Методы интерполяции и аппроксимации

• Название: Методы интерполяции и аппроксимации
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 93.46 Kb.
• Имя файла: Interp_app.docx
• Тип: Документы; #347959
• страница: 2 из 13

Канонический полином

Вид канонического полинома степени n

P_n(x)=a₀+a₁x¹+a₂x²+…+a_n-1x^n–1+a_nxⁿ. (2)

Выбор многочлена степени n основан на том факте, что через n+1 точку проходит единственная кривая степени n. Подставив (2) в (1), получим систему линейных алгебраических уравнений (3)

^a ax ax²  a x^п1  ax^п у

_ 0 1 0 2 0

n1 0

n 0 0

0 1 1 2 1
_a ax

• 
  ax²  a x^п1  ax^п у
  

n1 1

n

1 1
^a ax ax²  a x^п1  ax^п у

(3)

^ 0 1 2 2 2

n1 2

n 2 2


^...

^a ax

• 
  ax²  a x^п1  ax^п у
  

_ 0 1 п

2 п n1 п n п п

Решая эту систему линейных алгебраических уравнений, найдём коэффициенты интерполяционного полинома a₀, a₁, a₂, ..., a_n.

2. Линейная интерполяция

Линейная интерполяция – простейший и часто используемый вид интерполяции. Она состоит в том, что заданные точки с координатами x_i, y_iпри i=0, 1, 2, ... n соединяются прямолинейными отрезками, а функцию y(x) можно приближенно представить в виде ломаной.

Уравнения каждого отрезка ломаной в общем случае разные. Поскольку имеется n интервалов (x_i-1, x_i), то для каждого из них в качестве уравнения интерполяционного многочлена используется уравнение прямой, проходящей через две точки: для i-го интервала можно написать уравнение прямой, проходящей через точки (x_i-1, y_i-1) и (x_i, y_i),

Отсюда

y  y_{i 1} ^yi^{ y}i1

₌ x x_{i1 .}

^xi^{ x}i1

y=a_ix+b_i, x_{i-1 } x_ x_i; (4)

a_i=

^{yi yi1} , b_i=y_i-1 –a_i x_i-1. (5)

^xi^{ x}i1

Следовательно, при использовании линейной интерполяции сначала нужно определить интервал, в который попадает значение аргумента x, а затем подставить его в формулу (4) и найти приближенное значение функции в этой точке. Пример линейной интерполяции для экспериментальных данных согласно табл. 2. приведен на рис. 2.

Таблица 2

Таблица экспериментальных данных

Индекс	0	1	2	3	4
x	1	2	3	4	5
y	2,5	4	3,5	5	6

7



y

6

5

4

3

2

1

0


6
0 1 2 3 4 5 ^x

Рис. 2. Графическое решение линейной интерполяции