Схема Горнера. Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

• Название: Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
• Анкор: Схема Горнера
• Дата: 24.10.2019
• Размер: 99.68 Kb.
• Имя файла: gorner.docx
• Тип: Решение; #91678
• страница: 5 из 7

Пример 3. Дано: х⁴+х³-72х²+9х+81=0

Решение. Поделим уравнение на х² и сгруппируем:

х²+х-72+=0,

(х²++(х+ проведем некоторые преобразования до полного квадрата в одной из скобок, получим:

(х²+18++(х+,

(х+)²+( х+)-90=0, вводим новую переменную: t= х+, решаем уравнение:

t²+t-90=0, D=1+360=361,

t_1,2= Решаем уравнения, подставляя значения t:

1. 
   х+=-10, х0
   

х²+10х+9=0, D=100-36=64

х_1,2=

2. 
   х+=9, х0
   

х²-9х+9=0, D=81-36=45

х_3,4=.

Ответ: х₁ х₂=-1; х_3,4=

3. 
   «Схема Горнера»
   

Определение.Уравнение р₀хⁿ+p₁x^n-1+p₂x^n-2+…+p_n-1x+p_n=0, где n – натуральное число, а - произвольные постоянные коэффициенты, называется целым рациональным уравнением n – й степени.

Теорема. Если целое рациональное уравнение с целыми коэффициентами имеет целые корни, то они являются делителями свободного члена.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена р₀хⁿ+p₁x^n-1+p₂x^n-2+…+p_n-1x+p_n на двучлен х-а равен Р(а).

Рассмотрим решение уравнений высших степеней, используя метод деления с помощью схемы Горнера:

Если р₀хⁿ+p₁x^n-1+p₂x^n-2+…+p_n-1x+p_n=(b₀x^n-1+b₁x^n-2+…+b_n-2x+b_n-1)(x-a)

	P0	P1	P2	P3	…	Pn-1	Pn
a	b0=p0	b1=p1+b0	b2 =p2+b1	b3=p3+b2		bn-1=pn-1+bn-2 a	bn=pn+bn-1 a