Практ.раб 4.к надеж.Эмпир.. Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки

• Название: Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки
• Дата: 06.12.2021
• Размер: 378.01 Kb.
• Имя файла: Практ.раб 4.к надеж.Эмпир..docx
• Тип: Лекция; #293612
• страница: 1 из 9

^{Практическая работа 4}

Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки (лекция 4)

Содержание работы: Проверка статистических гипотез включает в себя большой пласт задач математической статистики. Зная некоторые характеристики выборки (или имея просто выборочные данные), мы можем проверять гипотезы о виде распределении случайной величины или ее параметрах (примеры этих задач на странице Проверка гипотез о параметрах распределения).Ниже в примерах разбираются основные учебные задачи на проверку гипотез о виде распределения. Чаще всего для этого используется критерий согласия χ2χ2 Пирсона, а также критерий Колмогорова-Смирнова.

Критерий согласия Пирсона (или критерий χ2χ2 - "хи квадрат") - наиболее часто употребляемый для проверки гипотезы о принадлежности некоторой выборки теоретическому закону распределения (в учебных задачах чаще всего проверяют "нормальность" - распределение по нормальному закону).

В учебных задачах обычно используется следующий алгоритм: Выбор теоретического закона распределения (обычно задан заранее, если не задан - анализируем выборку, например с помощью гистограммы относительных частот, которая имитирует плотность распределения).

1. 
   Оцениваем параметры распределения по выборке (для этого вычисляется математическое ожидание и дисперсия): a,σa,σ для нормального, a,ba,b - для равномерного, λλ - для распределения Пуассона и т.д.
   
2. 
   Вычисляются теоретические значения частот (через теоретические вероятности попадания в интервал) и сравниваются с исходными (выборочными).
   
3. 
   Анализируется значение статистики χ2χ2 и делается вывод о соответствии (или нет) теоретическому закону распределения.
   

Основная задача работы проверить согласованность эмпирического распределения с теоретическим нормальным, применяя критерии и гипотезы:

1.О нормальном распределении

2.О распределении по закону Пуассона

3. О распределении по показательному закону

4.О распределении по равномерному закону

5. По критерию Колмогорова

6. По критерию Колмогорова-Смирнова

7. по критерию Вилкоксона

8.Проверка гипотезы по критерию  ²

1. Проверка согласованности эмпирической функции с теоретическим нормальным распределением

1) Критерий Пирсона

Покажем, как применять данный критерий в двух случаях: а) без объединения интервалов и б) с объединением интервалов, в которые попало менее 5 значений

а) Вычисляем статистику критерия хи-квадрат:



Для уровня значимости α=0.95 и числе степеней свободы l=k-r=8-3=5по Приложению 4, входом к которую является p=1-α=0.05 и K=l=5, находим критическое значение

Условием принятия гипотезы о нормальном распределении является условие , которое выполняется. Гипотезу о соответствии данного распределения нормальному закону распределения принимаем.
б) Подробнее покажем, как вычисляется статистика критерия в случае объединения интервалов, содержащих малое количество эмпирических частот. Исходные данные:

левая граница интеравала	правая граница интеравала	середина xi	ni
-5	0.795	0.78	4
0.795	0.825	0.81	7
0.825	0.855	0.84	7
0.855	0.885	0.87	11
0.885	0.915	0.9	14
0.915	0.945	0.93	1
0.945	0.975	0.96	3
0.975	5	0.99	3

*Примечание. Числа -5 и 5 как левый конец первого и правый конец последнего интервалов взяты вместо -∞ и ∞ соответственно для подсчета вероятности попадания в эти интервалы.

После объединения интервалов, содержащих малочисленные эмпирические частоты получаем

После объединения эмпирических частот	Левая граница интервала	Правая граница интервала	p	npk
11	-5	0.825	0.191	9.563	0.216
7	0.825	0.855	0.183	9.150	0.505
11	0.855	0.885	0.218	10.876	0.001
14	0.885	0.915	0.192	9.597	2.020
7	0.915	5	0.216	10.814	1.345
					4.088

*Примечание. Для подсчета вероятности попадания в соответствующий интервал использовалась статистическая функция Excel НОРМРАСП.

Например, для подсчета вероятности попадания в первый из интервалов, в соответствующую ячейку вводилась формула

=НОРМРАСП(G4;$D$12;$C$23;ИСТИНА)-НОРМРАСП(F4;$D$12;$C$23;ИСТИНА),

где G4 и F4 – адреса ячеек, в которых находятся соответственно правая и левая границы интервала, $D$12 – адрес ячейки, в которой находится ,$C$23 – адрес ячейки, вкоторой находится смещенная оценка σ (S=0.054279, см. с.34).

По заданному уровню значимости α=0.05 и f=5-2-1=2 степеням свободы с помощью статистической функции ХИ2ОБР(J12;H13), первый аргумент которой – адрес ячейки, содержащей значение уровня значимости, второй – адрес ячейки, содержащей число степеней свободы, находим . Так как , гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности принимаем.

2) Критерий Романовского

Воспользуемся результатами предыдущих расчетов.

а) для случая без объединения интервалов:



б) для случая с объединением интервалов, в которые попало менее 5 значений:



Условием принятия гипотезы о нормальном распределении является условие , которое выполняетсяв обоих случаях.

Гипотезу о соответствии данного распределения нормальному закону распределения принимаем.
3) Критерий Колмогорова-Смирнова

По несгруппированной выборке находим и

xi	Эмпирические частоты ni	Накопленные частоты ωi	F(xcp,s)	Fn(xi)	Fn(xi+1)
0.78	2	2	0.038911	0	0.04	0.038911	0.001089
0.79	2	4	0.057483	0.04	0.08	0.017483	0.022517
0.80	2	6	0.082408	0.08	0.12	0.002408	0.037592
0.81	2	8	0.114710	0.12	0.16	0.005290	0.045290
0.82	3	11	0.155137	0.16	0.22	0.004863	0.064863
0.84	2	13	0.261008	0.22	0.26	0.041008	0.001008
0.85	5	18	0.325262	0.26	0.36	0.065262	0.034738
0.86	4	22	0.395185	0.36	0.44	0.035185	0.044815
0.87	3	25	0.468665	0.44	0.50	0.028665	0.031335
0.88	4	29	0.543232	0.50	0.58	0.043232	0.036768
0.89	3	32	0.616302	0.58	0.64	0.036302	0.023698
0.90	6	38	0.685448	0.64	0.76	0.045448	0.074552
0.91	5	43	0.748632	0.76	0.86	0.011368	0.111368
0.94	1	44	0.890989	0.86	0.88	0.030989	0.010989
0.95	1	45	0.922052	0.88	0.90	0.042052	0.022052
0.96	1	46	0.945887	0.90	0.92	0.045887	0.025887
0.97	1	47	0.963547	0.92	0.94	0.043547	0.023547
0.98	2	49	0.976183	0.94	0.98	0.036183	0.003817
0.99	1	50	0.984914	0.98	1	0.004914	0.015086
n	50				макс	0.065262	0.111368

Теоретическая функция распределения F(xcp,S) вычислялась с помощью статистической функции НОРМ. РАСП. Так, первое значение этой функции равно

F(x₁)=P(X<x₁)=НОРМ.РАСП(A6;$C$3;$C$2;ИСТИНА)

где A6 – адрес ячейки, содержащей первое значение х₁;$C$3 – адрес ячейки, содержащей значение ;$C$2 – адрес ячейки, содержащей значение S.

По двум последним столбцам таблицы определяем D_n. D_n=max(0.065262; 0.111368)= 0.111368.

В качестве статистики критерия используется величина



Критические точки взяты из таблицы (см. с. 58). Так, для α=0.05 . Так как гипотеза о нормальном распределении не отклоняется.

Критерий Колмогорова для сгруппированной выборки:

Критическое значение статистики Колмогорова подсчитывается по формуле:

.

Для нахождения максимума абсолютного значения разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами |w_i- w_i'| построим таблицу

xi	ni	ni'	wi	wi'	|wi-wi'|
0,78	4	3	4	3	1
0,81	7	6	11	9	2
0,84	7	9	18	18	0
0,87	11	11	29	29	0
0,9	14	10	43	39	4
0,93	1	6	44	45	1
0,96	3	3	47	48	1
0,99	3	1	50	49	1

K(λ)= 0,9228

Гипотеза о нормальном распределении принимается,
еслиK(λ)>0.05.Это условие выполняется. Гипотезу о соответствии данного распределения нормальному закону распределения принимаем.

1. 
   Критерий Ямстремского
   

где ,

n_i– эмпирические частоты, - теоретические частоты,k– число интервалов дискретного вариационного ряда, n- объем выборки.

Так как k<20, то Θ=0,6.

а) без объединения интервалов:

Обозначим Для вычисления величины c составляем таблицу. Теоретические частоты взяты со с. 68.

xi	ni	ni'	pi'	qi'	(ni-ni')2	ni'qi'	(ni-ni')2/(ni'qi')
0,78	4	3	0,06	0,94	1	2,82	0,354609929
0,81	7	6	0,12	0,88	1	5,28	0,189393939
0,84	7	9	0,18	0,82	4	7,38	0,54200542
0,87	11	11	0,22	0,78	0	8,58	0
0,9	14	10	0,2	0,8	16	8	2
0,93	1	6	0,12	0,88	25	5,28	4,734848485
0,96	3	3	0,06	0,94	0	2,82	0
0,99	3	1	0,02	0,98	4	0,98	4,081632653

.

.

Условие принятия гипотезы о нормальном распределении (т.е. 3.902≤12.8686) выполняется.

б) для случая с объединением интервалов, в которые попало менее 5 значений, имеем:

Эмпирические частоты n1	pi	Теоретические частоты npi
11	0.19126030	9.563014902	0.26699365
7	0.18300999	9.150499527	0.61861031
11	0.21751227	10.87561356	0.001818087
14	0.19194079	9.597039292	2.499822427
7	0.21627665	10.81383272	1.716251184
Объем n=50			5.103495659
Число интерваловk	5		0.029390792

Поскольку гипотеза о нормальном распределении экспериментальных данных принимается.

5) Приближенный критерий

Средние квадратические отклонения асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:

.

.

Условием принятия гипотезы о нормальном распределении являются условия (0.279<0.32979) и (0.293<0.62193).Оба условия выполняются.

Вывод: гипотезу о соответствии данного распределения нормальному закону распределения принимаем.

Задачи: