методичка геометрия. Методические рекомендации по изучению дисциплины геометрия Оглавление Структура и содержание дисциплины 2
 Скачать 58.46 Kb.
|
Вид контроля по курсу:Зачет в форме теста. ВОПРОСЫ для самоконтроля1.Понятие вектора и скаляра. Коллинеарность и равенство векторов. Сонаправленные и противоположно направленные векторы. Сложение и вычитание векторов, свойства. 2. Умножение вектора на число, свойства. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов. 3.. Линейная зависимость векторов. Свойства. Геометрический смысл линейной зависимости векторов. 4. Понятие свободного, скользящего и связанного векторов в векторном пространстве. Базис векторного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора, их свойства 5. Длина вектора в ортонормированном базисе. Геометрический смысл координат в ортонормированном базисе. 6. Скалярное произведение векторов, его свойства. Скалярного произведения векторов в ортонормированном базисе. 7. Векторное произведение векторов, его свойства. Векторное произведение векторов в ор- тонормированном базисе. Приложение векторного произведения к вычислению площади треугольника. 8. Смешанное произведение векторов, его свойства. Смешанное произведение векторов в ортонормированном базисе. Геометрический смысл смешанного произведения. Признак компланарности трех векторов Обьем тетраэдра. 9.Аффинная система координат на плоскости. Координаты точки и вектора в АСК. 10.Прямоугольная декартова система координат на плоскости. Расстояние между точками. 11.Деление отрезка в данном отношении. 12.Преобразование аффинных координат. 13.Преобразования прямоугольных координат. 14.Полярная система координат на плоскости. Переход от прямоугольной системы к полярной. 15.Метод координат на плоскости, примеры. 16.Алгебраическая линия, окружность. 17.Различные способы задания прямой на плоскости. Каноническое уравнение прямой. Уравнение прямой, заданной двумя точками. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Параметрическое задание прямой. Уравнение прямой в отрезках. 18.Общее уравнение прямой. Частные случаи расположения прямой в прямоугольной сис- теме координат. 19.Условия, определяющие полуплоскости с заданной границей. 20.Взаимное расположение двух прямых на плоскости. 21.Расстояние от точки до прямой. 22.Угол между двумя прямыми. 23.Аффинная система координат в пространстве. Координаты точки и вектора в АСК. 24.Прямоугольная декартова система координат в пространстве. Расстояние между точками. 25.Преобразование аффинных координат в пространстве. 26.Преобразование прямоугольных координат в пространстве. 27.Метод координат в пространстве. Уравнения поверхности. Сфера. 28.Различные способы задания плоскости. Каноническое уравнение плоскости. Уравнение плоскости, заданной тремя точками. Параметрическое уравнение. Уравнение в отрезках. Нормальное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Частные случаи расположения плоскости в АСК. Лемма о параллельности вектора и плоскости. Условия, определяющие полупространства с заданной границей. Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Взаимное расположение трех плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Расстояние между двумя параллельными плоскостями. Различные способы задания прямой в пространстве. Каноническое уравнение и уравне- ние прямой, заданной двумя точками. Уравнение прямой, заданной двумя плоскостями. Лемма о координатах направляющего вектора прямой в пространстве. Параметрические уравнения прямой. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Взаимное расположение прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью. Эллипс. Каноническое уравнение эллипса Геометрические свойства эллипса. Эксцентриситет и директрисы эллипса. Гипербола. Каноническое уравнение гиперболы. Геометрические свойства гиперболы и прямой. равносторонняя гипербола. Эксцентриситет и директрисы гиперболы. Взаимное расположение гиперболы и прямой, проходящей через центр гиперболы. Парабола. Каноническое уравнение. Геометрические свойства параболы. Понятие поверхности второго порядка. Метод сечений. Поверхности вращения. Цилиндрические поверхности . Типы цилиндрических поверхностей второго порядка и их канонические уравнения. Конические поверхности второго порядка. Круговая коническая поверхность и ее сечения. Каноническое уравнение эллипсоида. Сечение эллипсоида. Эллипсоид вращения. Каноническое уравнение однополостного гиперболоида. Однополостный гиперболоид вращения. Пересечение однополостного гиперболоида с прямыми, проходящими через его центр. Сечения однополостного гиперболоида. Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида Двуполостный гиперболоид вра- щения. Сечения двуполостного гиперболоида. Каноническое уравнение эллиптического параболоида. Параболоид вращения. Сечения эллиптического параболоида. Каноническое уравнение гиперболического параболоида. Сечения гиперболического параболоида Прямолинейные образующие цилиндрической и конической поверхностей, эллипсоида, двуполостного гиперболоида и эллиптического параболоида. Прямолинейные образующие однополостного гиперболоида. Свойства. Прямолинейные образующие гиперболического параболоида. Отображение и преобразование множеств. Группа преобразований множества. Подгруппа группы преобразований. Движение плоскости. Параллельный перенос. Центральная симметрия. Тождественное преобразование на плоскости. Свойства движения плоскости. Движения 1 и 2 рода на плоскости. Поворот. Осевая симметрия. Аналитическое выражение движения плоскости. Инвариантные точки и прямые движения плоскости. Классификация движений 1 рода на плоскости. Классификация движений 2 рода на плоскости. Типы движений плоскости, их инвариантные точки и прямые (таблица). Произведение двух движений плоскости. Разложение движения в произведение осевых симметрий. Группа движений плоскости и ее подгруппы. Конгруэнтность фигур. Равенство треугольников. Группа симметрий геометрической фигуры. Элементы симметрии. Свойства группы симметрий ограниченной фигуры. Преобразования подобия плоскости. Гомотетия, ее свойства. Произведение подобия и гомотетии. Подобия 1 и 2 рода на плоскости. Аналитическое выражение подобия плоскости. Теорема о существовании и единствен- ности неподвижной точки подобия. Группа подобий плоскости, ее подгруппами Подобные фигуры. Подобие треугольников. Подобие линий второго порядка Аффинные преобразования плоскости. Свойства Аналитическое выражение аффинного преобразования плоскости. Перспективно - аффинное преобразование, свойства. Косое сжатие и сдвиг плоскости. Свойства сжатия. Группа аффинных преобразований плоскости. Аффинно-эквивалентные фигуры. Аффинная эквивалентность линии второго порядка. Проективное пространство. Проективные координаты. Перспективное отображение прямой в пучок прямых. Расширенная прямая Однородные аффинные координаты точек проективной прямой. Перспективное отображение плоскости в связку прямых. Расширенная плоскость. Проективный репер на расширенной плоскости. Однородные аффинные координаты точек проективной плоскости. 8. Уравнение прямой на проективной плоскости. Координаты прямой. Преобразование проективных координат. Простейшие свойства проективной плоскости и трехмерного проективного пространства Принцип двойственности на проективной плоскости и в трехмерном проективном про- странстве. Теорема Дезарга Проективное отображение. Проективное преобразование. Проективная группа пространства Р (V). Предмет проективной геометрии. Плоскость Р(V*), двойственная проективной плоскости Р (V). Перспективные отображения прямой на прямую и пучка в пучок. 18. Сложное отноше- ние четырех точек прямой. Теорема о независимости сложного отношения от выбора репера на прямой. Свойства сложного отношения точек. Теорема о координатах точки и сложном отноше- нии. Сложное отношение четырех прямых пучка. Гармонические четверки. Теорема о свойствах полного четырехвершинника. Инвариантные точки и прямые проективного преобразования плоскости. Гомология и ее частные случаи. Кривые второго порядка на проективной плоскости. Теорема о взаимном расположении кривых второго порядка и прямой на проективной плоскости.. Касательная к кривым второго порядка на проективной плоскости. Полюс и поляра. Поляритет. Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости. Теорема Штейнера. Обратная теорема Штейнера. Следствия из теоремы Штейнера. Задача о построении касательной и точки овальной кривой второго порядка, заданной четырьмя точками и касательной в одной из них. Теорема Паскаля. Обратная теорема Паскаля. Основные понятия теории изображений. Центральное проектирование. Требования к изображениям. Параллельное проектирование. Частные случаи. Изображение треугольника, четырехугольника и n- угольника при параллельном проек- тировании. Изображения окружности при параллельном проектировании. Изображения призмы и пирамиды при параллельном проектировании. Изображения цилиндра при параллельном проектировании. Изображения конуса при параллельном проектировании. Изображения шара при параллельном проектировании Метод Монжа. Аксонометрическое проектирование. Теорема Польке - Шварца. Типы аксонометрических проекций. Главные направления аффинного преобразования евклидовой плоскости. Изображение точек прямых и плоскостей при аксонометрическом проектировании. Позиционные задачи. Полные изображения. Позиционные задачи. Неполные изображения. Метрические задачи. Метрические определенное изображение. Понятие о математической структуре. Аксиоматический метод в математике. Интерпретации системы аксиом. Внутренняя и содержательная непротиворечивость. Изоморфизм структур. Требования к системе аксиом. Независимость. Требования к системе аксиом. Полнота. "Начала" Евклида. V постулат. Теоремы Саккери-Лежандра. Система аксиом Гильберта. Аксиомы I, II и III групп. Система аксиом Гильберта. Аксиомы IV, V групп. Сечение Дедекинда. Аксиома V* Лобачевского. Параллельные и расходящиеся прямые в геометрии Лоба- чевского, их свойства. Треугольники и четырехугольники на плоскости Лобачевского. Окружность на плоскости Лобачевского и ее свойства. Эквидистанта и ее свойства. Орицикл и его свойства. Модель Кэли-Клейна плоскости Лобачевского. Доказательство непротиворечивости геометрии Лобачевского в модели Кэли-Клейна. ЛитератураАтанасян Л.С. Геометрия: учебное пособие для студентов физ.- мат. фак-тов пед. ин- тов. В 2 ч. Ч. 1 / Л. С. Атанасян. - М.: Просвещение, 1973. - 480 с. http://m.diary.ru/ |