Практ.раб 4.к надеж.Эмпир.. Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки

• Название: Построение кривой нормального распределения по опытным данным. Проверка гипотезы о нормальном распределении выборки
• Дата: 06.12.2021
• Размер: 378.01 Kb.
• Имя файла: Практ.раб 4.к надеж.Эмпир..docx
• Тип: Лекция; #293612
• страница: 3 из 9

Тема: Проверка гипотезы о распределении по закону Пуассона

ЗАДАНИЕ.

Отдел технического контроля проверил nпартий однотипных изделий и установил, что число Xнестандартных изделий в одной партии имеет эмпирическое

распределение, приведенное в таблице, в одной строке которой указано количество x_i

нестандартных изделий в одной партии, а в другой строке – количество n_i

партий,

содержащих

x_iнестандартных изделий. Требуется при уровне значимости

  0, 05

проверить гипотезу о том, что случайная величина X(число нестандартных изделий в одной партии) распределена по закону Пуассона.

xi	ni
0	403
1	370
2	167
3	46
4	12
5	2

Сумма 1000

РЕШЕНИЕ.

Найдем выборочную среднюю x

x  ¹ _∑ x n 

¹ 900  0, 9 .

_n ii

1000

Процесс вычисления проиллюстрирован в таблице:

xi	ni	xini
0	403	0
1	370	370
2	167	334
3	46	138
4	12	48
5	2	10

Сумма 1000 900

Примем в качестве оценки   x 0, 9 . Проверим нулевую гипотезу

H ₀ = (Число

нестандартных изделий в партии распределено по закону Пуассона), то есть

p_k  P( X  k ) 

^ k 

e

k !

_ 0, 9^k

k!

e^0,9 , k 0,1,... , при уровне значимости 0,05.

Находим теоретические вероятности

p_k 

0, 9^k

k!

e^0,9 и теоретические частоты

n_k'  n p_k 1000  p_k. Результаты вычислений занесем в таблицу:

k

nk

pk

nk '

(n  n ')2 k k

(n  n')2 k k nk '

Проверка гипотезы о распределения по закону Пуассона

ЗАДАНИЕ.

В результате обследования 150 человек были получены данные о количестве приобретаемых за месяц цветных иллюстрированных журналов:

Количество приобретаемых журналов в месяц	0	1	2	3	4
Число опрошенных, чел	91	46	8	3	2

Соответствует ли данное распределение закону редких событий Пуассона?

РЕШЕНИЕ.

Проверим с помощью

 ² -критерия Пирсона нулевую гипотезу

H₀ = (Число

приобретаемых за месяц журналов распределено по закону Пуассона), то есть

p_k P( X k) 

^ k 


e
k!

, k 0,1,... , при уровне значимости 5%.

1 1 79

Вычислим выборочную среднюю

x _n∑ x_i n_i

^{0  46 16  9  8} ^{ .} 150 150

79

Примем в качестве оценки  среднее число журналов   x  0, 527 .

150

Находим теоретические вероятности

p_k

0, 527^k

k!

_e0,527

и теоретические частоты

n_k'  n p_k 150  p_k. Результаты вычислений занесем в таблицу:

k	nk	pk	nk'
0	91	0,591	88,586
1	46	0,311	46,655
2	8	0,082	12,286
3	3	0,014	2,157
4	2	0,002	0,284
Сумма	150	1,000	149,967

Объединяем малочисленные частоты (две последних строки):

nk	nk'	(n n')2 k k nk'
91	88,586	0,066
46	46,655	0,009
8	12,286	1,495
5	2,441	2,683
Сумма		4,253

Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона

 ²  4, 253 .

Критическая точка для уровня значимости 5% при количестве степеней свободы

k 4  2  2 (число групп минус два) равна 6,0. Так как наблюдаемое значение критерия

4,253 меньше критического значения 6,0, нет основания отвергнуть нулевую гипотезу о распределении числа приобретаемых за месяц цветных иллюстрированных журналов по закону Пуассона.
Проверка гипотезы о распределения по показательному закону

ЗАДАНИЕ.

В итоге испытаний 1000 элементов на время безотказной работы (час.) получено

распределение, приведенное в таблице. Требуется при уровне значимости   0, 05

проверить гипотезу о том, что данные в генеральной совокупности распределены по показательному закону.

Время безотказной работы	0-10	10-20	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Число отказавших элементов	365	245	150	100	70	45	25

РЕШЕНИЕ.

Перейдем к простому вариационному ряду и вычислим выборочную среднюю:

xi	5	15	25	35	45	55	65	Сумма
ni	365	245	150	100	70	45	25	1000
xini	1825	3675	3750	3500	3150	2475	1625	20000

Получаем

x ¹ xn ¹ 20000  20 .


∑
n ⁱⁱ1000

1 1

В качестве оценки показательного распределения возьмем     0, 05 .

x ²⁰

Найдем вероятности попадания в интервалы по формуле:

^{P P} ^x

 X x

_{  e} x_{i e} x_{i1  e}0,05 x_{i e}0,05 x_{i1 .}

i i i1

Затем вычислим теоретические частоты: n_i'  P_i n 1000P_i.

Результаты вычислений занесем в таблицу:

xi	xi1	ni	Pi	ni'	(n n')2 i i ni'
0	10	365	0,3935	393,47	2,0599
10	20	245	0,2387	238,65	0,1689
20	30	150	0,1447	144,75	0,1905
30	40	100	0,0878	87,795	1,6967
40	50	70	0,0533	53,25	5,2686
50	60	45	0,0323	32,298	4,9954
60	70	25	0,0196	19,59	1,4942

Сумма 15,874

Из расчетной таблицы находим наблюдаемое значение критерия Пирсона
 ²  15,874 .

Критическая точка для уровня значимости 5% при количестве степеней свободы

k 7  2  5 (число групп минус два) равна 11,1. Так как наблюдаемое значение критерия

15,874 больше критического значения, следует отвергнуть гипотезу о распределении по показательному закону на данном уровне значимости.