методичка геометрия. Методические рекомендации по изучению дисциплины геометрия Оглавление Структура и содержание дисциплины 2
 Скачать 58.46 Kb.
|
СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙМодуль Модуль 1.1. Векторная алгебра. Сумма и разность векторов. Умножение вектора на число. Коллинеарность и равенство векторов. Необходимое и достаточное условие коллине- арности. Линейная зависимость/ независимость векторов. Разложение вектора по базису. Ко- ординаты вектора в базисе. Длина вектора в ортонормированном базисе. Скалярное произве- дение векторов. Необходимое и достаточное условие перпендикулярности векторов. Направ- ляющие косинусы вектора. Векторное произведение векторов. Площадь треугольника. Сме- шанное произведение векторов. Признак компланарности трех векторов. Ориентация тройки векторов. Объем тетраэдра. Модуль 1.2. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямые и плоскости в пространстве. Координаты точки и вектора в АСК. Расстояние между двумя точками в ПДСК. Деление отрезка в данном отношении. Преобразование аффинных и прямоугольных координат. Полярные координаты. Переход от прямоугольных координат к полярным. Окружность. Сфера. Уравнение прямой на плоскости. Условия, определяющие полуплоскости с заданной границей. Взаимное расположение двух прямых на плоскости. Угол между двумя прямыми. Расстояние от точки до прямой. Уравнение плоскости. Условия, определяющие полупространства с заданной границей. Взаимное расположение двух и трех плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Расстояние от точки до плоскости. Уравнение прямой в пространстве. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Модуль 1.3. Линии и поверхности второго порядка. Определение, каноническое уравнение эллипса. Изучение формы эллипса по его каноническому уравнению. Эксцентри- ситет и директрисы эллипса. Определение, каноническое уравнение гиперболы. Изучение формы гиперболы по ее каноническому уравнению. Эксцентриситет, директрисы и асимптоты гиперболы. Определение, каноническое уравнение параболы, ее директриса и фокальный параметр. Изучение формы параболы по ее каноническому уравнению. Исследование формы поверхности второго порядка методом сечений. Поверхности вращения, цилиндрические и конические поверхности. Эллипсоид. Гиперболоиды. Параболоиды. Уравнения поверхностей второго порядка, их сечения. Взаимное расположение поверхностей второго порядка с прямыми и плоскостями. Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка. Модуль Модуль 2.1. Преобразования плоскости. Движения первого и второго рода. Инвари- антные точки и прямые. Подобие. Гомотетия. Определение вида преобразования по его ана- литическому заданию. Аффинные преобразования. Перспективно - аффинные преобразования. Приложение теории преобразований к решению задач элементарной геометрии. Модуль 2.2. Проективная геометрия. Построение точек по их проективным коорди- натам на моделях проективной прямой и проективной плоскости. Уравнение прямой на про- ективной плоскости, координаты прямой. Преобразование проективных координат. Принцип двойственности. Теорема Дезарга, ее приложение к решению конструктивных задач. Проек- тивные и перспективные отображения и преобразования. Сложное отношение точек прямой; прямых пучка. Гармонические четверки. Приложение теоремы о свойствах полного четырех- вершинника к решению конструктивных задач. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Задачи на построение по теоремам Штейнера и Паскаля. Модуль 2.3. Методы изображения фигур. Центральное и параллельное проецирование. Изображение плоских и пространственных фигур при параллельном проецировании. Изображение плоских и пространственных фигур при аксонометрическом проецировании. Полные и неполные изображения. Позиционные и метрические задачи. Модуль Модуль 3.1. Основания геометрии. Абсолютная геометрия. Обоснование евклидовой геометрии по Вейлю. Модуль 3.2. Планиметрия Лобачевского. Прямые на плоскости Лобачевского. Треугольники и четырехугольники. Модуль 3.3. Общие вопросы аксиоматики. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Система аксиом Вейля. Требования, предъявляемые к системе аксиом: непротиворечивость, независимость, полнота. СОДЕРЖАНИЕ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ:Модуль Модуль 1.1. Векторная алгебра. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Нелинейные операции над векторами (скалярное, векторное, смешанное произведение). Модуль 1.2. Метод координат на плоскости и в пространстве. Прямые и плоско- сти в пространстве. Преобразование координат в пространстве. Полярные координаты. Взаимное расположение прямых в пространстве; прямой и плоскости. Модуль 1.3. Линии и поверхности второго порядка. Построение эллипса, гиперболы, параболы. Уравнения эллипса, гиперболы, параболы в полярных координатах. Общее уравнение линии второго порядка. Взаимное расположение линии второго порядка и прямой. Асимптотические направления. Касательная к линии второго порядка. Центр линии второго порядка, центральные и нецентральные линии. Диаметры линии второго порядка, их свойства. Сопряженные направления, главные направления, главные диаметры. Классификация линий второго порядка. Приведение уравнения линии второго порядка к каноническому виду. Модуль Модуль 2.1. Преобразования плоскости. Группа симметрий геометрической фигуры. Группа вращений. Косое сжатие и сдвиг плоскости. Инверсия как пример неаффинного пре- образования плоскости. Аффинная эквивалентность линий второго порядка. Модуль 2.2. Проективная геометрия. Построение точек по их проективным коорди- натам на модели проективной плоскости. Однородные координаты точки на проективной прямой и на проективной плоскости. Полюс и поляра овальной кривой. Задачи на построение по теоремам Штейнера и Паскаля. Модуль 2.3. Методы изображения фигур. Позиционные задачи и метрические задачи аксонометрии. Метод Монжа. Модуль Модуль 3.1. Основания геометрии. Обоснование евклидовой геометрии по Вейлю. Модуль 3.2. Планиметрия Лобачевского. Решение задач об окружности, эквидистанте, орицикле на плоскости Лобачевского. Модуль 3.3. Общие вопросы аксиоматики. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского. Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского (в модели Пуанкаре). |