Методичка ЛР по физике. Методические рекомендации к выполнению аудиторных лабораторных работ по курсу Механика
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
. При использовании измерительных приборов их необходимо разделять на приборы, содержащие схемы пересчета непосредственно измеряемых величин в другие (спидометр, омметр и т.д.) и не содержащих подобные схемы. Будьте внимательны. Первые приборы выдают косвенно измеряемые величины. 1 Обработка результатов прямых измерений При обработке результатов прямых измерений физической величины х возможна реализация одного из двух способов вычисления доверительного интервала. Первый способ. Однократные измерения. Если в процессе эксперимента на результат измерений не оказывают существенного влияния случайные процессы, то среднее значение величины х ср будет равно измеренному, а абсолютная погрешность − половине цены деления прибора. Абсолютная погрешность цифровых приборов определяют: а) по паспорту к прибору; б) по разряду последней значащей цифры. Второй способ. Многократные измерения. Учет случайных процессов предполагает следующую схему расчета доверительного интервала 1. Провести серию измерений изучаемой величины х: x 1 , x 2 , x 3 … x N 2. Найти среднее значение величины х: N x N x ... x x x x N 1 i i N 3 2 1 ср ∑ = = + + + + = 3. Определить среднеквадратичное отклонение: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 1 N ( N x x ) 1 N ( N x x ... x x x x x x N 1 i 2 ср i 2 ср N 2 ср 3 2 ср 2 2 ср 1 x − − = − − + + − + − + − = ∑ = σ 4. Найти ошибки измерений: − случайную: x N сл t σ σ α = , 69 где α N t - коэффициент Стьюдента, численное значение которого для различных N и α приведено в Таблице 1; − систематическую: 2 прибора ного измеритель деления цена сис = σ ; − абсолютную: 2 сис 2 сл x σ σ + = Δ ; − относительную: % 100 x x ср Δ = ε 5. Записать результат эксперимента: ) х x ( x ср Δ ± = Таблица 1 Значения коэффициент Стьюдента Коэффициент надежности (α) Число измерений (N - 1) 0,8 0,9 0,95 2 1,9 6,3 12,7 3 1,6 2,9 4,3 4 1,5 2,4 3,2 5 1,5 2,1 2,8 6 1,4 2,0 2,6 7 1,4 1,9 2,4 8 1,4 1,9 2,4 9 1,4 1,9 2,3 10 1,4 1,8 2,3 2 Обработка результатов косвенных измерений В большинстве случаев имеют дело с косвенными измерениями. Пусть х, y, z – непосредственно измеряемые величины, а W = f (х, y, z) – их функция, то есть величина, измеряемая косвенно. Рассмотрим два способа вычисления доверительного интервала величины W. Первый способ. Если косвенные измерения проводятся в невоспроизводимых условиях, то значения W i вычисляются для каждого отдельного измерения, а затем обрабатываются как прямые измерения. Второй способ позволяет вычислить погрешность косвенного измерения как функцию погрешностей прямых измерений. Следует иметь в виду, что величина ошибки косвенно измеренной величины и порядок ее вычисления, зависят от того однократными или многократными измерениями получены непосредственно измеряемые величины. Далее остановимся подробнее на обоих вариантах. Все непосредственно измеряемые величины получены путем однократных измерений 1. Для каждой непосредственно измеренной величины определить доверительный интервал: ) z z ( z ) y y ( y ) х x ( x ср ср ср Δ Δ Δ ± = ± = ± = 2. Найти среднее значение величины W: ) z , y , x ( f W ср ср ср ср = 3. Найти ошибку измерений: − абсолютную: W Δ ; 70 − относительную: % 100 W W ср Δ ε = Абсолютная и относительная ошибки определяются по виду математического выражения, дающего измеряемую физическую величину. В Таблице 2 приведены некоторые из них. Таблица 2 Формулы определения абсолютной и относительной погрешностей Погрешность № Математическое выражение абсолютная (ΔW) Относительная ( ε )·100% 1 А + В + С ( A B C ) Δ Δ Δ + + ( A B C ) A B C Δ Δ Δ + + + + 2 А - В ( A B ) Δ Δ + ( A B ) A B Δ Δ + − 3 А ·В ( A B B A ) Δ Δ + A B A B Δ Δ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4 А · В · С ( AC B BC A AB C ) Δ Δ Δ + + A B C A B C Δ Δ Δ ⎛ ⎞ + + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 5 A B 2 A B B A B Δ Δ + ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ A B A B Δ Δ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 6 А n n 1 n A A Δ − A n A Δ 7 sinA cosA A Δ ctgA A Δ 8 cosA sin A A Δ tgA A Δ 5. Записать результат эксперимента: ) W W ( W ср Δ ± = Все или некоторые непосредственно измеряемые величины получены путем многократных измерений 1. Для каждой непосредственно измеренной величины определить доверительный интервал: ) z z ( z ) y y ( y ) х x ( x ср ср ср Δ Δ Δ ± = ± = ± = 2. Найти среднее значение величины W: ) z , y , x ( f W ср ср ср ср = 3. Определить среднеквадратичное отклонение: 2 2 2 W z z W y y W x x W ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ = Δ Δ Δ σ 4. Найти ошибку измерений: − абсолютную: W W σ γ Δ α = , где α γ - коэффициент Чебышева, численное значение которого для различных α приведено в Таблице 3; 71 − относительную: % 100 W W ср Δ ε = 6. Записать результат эксперимента: ) W W ( W ср Δ ± = Таблица 3 Значения коэффициент α γ для неравенства Чебышева α 0,8 0,9 0,95 α γ 2,2 3,2 4,4 Приложение 3 Метод анализа размерностей Метод анализа размерностей применяется, во-первых, для быстрой проверки правильности получаемых при решении задач формул и, во-вторых, для установления вида ранее неизвестных зависимостей между различными величинами. Проиллюстрируем его применение на примере определения математического выражения модуля центростремительного ускорения. Предположим, что в результате исследования равномерного движения по окружности для модуля центростремительного ускорения было получено выражение Верно ли оно? Чтобы установить это, проверим формулу на условие равенства размерностей обеих её частей. Эти размерности не совпадают, значит, формула а = v 3 R неверна. Попытаемся теперь установить правильную зависимость центростремительного ускорения от скорости движения и радиуса окружности, по которой движется тело. Для этого представим ускорение в виде где α и β — неизвестные показатели степени, которые требуется определить. Значения α = 3, β = 1, как мы видели выше, являются неверными. Чему же равны их а = v 3 R. [а] = м с -2 ( ) ( ) ( ) 3 4 1 3 м v R м м с с − ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ = = ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ . а = v α R β , (1) ЗАКОН ВЕРОЯТНОСТНОГО ДВИЖЕНИЯ Интересно проследить, как изменяется в ходе прогулки по парку ширина области, в которой (с большей вероятностью) находится гуляющий. Ширина этой области (расстояние до диагональной дорожки) пропорциональна среднеквадратичному отклонению, то есть квадратному корню из числа пройденных «кварталов». Так что если запустить в парк толпу гуляющих с одинаковой скоростью людей, то размер этой толпы будет расти пропорционально корню из времени прогулки. Аналогично растёт, например, диаметр капли чернил в воде: ведь движение молекулы чернил – это случайное блуждание между молекулами воды (А. Селиверстов). 72 истинные значения? Для ответа на этот вопрос приравняем размерности обеих частей равенства (1) или Приравнивая далее показатели степени у метров ( м) и секунд (с) слева и справа, получаем систему уравнений Решая её, находим: α = 2, β = -1. Подстановка полученных значений в формулу (1) даёт Это и есть правильная формула. Заметим, правда, что мы определили зависимость а от v и R лишь с точностью до постоянного безразмерного коэффициента. Ведь если домножить правую часть равенства (2) на какое-либо безразмерное число к, то равенство размерностей обеих его частей по-прежнему сохранится. Следовательно, в действительности нами установлено, что а = kv 2 /R, где значение к методом анализа размерностей определить невозможно. Приложение 4 Обработка результатов косвенных измерений физической величины полученной в невоспроизводимых условиях Задание: определить коэффициент упругости пружины 1. Собрать установку, как показано на рисунке 2. Держась за динамометр, растянуть пружину на l = 1 см. Измерить силу. Результат измерения занести в Таблицу 4. 2. Повторить пункт 1, растянув пружину на 2, 3, 4 и 5 см. 3. По формуле F k l = вычислить угловой коэффициент упругости пружины. Оценить точность измерения. 4. Построить график зависимости силы F от удлинения пружины Таблица 4 l ·10 -2 , м 1 2 3 4 5 F, Н k, Н/м Выполнение задания 5. Провели серию измерений. Результаты измерений представлены в Таблице 5. Таблица 5 l ·10 -2 , м 1 2 3 4 5 F, Н 0,30 0,65 0,90 1,25 1,55 k, Н/м 30 32,5 30 31 31 м с -2 = (м/с) α (м) β м с -2 = м α+β с -α . 1 = α + β; -2 = -α. а = v 2 /R. (2) Рис. 2. Общий вид экспериментальной установки 73 6. Среднее значение: k ср = 31 Н/м. 7. Среднеквадратичное отклонение: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 N i ср k i 1 k k 30 31 32,5 31 30 31 31 31 31 31 N N 1 5 5 1 H 3 . м σ = − − + − + − + − + − = = = − − = ∑ 8. Ошибка измерений: − абсолютная: k Δ = N k t α σ = 6,1 Н/м; − относительная: ε = ср k 100% k Δ = 19%; − Результат измерений: k = (3,1 ± 0,6)·10 Н/м. График зависимости силы F от удлинения пружины l 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 F, H F=kl |