Методы интерполяции и аппроксимации

• Название: Методы интерполяции и аппроксимации
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 93.46 Kb.
• Имя файла: Interp_app.docx
• Тип: Документы; #347959
• страница: 5 из 13

Пример

1. 
   Найти для функции y=sinxинтерполяционный полином Лагранжа,
   

¹ 1

выбрав узлы x₀=0, x₁= ₆ , x₂= ₂ .

2. 
   Найти значения полинома Лагранжа для значений х: ¹
   

4
и ¹ .

3

3. 
   Определить абсолютную и относительную погрешности вычислений.
   

Решение

1. 
   Вычислим соответствующие значения функции в узлах:
   

y 0; y sin ^π  ¹ ; y

 sin ^π 1 (табл. 4).

0 1 _{6 2} 2

2
Таблица данных
Таблица 4

Индекс	0	1	2
x	0	1 6	0,5
y	0	0,5	1

Применяя формулу (4), получим

 _x ¹  _x ¹ 

x 0^ x ^{1 }

x 0^ x ^{1 }

 ₆  ₂ 

 ₂  ₁

 ₆ 

P_n(x)  ^{  }  0 

  <sub>

</sub>  

1^;

 _{0 } ¹  _{0 } ¹ 

 ¹ _{ 0} ¹ _ ¹  ²

 ¹ _{ 0} ¹ _ ¹ 

6

2
 

 

  


6

6

2
  

   


2

2

6
   

P_nx  ⁷ x 3  x² .

2

2. 
   Определим значения полинома Лагранжа для значений х:
   

¹ и ¹ :

4 3

P^{ 1 }  ⁷  ¹  3 ¹  0,688 и P^{ 1 }  ⁷  ¹  3 ¹  0,833.

^n 4 ^ 2 4 16 ^n 3 ^ 2 3 9

   

3. 
   Определим погрешности вычислений.
   

Для этого найдем значения функции y=sinxпри заданных значениях x, составив соответствующую таблицу (табл. 5).

Таблица 5

Таблица данных

x	0	1 6	1 4	1 3	1 2
y	0	0,5	0,71	0,87	1
Pn(x)	0	0,5	0,69	0,83	1

Абсолютная погрешность измерения, определяемая как разность между истинным и измеренным значениями физической величины:

Δ_1/4=0,71 – 0,69=0,02 и Δ_1/3=0,87 – 0,83=0,04.

Относительная погрешность находится как отношение абсолютной погрешности к истинному значению или к результату измерения:

^δ1 / 4

 ^0,02 100  2,82

0,71

или

^δ1 / 4

 ^0,02 100  2,9;

0,69

δ_{1 / 3}  ^0,04 100  4,6

0,87

или

δ_{1 / 3}  ^0,04 100  4,82.

0,83