Методы интерполяции и аппроксимации

• Название: Методы интерполяции и аппроксимации
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 93.46 Kb.
• Имя файла: Interp_app.docx
• Тип: Документы; #347959
• страница: 13 из 13

2.3. Параболическая аппроксимация

Если линейным полиномом не удается точно точности аппроксимировать экспериментальные данные, применяют нелинейную аппроксимацию – аппроксимацию второго и большего порядков. Аппроксимация второго порядка (параболическая) опишется многочленом

P₂ (x)  a₀  a₁  x a₂  x² . (18)

Коэффициенты а_iопределятся по методу наименьших квадратов

n

F _
( y_i

• 
  a₀
  
• 
  a₁
  

 x_i

• 
  a₂
  

i
 x² )²  min . (19)

i1 ^x

Составляем систему уравнений, приравняв частные производные нулю:


^dF

 2  _( y a
 a x a x² ) 1  0;

_ da₀

i


n
i1

0 1 i 2 i

^ dF

 2 

n

( y a

 a x a x² )  x

 0;

^ da

^ i 0 1 i

2 i i

_{ 1} i1

^dF

 2 

n

( y a

• 
  a x a
  

 x² )  x²  0.

^da ^{ i}

0 1 i

2 i i

_{ 2} i1

После преобразований получим систему линейных уравнений с тремя неизвестными (а₀, а₁, а₂):



^a0



 n a₁

n

 _ x_i

i1

• 
  a₂
  

n

 _

i1

n






2

x
_i y_i,

i1



_a₀

n

 _ x_i

 a₁ 

n


i
_ x²  a₂

n


i
 _ x³ 

n

_(x_i

 y_i),
(20)

 ^i1

 _n

i1 n

i1 n

i1 n

^a₀  _ x²  a₁  _ x³  a₂  _ x⁴  _(x²  y_i).

_

Введем обозначения:

i

i1

i

i1

i

i1

i

i1

n

S₁  _ x_i;

i1

n

S₂  _

i1

^x2 ;

n

S₃  _

i1

x³ ; S₄

n

 _

i1

x⁴ ,

i

i

i
n

S₅  _ y_i
; ^S₆

n

 _(x_i

^{ y}_i⁾ ;

n

S₇  _

(x²  y_i) .

i1

i1

i1

i
С учетом принятых обозначений система (20) примет вид:

_ a₀  n a₁  S₁  a₂  S₂  S₅ ,


a


^ ₀  S₁  a₁  S₂  a₂  S₃  S₆ ,



^a₀  S₂  a₁  S₃  a₂  S₄  S₇ .
Коэффициенты a₀,a₁,a₂ найдутся методом Крамера, согласно которому:

где

a ^0 ,

0 _

a ^1 ,

1 _

a ^2 ,

2 _

n S₁ S₂

S₅ S₁ S₂

n S₅ S₂

n S₁ S₅

 S₁ S₂

S₂ S<sub>3

S3</sub> ;

S₄

₀  S₆

S₇

S₂ S₃

S₃ S₄

^, ₁  S₁ S₆

S₂ S<sub>7

S3</sub> ,

S₄

₂  S₁ S₂

S₂ S<sub>3

S6</sub> .

S₇

4.2.4. Аппроксимация в виде показательной функции
При обработке данных эксперимента в некоторых случаях возникает необходимость воспользоваться зависимостью вида

y b e^{a x}, (21)

где a, b неизвестные коэффициенты.

Прологарифмировав уравнение (15), получим

ln( y)  ln( b)  a x.

Введя обозначения:

Y=ln(y), B=ln(b), A=а,

получим линейный многочлен первой степени

Y=В+Аx.

Далее уравнение решается по методу наименьших квадратов

n

F _

i1

Y_i

• 
  B  A x_i
  

²  min .

x

Формулы для вычисления коэффициентов Аи Ваналогичны как для случая линейной аппроксимации (16, 17):

n n n _nn

n _(x_iY_i)  _ x_i _Y<sub>i

A</sub>i1 i1 i1 <sub>,

</sub>Y_i A_ x<sub>i

B</sub>i1 i1 _.

n _ n _^{2 n}


i
n _ x²  ^ _ x_i^

i1  i1 

После определения коэффициентов вернемся к принятым ранее обозначениям:

a e^A, b=B,

y_i e^Yi.

2.5. Аппроксимация в виде степенной функции

Степенная функция имеет вид

y b x^a. (22)

Логарифмируя последнее уравнение, получим
^{lg( y)  lg( b)  a lg( x)} .

Введем обозначения:

Y=lg(y), B=lg(b); A=a; X=lg(x).

Используя метод наименьших квадратов, найдем неизвестные коэффициенты Bи А:

n

F _

Y_i

• 
  B А X_i
  

²  min .

i1 ^x

Формулы для вычисления коэффициентов Аи Ваналогичны как для случая линейной аппроксимации (12, 13):

n n n _nn

n _( X_iY_i)  _ X_i _Y<sub>i

A</sub>i1 i1 i1 <sub>,

</sub>Y_i A_ X<sub>i

B</sub>i1 i1 _.

n _ n _^{2 n}


i
n _ X²  ^ _ X_i^

i1

 i1 

После определения коэффициентов вернемся к принятым ранее обозначениям:

b 10^B,

a A,

y_i 10^Yi,

x_i 10 ^Xi.