Схема Горнера. Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера

• Название: Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера
• Анкор: Схема Горнера
• Дата: 24.10.2019
• Размер: 99.68 Kb.
• Имя файла: gorner.docx
• Тип: Решение; #91678
• страница: 1 из 7

Методы решения уравнений высших степеней. Метод Горнера.

Подобные задания, содержащие уравнения высших степеней, в последние годы стали появляться в ЕГЭ, олимпиадных заданиях по математике, при вступительных экзаменах в ВУЗы. Большинство учащихся с трудом справляются с решением уравнений со степенью выше 3, поскольку в школьном курсе алгебры при непрофильном обучении отводится этой теме малое количество времени, но умение решать такие уравнения необходимо при написании экзамена в форме ЕГЭ, при решении части С, причем математика является обязательным для сдачи предметом.

1. 
   Методы решения уравнений высших степеней различными способами.
   
   1. 
      Метод замены переменной.
      

Пример 1. Дано: (х²-9)²-8(х²-9) +7=0

Решение. Введем новую переменную, обозначив х²-9=t, тогда получаем:

t²-8t+7=0, D=b²-4ac=36, t₁=7; t₂=1.

Возвращаемся к “старой” переменной х²-9=1, х=±√10; х²-9=7, х=±4.

Ответ: х₁=+√10; х₂=-√10; х₃=-4; х₄=4.

Пример 2. Дано: х(х + 1)(x + 2)(x + 3) = 24

Решение. Перемножим первый и четвертый множители, второй и третий. Получим:

(х² + 3х)(x² + 3x + 2) = 24

Вводим замену: x² + 3x = t, тогда t(t + 2) = 24, t² + 2t – 24 = 0, t₁ = -6; t₂ = 4. Возвращаемся к “старой” переменной, получим: x² + 3x = -6, x² + 3x + 6 = 0, D < 0, уравнение не имеет действительных корней.

Уравнение x² + 3x = 4 имеет корни х_{1 =} -4, х_{2 =} 1.

Ответ: х_{1 =} -4, х_{2 =} 1.

Пример 3. Дано: (х – 4)(х² + 15 + 50)(х – 2) = 18х²

Решение. Разложим на множители х² + 15 + 50.

х² + 15 + 50 = 0, х₁ = -5, х₂ = -10, тогда х² + 15х + 50 = (х + 5)(х + 10).

Уравнение примет вид: (х – 4)(х + 5)(х + 10)(х – 2) = 18х²

Так как (-4)•5 = -20, 10•(-2) = -20, то перемножая первую скобку со второй, третью с четвертой, будем иметь: (х² + х – 20)( х² + 8х – 20) = 18х²

Поскольку х = 0 не корень, разделим обе части уравнения на х² . Получим:

=

)=18

Вводим замену: , тогда (t+1)(t+8)=18, т.е. t²+9t-10=0, t₁= -10, t₂ = 1.

Вернемся к исходной переменной:

1. 
   ;
   
2. 
   
   

Решим первое уравнение х² + 10х – 20 = 0, D = 180, х₁=; х₂=

Решим второе уравнение х² - х – 20 = 0, D =81, х₃ = - 4, х₄ = 5.

Ответ: х₁=; х₂=; х₃ = - 4, х₄ = 5.

Пример 4. Дано:

Решение. Произведем преобразования в числителе дроби: х⁴+324=х⁴+18²,

(х²+18)²=х⁴+36х²+324, тогда х⁴+324= х⁴+36х²+324-36х². Получим:



Приведем левую и правую части к одному знаменателю:



Приравняем к нулю. Получим:





Решим уравнение в числителе методом группировки:


Разложим на множители , приравняв к нулю:

, введем новую переменную: х²=t, получаем:



D=

х_1,2 = = . Тогда:







х²-25=0, или х²+6х+18=0

х= D=36-72=-36, D<0 – решений нет, т.е. вся парабола полностью лежит выше Ох и не пересекает ее.

Числитель равен нулю при х=5; -5, а знаменатель никогда не будет равен нулю.

Ответ: х=±5.