Методы интерполяции и аппроксимации

• Название: Методы интерполяции и аппроксимации
• Дата: 31.01.2022
• Размер: 93.46 Kb.
• Имя файла: Interp_app.docx
• Тип: Документы; #347959
• страница: 6 из 13

Интерполяционный многочлен Ньютона

Если узлы интерполяции равноотстоящие по величине, так что

x_i+1–x=h=const,

где h– шаг интерполяции, т.е. x_i=x₀+nh, то интерполяционный многочлен можно записать в форме, предложенной Ньютоном.

Интерполяционные полиномы Ньютона удобно использовать, если точка интерполирования находится в начале таблицы – первая интерполяционная формула Ньютона или конце таблицы – вторая формула.

1. Первая интерполяционная формула Ньютона

Интерполирующий полином ищется в виде

P_n(x)  a₀  a₁(x x₀ )  a₂ (x x₀ )(x x₁)  ...  a_n(x x₀ )...(x x_n1).

(5)

Построение многочлена сводится к определению коэффициентов а_i.. При записи коэффициентов пользуются конечными разностями.

Конечные разности первого порядка запишутся в виде:

y₀ = y₁ – y₀;

y₁ = y₂ – y₁;

…

y_n-1 = y_n– y_n-1,

где y_i– значения функции при соответствующих значениях x_i.

Конечные разности второго порядка:

²y₀ = y₁ – y₀;

²y₁ = y₂ – y₁;

…

²y_n-2 = y_n-1 – y_n-2.

Конечные разности высших порядков найдутся аналогично:

^ky₀ = ^k-1y₁ – ^k-1y₀;

^ky₁ = ^k-1y₂ – ^k-1y₁;

…

^ky_n-2 = ^k-1y_n-1– ^k-1y_n-2.

Коэффициенты а₀, а₁,..., а_nнаходятся из условия P_n(x_i) = y_i. Находим a₀, полагая x=x₀,

a₀=P(x₀)=y₀.

Далее подставляя значения x=x₁, получим:

P_n(x₁) = y₁ = y₀ +a₁(x₁ – x₀),

a₁ 

y₁  y₀ x₁  x<sub>0

</sub> y_{0 .}

h

Для определения а₂, полагая x=x₂, получим

y₀

P_n(x₂) = y₂ = y₀+ _h (x

₂ – x₀)+a₂(x₂

– x₀)(x₂ – x₁) = y₀+2y₀+a₂2h²;

a₂ =

y₂  y₀  2y₀ 2h²

₌ y₂  y₀  2 y₁  2 y_{0 =}

2h²

y₂  2 y₁  y_{0 =}

2h²

₌ ( y₂  y₁)  ( y₁  y₀ ) 2h²

₌ y₁  y₀

2h²

² y₀




⁼ 2!h^{2 .}

Общая формула для нахождения всех коэффициентов имеет вид

ⁱy₀

где i=1…n.

В результате (5) примет вид

Δy₀

a_i

i!hⁱ

,


Δ ² y₀

P_n(x)  y₀ 

1!h

(x x₀ ) 

2!h²

(x x₀ )(x x₁)  ...
(6)

• 
  Δ ⁿy₀
  

n!hⁿ

(x x₀ )...(x x_n1 ).

Данный многочлен называют первым полиномом Ньютона.