Методичка ЛР по физике. Методические рекомендации к выполнению аудиторных лабораторных работ по курсу Механика
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
, действующая на маятник (рис. 2). Во время соударения линии действия этих сил проходят через ось вращения О. Следовательно, сумма моментов внешних сил равна нулю. Значит, согласно закону (1), момент импульса системы во время удара пули будет сохраняться. Обозначив 47 через 1 L и 2 L моменты импульса системы соответственно в начале и в конце процесса соударения, можно записать 2 1 L L = Запишем момент импульса каждого тела до и после соударения: момент импульса тела до соударения момент импульса тела после соударения маятник 0 ω I пуля l mv ⎡ ⎤ × ⎣ ⎦ ω п I где I – момент инерции маятника, I п = m·l 2 – момент инерции пули относительно оси вращения маятника, l – вектор, соединяющий ось вращения маятника с центром тяжести пули в момент удара, ω − угловая скорость системы «маятник-пуля» сразу после удара. Поэтому ( ) п l mv I I ω ⎡ ⎤ × = + ⎣ ⎦ (2) Относительно оси вращения равенство (2) примет вид ω ) I l m ( v l m 2 + = (3) Отклонение По закону «приращения» механической энергии изменение механической энергии системы равно работе непотенциальных сил, действующих на систему сил льных непотенциа A E = Δ до отклонения после отклонения O ω O h H C A D B x 1 C 2 H 1 H 2 α 0 0 T Рис. 3. Отклонение тел В качестве непотенциальных сил выступает сила натяжения нити (рис. 3), работа которой при отклонении маятника равна нулю. Следовательно, при движении маятника вместе с пулей механическая энергия системы сохраняется 2 1 E E = . Запишем энергию тел до и после отклонения, приняв за нулевой уровень потенциальной энергии линию (00), вдоль которой летела пуля: энергия тела в нижнем положении энергия тела в положении максимального отклонения маятник 1 2 MgH 2 I + ω MgH 2 пуля 2 I 2 п ω mgh где Н 1 и H 2 – расстояния от нулевого уровня потенциальной энергии до центра масс маятника до и после отклонения (точки С 1 и С 2 соответственно), h – высота подъема пули. Закон сохранения механической энергии для рассматриваемой системы 48 mgh MgH 2 I MgH 2 I 2 2 п 1 2 + = + + ω ω или mgh ) H Mg(H 2 I 2 I 1 2 2 п 2 + − = + ω ω Для удобства обозначим H 2 – H 1 = H . Найдем связь между H и h. Обозначим через x расстояние между осью вращения и центром масс маятника. Треугольники С 2 ОВ и АОD подобны, поэтому l h l x H x − = − Из формулы получим h n h l x H = = , (4) где n l x = - постоянная величина используемого баллистического маятника. Применительно к системе «маятник-пуля» закон сохранения механической энергии примет вид ( ) mgh MgH 2 I I 2 п + = + ω или ( ) gh ) m Mn ( 2 I I 2 п + = + ω (5) Как видно из рисунка 3 между высотой h и углом отклонения маятника существует связь: ( ) l h l cos − = α Выразим h: ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − = 2 sin l 2 cos 1 l h 2 α α (6) Решая систему уравнений (3), (5), (6), получим: ( ) ( ) l m g m Mn ml I 2 sin 2 v 2 2 + + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = α (7) 7.2.2. План проведения работы Измерить скорость полета пули Используемая в работе установка дает возможность произвести измерения скорости полета пули с помощью двух методов. Приставка для измерения скорости позволяет получить измеряемую величину кинематическим методом (v 1 ), а маятник и подвижная стрелка – методом баллистического маятника (v 2 ). «Чем дальше эксперимент от теории, тем ближе он к Нобелевской премии». Ф. Жолио-Кюри 49 1. Измерьте массу пули m и расстояние от оси вращения до центра ловушки баллистического маятника l. 2. Прикрепите шарик к магниту стреляющего устройства, растяните пружину. Затем оттяните курок назад до упора. Убедитесь, что стрелка показывает на отметку «ноль». Спустите курок. Определите угол отклонения маятника α. Снимите показания с приставки определения скорости - v 1 . 3. Опыт повторить 10 раз. Результаты измерений занесите в Таблицы 1, 2. Таблица 1 № v 1 , м/с Таблица 2 № α, град 4. По формуле (7) вычислите скорость полета пули - v 2 , приняв значения характеристик маятника равными I = 2,8·10 -3 кг·м 2 , Mn = 6,58·10 -2 кг . Оцените точность измерений. 5. Найдите величину ошибки скорости полета пули v 1 , полученной кинематическим методом. 6. Сравните полученные результаты. 7.3. Контрольные вопросы 1. Дайте определение момента инерции тела. 2. Дайте определение момента импульса и момента силы относительно точки и оси. 3. Сформулируйте закон изменения момента импульса системы. 4. Запишите формулу кинетической энергии вращательного движения. 5. Сформулируйте закон изменения механической энергии системы. 7.4. Список рекомендуемой литературы 1 Савельев И.В. Курс общей физики: Учеб. пособие для вузов: В 5 кн. Кн.1. Механика. М.: Астрель: АСТ, 2001. § 24, 29. 2 Общий курс физики : Учеб. пособие для вузов рек. МО РФ: В 3 т. Т.1. Механика / Д.В. Сивухин . - 4-е изд., стер. - М.: Физматлит; МФТИ, 2005. § 25, 30, 33. 3 Стрелков С.П. Механика: Учеб. пособие для ун-тов. М.: Наука, 1975. § 33-35, 52-54. 4 Трофимова Т.И. Курс физики. М.: Высшая школа, 2002. § 13, 17-19. «Вольфганг Паули был стопроцентным теоретиком. Его неспособность общаться с любым экспериментальным оборудованием вошла у друзей в поговорку. Утверждали даже, что ему достаточно просто войти в лабораторию, чтобы в ней что-нибудь сразу же переставало работать. Это мистическое явление окрестили «эффектом Паули» (в отличие от знаменитого «принципа Паули» в квантовой теории). Из документально зарегистрированных проявлений эффекта Паули самым поразительным, несомненно, является следующий. Однажды в лаборатории Джеймса Франка в Гёттингене произошёл настоящий взрыв, разрушивший дорогую установку. Время этого ЧП было точно зафиксировано. Как потом оказалось, взрыв произошёл именно в тот момент, когда поезд, в котором Паули следовал из Цюриха в Копенгаген, остановился на 8 минут в Гёттингене» (Из книги «Физики шутят»). 50 8. Определение модуля Юнга Цель работы: усвоение знаний по разделу «Деформация твердого тела», приобретение практических навыков определения модуля Юнга материала. Оборудование Общий вид экспериментальной установки представлен на рисунке 1. Основными элементами установки являются: 1 - индикатор малых перемещений с ценой деления 0,01 мм; 2 - держатели индикатора и стержня; 3 - набор плоских стержней; 4 - грузы; 5 - нить. 1 2 3 4 5 Рис. 1. Общий вид установки 51 8.1. Задание для работы 1. Построить график зависимости стрелы прогиба от величины нагрузки. 2. Определить модуль упругости материала. 8.2. Методика эксперимента 8.2.1. Краткие теоретические сведения Все реальные тела под действием приложенных к ним сил изменяют свою форму или объем. Такие изменения называют деформациями. Деформации называются упругими, если они исчезают после прекращения действия приложенных сил, и пластичными, если они остаются после снятия нагрузки. В настоящей работе ограничимся изучением только упругих деформаций. Упругие свойства тела характеризуются экспериментально вводимыми постоянными, к числу которых относится модуль Юнга. Возьмем однородный стержень длиной l, площадью поперечного сечения S и приложим к его концам растягивающие силы F, направленные вдоль оси симметрии (рис. 2). В результате стержень растягивается на величину Δl, то есть удлиняется. Для характеристики деформации тела важно как абсолютное удлинение Δl, так и относительное удлинение l l Δ , то есть во сколько раз увеличилась единица длины тела. Если взять стержни разного поперечного сечения S, то при действии одной и той же растягивающей силы относительное удлинение l l Δ будет тем меньше, чем толще стержень, то есть чем больше S. Отсюда следует, что относительное удлинение пропорционально величине S F : l F l S Δ ∼ или l F l S α Δ = , (1) где α – коэффициент пропорциональности. Величину, обратную α, называют модулем упругости или модулем Юнга: 1 E α = Отношение силы, действующей на площадь поперечного сечения, есть напряжение S F = σ . Тогда (1) примет вид σ Δ E 1 l l = (2) Из выражения (2) можно уяснить физический смысл модуля Юнга. Модуль Юнга численно равен напряжению, при котором длина растягиваемого образца увеличивается вдвое. Это определение условно, поскольку только немногие материалы способны выдерживать без разрушения такие нагрузки. Для подавляющего большинства материалов зависимость (2) справедлива только при малых деформациях l l << Δ l l+ l Δ F F Рис. 2. Деформация тела 52 Для определения модуля Юнга можно воспользоваться методом изгиба стержня, положенного на две опоры. Рассмотрим однородный стержень высотой b, шириной a, длиной L и массой M (рис. 3), к центру которого приложена сила F (рис. 4). В данном случае деформация характеризуется стрелой прогиба λ (рис. 4). Стрелой прогиба называется расстояние, на которое опускается точка приложения силы, действующей на стержень. Для выяснения характера зависимости модуля Юнга E от стрелы прогиба λ ограничимся случаем малых деформаций. L a b F L C D λ N D N C Mg Рис. 3. Геометрические размеры стержня Рис. 4. Изгиб стержня Из симметрии рассматриваемой задачи следует, что в равновесии опоры С и D будут действовать на стержень с одинаковыми силами: 2 Mg F N N D C + = = (3) y x x A B L y A B ϕ x ϕ y Δl y dy I II I II H H C D C D Рис. 5. Система координат Введем систему координат с началом в точке А (крайняя левая точка оси стержня) и осями Aх и Ay, направленными вдоль оси стержня и в поперечном сечении соответственно. Мысленно разделим стержень на достаточно тонкие горизонтальные слои толщиной dy, параллельные оси стержня АВ (рис. 5). При изгибе стержня все слои, лежащие ниже оси, удлиняются, а слои, лежащие выше оси, сжимаются. y df x y a b/2 b/2 dS y dy y x Mxg Mxg L N C F * x 2 x A dy A A I II H M f упр упр z Рис. 6. Левая часть стержня 53 Основным методом решения задач на изгиб является метод плоских сечений, который сводится к рассмотрению произвольной части стержня в состоянии равновесия. Выделим часть стержня AH плоским сечением I – II, проведенным перпендикулярно AB через произвольную точку H с координатой x (рис. 5 и 6). В состоянии равновесия этой части ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = ∑ ∑ 0 M 0 F (5) Рассматриваемая часть стержня испытывает действие силы реакции опоры C N , силы тяжести части AH стержня Mx g L , силы взаимодействия с частью HB стержня – * F и силы упругости упр f , которая меняется в зависимости от выбора слоя стержня (рис. 6). Тогда условие равновесия (5) запишется в виде * упр C * C упр Mx f N F g L Mx N g F f 0 L M M M M 0 ⎧ + + + = ⎪ ⎨ + + + = ⎪ ⎩ (6) В проекции на оси Ay и Az (ось перпендикулярна плоскости чертежа и направлена на нас) имеем (рис. 6) упр * C 2 * f Mgx N F 0 L Mgx F x M 0 L ⎧− + + = ⎪⎪ ⎨ ⎪ + − = ⎪⎩ (7) Определим момент упругих сил упр f M . Поскольку величина сил упругости меняется при переходе от слоя к слою (т.к. удлинение слоев Δ l различно для каждого слоя (рис. 5)), то результирующий момент сил упругости равен сумме моментов сил каждого слоя, то есть упр упр f f М dM = ∫ Момент сил упругости упр f dM произвольного слоя части стержня AH, расположенного на расстоянии y от оси (рис. 6), равен упр f упр dM y df = . Длина этого слоя изменяется на величину ϕ y l = Δ , где φ – угловой размер дуги AH при изгибе стержня (рис. 5). Относительное удлинение слоя равно x l Δ . Поэтому сила, действующая на слой длиной x,высотой dy, согласно (1) и (2) равна упр y df dS E a dy x ϕ σ = = . Данная сила создает вращающий момент относительно оси Аz: Проинтегрировав по переменной величине y от 2 b − до 2 b , получим суммарный момент сил упругости При малых углах (см. рис. 7) справедливо ϕ dx d λ ϕ Рис. 7. Линия изгиба стержня упр 2 f упр dM y df E a y dy x ϕ = = упр упр b 2 3 2 f f b 2 E a b М dM E a y dy x 12 x ϕ ϕ − = = = ∫ ∫ 54 соотношение dx d λ ϕ = . С учетом этого момент сил упругости будет равен упр 3 f E a b d М 12x dx λ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ (8) Решая совместно (3), (7) и (8), получим Для определения величины стрелы прогиба λ стержня необходимо проинтегрировать равенство (8), в пределах интегрирования [ ] λ λ , 0 ∈ и ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣ ⎡ ∈ 2 L , 0 x Стрела прогиба стержня Таким образом, стрела прогиба равна сумме двух независимых величин (см. рис. 8): − 3 1 3 5MgL 32Eab λ = – стрела прогиба, вызванная действием собственного веса стержня, в отсутствии силы F; − 3 2 3 FL 4Eab λ = – стрела прогиба, вызванная действием силы F. λ Mg λ Mg+F 1 1 λ 2 + Рис. 8. Изгиб балки под действием собственного веса и под действием внешней силы F При проведении измерений совместим уровень отсчета стрелы прогиба с положением стержня, деформированного под действием собственного веса. Тогда λ изм = λ 2 , откуда 3 3 изм F L E 4 a b λ = (11) |