Методы интерполяции и аппроксимации

• Название: Методы интерполяции и аппроксимации
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 93.46 Kb.
• Имя файла: Interp_app.docx
• Тип: Документы; #347959
• страница: 8 из 13

4.1.4.2. Вторая интерполяционная формула Ньютона

Для нахождения значений функции в конце интервала интерполирования интерполяционный полином запишется в виде

P_n(x)  a₀  a₁(x x_n)  a₂ (x x_n)(x x_n1)  ...

... a_n(x x_n)(x  x_n1)...(x  x₁).

Коэффициенты а₀, а₁, ..., а_nнаходятся из условия P_n(x_i) = y_i. Подставляя в (7) x= x_n, найдем

P_n(x_n)  y_n a₀ .
(7)

Для x=x_n-1:

P(x
)=y
=y+a(x
– x), a

_ ^yn^{ y}n1 _ ^yn1 _.

n
Для x=x_n-2:

n-1

n-1 n

1 n-1 n _{1 h h}

^Pn^(xn 2 ^{)  y}n 2

 y_n ^yn1 (x_{n 2}  x_n)  a₂ (x_{n 2}  x_n)(x_{n 2}  x_n1) 

h

 y_n ^yn1 (2h)  a₂  2h²

h

 y_n 2y_n1  a₂ 2h² ;

a₂ 

^{2 y}n2


.
2!h²

Формула для нахождения всех коэффициентов запишется как:

ⁱy

_aiп1 _.

i!hⁱ

Подставив выражения для определения коэффициентов a_iв формулу (7), получим вторую интерполяционную формулу Ньютона:

P_n(x) 

y_n

^yn1

h

(x x_n) 

^{2 y}n2

2!h²

(x x_n)(x x_n1 ) 

_ ^{3 y}n3

3!h³

(x x_n)(x x_n1 )(x  x_n2 )  ...
(8)