируя (3.10) на оси координат, получим ; ; nx xx x yx y zx z ny xy x yy y zy z nz xz x yz y zz z p p n p n p n p p n p n p n p p n p n p n (3.11) Первый индекс в обозначении проекций напряжений в уравнениях (3.11) означает площадку, в которой действует рассматриваемое напряже- ние, второй индекс – ось, на которую данное напряжение проектируется. Например, р хх – проекция на ось х, напряжения x p , приложенного к пло- щадке, перпендикулярной оси х; р zy – проекция на ось y, напряжения z p , приложенного к площадке, перпендикулярной оси z. Следовательно р хх , р yy , р zz это нормальные напряжения, а р ху , р zy , р zx и т. д. – касательные напря- жения, действующие в соответствующих площадках. Таким образом, напряжение на любой площадке S n может быть выра- жено через касательные и нормальные напряжения на трех взаимно орто- гональных координатных площадках, то есть через совокупность девяти величин типа p s k , которые образуют тензор второго ранга р, называемый тензором напряжений xx xy xz yx yy yz zx zy zz p p p p p p p p p p (3.12) Следовательно, напряжение в движущейся точке жидкости является тензорной величиной. Таким образом, поверхностные силы образуют тензорное поле в отли- чие от объемных сил, которые образуют векторное поле. Из механики известно свойство взаимности касательных напряжений, в соответствии с которым [2] ; ; xy yx yz zy xz zx p p p p p p (3.13) 42 Таким образом, напряженное состояние жидкости в точке определяется шестью независимыми скалярными величинам, три из которых нормаль- ные напряжения, а три другие – касательные. В реальных жидкостях нормальные напряжения могут создаваться как за счет давления одних частиц жидкости на другие, так и за счет действия сил вязкости. Касательные напряжения возникают при движении жидкости за счет ее вязкости и не зависят от давления * Рассмотрим более подробно тензор напряжений для идеальной жидко- сти. В этом случае все касательные напряжения равны нулю. То есть (3.11) в этом случае принимают вид ; ; nx xx x ny yy y nz zz z p p n p p n p p n (3.14) Так как касательные напряжения равны нулю, то действующие напря- жения направлены по нормалям к соответствующим площадкам. В частно- сти линия действия вектора p n совпадает с линией нормали n. Обозначив модуль этого вектора через р n , можем записать cos , cos , cos , n n n n p p p p n i i n j j n k k n x n y n z p n p n p n i j k (3.15) Поэтому для проекций этого вектора имеем следующие выражения ; ; nx n x ny n y nz n z p p n p p n p p n (3.16) Сопоставляя (3.14) и (3.16), получаем n xx yy zz p p p p (3.17) Отсюда следует теорема о свойствах нормальных напряжений: если в жидкости отсутствуют касательные напряжения, то нормальное на- пряжение в данной точке не зависит от ориентации площадки, к которой оно приложено. Величина n xx yy zz p p p p p (3.18) называется гидродинамическим давлением в идеальной жидкости. Используя введенную величину р, на основании соотношений (3.16) для идеальной жидкости можем записать n p p n . (3.19) Знак минус в уравнении (3.19) показывает, что нормальное напряжение в жидкости всегда направлено противоположно внешней нормали (внутрь выделенного объема) и является сжимающим напряжением. Из соотношений (3.18) следует, что величина давления не зависит от ориентации площадки, то есть является скалярной величиной зависящей только от координат точки и от времени , , , p f x y z t Покажем, что соотношения (3.18) описывают напряженное состояние не только в идеальной жидкости, но также в покоящейся вязкой (реальной) * Если от давления не зависит коэффициент динамической вязкости среды. 43 жидкости. Для этого рассмотрим условия, которым должны удовлетворять поверхностные силы при равновесии жидкости. Представим некоторый объем жидкости W, находящийся в равновесии, рис. 3.3. Рис. 3.3. К определению гидростатического давления Пусть на произвольный элемент площади S поверхности покоящегося объема W действует поверхностная сила р n . Покажем, что данная сила на- правлена по внутренней нормали к рассматриваемой площадке. Действи- тельно, если бы сила р n была направлена не по нормали, то эту силу можно было бы разложить на составляющие: нормальную nn p n и касательную n p τ . Из-за текучести жидкости касательная составляющая привела бы жидкость в движение. Следовательно, для обеспечения равновесия жидко- сти необходимо выполнение условий 0 n p (3.20) Тогда n nn p p n . Но так как капельная покоящаяся жидкость не сопро- тивляется растягивающим напряжениям, то n p должна быть только сжи- мающей. Следовательно, в покоящейся жидкости напряжение поверхност- ных сил всегда направлено по внутренней нормали к площадке действия и является напряжением от действия сил давления, которое в данном случае называется гидростатическим. Таким образом, в покоящейся жидкости касательные напряжения , , xy xz yz p p p равны нулю и, следовательно, справедливо равенство (3.18). В движущейся же реальной (вязкой) среде существует нормальная и касательная составляющие поверхностных сил. 3.3. Обобщенная гипотеза Ньютона о связи вязких напряжений со скоростями деформаций В дальнейшем мы будем рассматривать только ньютоновские изотроп- ные среды * . Для связи компонент тензора напряжений с характеристиками течения современная механика жидкости и газа использует обобщенный закон Ньютона – линейной связи между тензором напряжений р и тензо- ром скоростей деформаций ε , являющийся обобщением закона (1.47): * Физические свойства веществ в изотропной среде одинаковы во всех направлени- ях в пространстве. p n p nn n p n n S W 44 a b p ε E , (3.21) где а, b – скаляры; ε тензор скоростей деформаций, описываемый соот- ношениями (2.41); Е – тензорная единица 0, если , , 1, 2, 3 . 1, если i j i j E i j i j (3.22) Найдем выражения для величин а и b, входящих в формулу (3.21). При этом рассмотрим только несжимаемые жидкости. Соответствующие выра- жения для случая сжимаемой среды можно найти, например, в [1]. Константа а из условия совпадения выражения (3.21) со своим частным случаем (1.47) * , должна быть положена равной а = 2 . Скаляр b может быть линейным образом связан с тензорами р и ε ** , но в силу изотропно- сти среды, только через их линейные инварианты. Линейным инвариантом тензора напряжений является величина xx yy zz p p p (3.23) Линейным инвариантом тензора скоростей деформаций служит сумма div y x z xx yy zz u u u x y z u , (3.24) равная нулю в случае несжимаемой жидкости div 0 u (см. (2.40)). Линей- ный инвариант тензорной единицы равен трем. Чтобы найти скаляр b приравняем линейные инварианты в левой и пра- вой части (3.21). В результате получаем 3 xx yy zz p p p b , (3.25) откуда находим 1 3 xx yy zz b p p p (3.26) Обобщая понятие давления, введенное в динамику идеальной жидко- сти, согласно системе равенств xx yy zz p p p p , примем в качестве до- пущения, что давление в данной точке ньютоновской жидкости определя- ется равенством 1 3 xx yy zz p p p p (3.27) То есть в несжимаемой ньютоновской жидкости за давление в рас- сматриваемой точке принимается взятое с обратным знаком среднее * В простейшем законе трения (1.47) u x = f(y) и, следовательно, 1 2 x yx u y y u x 1 2 x u y , откуда следует равенство 2 a ** При этом исходная предполагаемая линейность (3.21) сохранится. 45 арифметическое трех нормальных напряжений, приложенных к взаимно перпендикулярным площадкам в данной точке среды 1 3 xx yy zz p p p p (3.28) Сделанное допущение является дополнительной гипотезой к обобщен- ному закону Ньютона, так как исходя из общих гидродинамических сооб- ражений нельзя доказать, что данная величина р действительно будет той самой термодинамической характеристикой жидкости или газа, которая, например, для совершенного газа будет связана с другими термодинамиче- ским характеристиками (плотностью и температурой) уравнением состоя- ния Клапейрона-Менделеева. Правильность принятой гипотезы подтвер- ждается практикой ее применения для решения реальных задач. Таким образом, окончательно получим следующее выражение обоб- щенного закона Ньютона 2 p p ε E (3.29) С учетом (2.31)…(2.34), (2.41) в развернутом виде компоненты тензора напряжений для несжимаемой жидкости запишутся следующим образом 2 , 2 , 2 , , , y x z xx yy zz y y x z xy yx yz zy x z xz zx u u u p p p p p p x y z u u u u p p p p y x z y u u p p x z (3.30) Выражения компонент тензора напряжений вязкой сжимаемой жидко- сти имеют более сложный вид. Их вывод можно найти, например, в [2]. 3.4. Контрольные вопросы 1. В чем состоит отличие поверхностных и объемных сил, действую- щих в жидкости. 2. Дайте определение тензора напряжений поверхностных сил, дейст- вующих в жидкости. 3. Дайте определение теоремы о свойствах нормальных напряжений. 4. Укажите свойство, которым удовлетворяют поверхностные силы в покоящейся жидкости. 5. Сформулируйте обобщенную гипотезу Ньютона о связи вязких на- пряжений со скоростями деформаций 6. Каким образом определяется давление в несжимаемой ньютоновской жидкости. |