Математика. Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02. Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика
 Скачать 2.28 Mb.
|
|
ТАБЛИЦА ВЫБОРА ЗАДАЧ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ № 2
ЗАДАНИЯ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ Аналитическая геометрия на плоскости Задачи 1–10 Даны точки А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3, у3). Сделать чертеж и найти: длину отрезка АВ; уравнение прямой, проходящей через точки А и В; уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно прямой АВ; уравнение прямой, проходящей через вершину С перпендикулярнопрямой АВ; расстояние от точки С до прямой АВ.
Методические указания к решению задач 1 – 10 Приведём основные формулы аналитической геометрии на плоскости. 1.Формула расстояния между двумя точками А(хA;уA) и В(хB;уB):  2. Уравнения прямой на плоскости Прямую линию на плоскости можно задавать различными способами, приведем некоторые их них. Общее уравнение прямой: Ax + By + C = 0,  Уравнение прямой с угловым коэффициентом k: y = kx+b. Если известны координаты двух различных точек А(хA;уA) и В(хB;уB) на прямой, то угловой коэффициент можно вычислить по формуле  Уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом k и проходящей через точку (x0;y0):  Если в этом уравнении менять k, то получим семейство прямых, проходящих через точку (x0;y0), которое называют «пучком прямых». Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки А(хA;уA) и В(хB;уB):  .Если  , то прямая параллельна оси Oy, её уравнение: x = xA.Если  , то прямая параллельна оси Ox, её уравнение: y = yA.3. Взаимное расположение прямых. Пусть k1 и k2 – угловые коэффициенты двух прямых. Условие параллельности прямых:  .Условие перпендикулярности прямых:  .4. Положение точки относительно прямой. Формула нахождения расстояния от точки М(x0;y0) до прямой Ax + By + C = 0:  Точка М(x0;y0) лежит на прямой Ax + By + C = 0 тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению прямой, то есть справедливо равенство Ax0 + By0 + C = 0. Очевидно, что в этом случае d = 0. Задача. Рассмотрим решение задачи, аналогичной задачам 1-10, если даны точки А(2;1), В(–4;4), С(–1,5). Решение. Начнем решение задачи с выполнения чертежа (рис. 1). Построим точки А(2;1), В(–4;4), С(–1;5) в прямоугольной системе координат Oxy. Проведем прямую АВ, уравнение которой необходимо найти, а затем через точку С проведем прямую СК параллельно АВ и прямую СDперпендикулярно АВ.  Рис. 1 1. Длину отрезка АВ находим как расстояние между двумя точками А(2;1) и В(–4;4):   2. Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две заданные точки А(хA;уA) и В(хB;уB) : ,в нашем случае:  , то есть  .Запишем пропорцию: 3×(х – 2) = – 6×(у – 1), раскроем скобки и перенесём все слагаемые в левую часть уравнения, получим окончательный ответ 3х + 6у – 12 = 0 − уравнение прямой АВ. 3. Найдем угловой коэффициент прямой АВ:  по условию перпендикулярности прямых СDи АВ:  Тогда  Уравнение прямой СD запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С: .Подставив в уравнение координаты точки С(– 1, 5) и значение  получим у –5=2(х+1);у –5=2х+2; 2х – у+7=0 – уравнение прямой СD. 4. По условию параллельности прямых СЕ и АВ:  . Уравнение прямой СЕ запишем в виде уравнения пучка прямых, проходящих через точку С: . Подставив в уравнение координаты точки С(– 1, 5) и значение  , получим у –5=− (х+1);у –5=−0,5х−0,5; 0,5х + у−4,5=0 – уравнение прямой СЕ. 5. Расстояние от точки С до прямой АВ найдёмпоформуле Уравнение прямой АВ найдено ранее (см. пункт 2): 3х + 6у – 12 = 0. Тогда  .Ответы. 1)  2) 3х + 6у – 12 = 0 − уравнение прямой АВ; 3) 2х – у+7=0 – уравнение прямой СD; 4) 0,5х + у−4,5=0 – уравнение прямой СЕ; 5) d=  .Введение в математический анализ Задачи 11–20 Вычислить пределы функции y=f(x), при указанном поведении аргумента x. 11.  ;а)  ; б ) ; в)  ; г)  ; д)  .12.  ; а)  ; б ) ; в) ; г) ; д) .13.  ; а) ; б)  ; в) ; г) ; д) .14.  ; а)  ; б) ; в)  ; г)  ; д) .15.  ; а) ; б) ; в) ; г)  ; д) .16.  ; а) ; б) ; в) ; г)  ; д) .17.  ; а) ; б)  ; в)  ; г) ; д) .18.  ; а)  ; б) ; в) ; г)  ; д) .19.  ;а) ; б)  ; в)  ; г) ; д) .20.  ;а)  ; б) ; в)  ; г) ; д) . Методические указания к решению задач 11 – 20 Пределы функций, основные теоремы о пределах 1. Предел функции. Предел функции f(х)- это число А, к которому неограниченно приближаются значения функции при указанном стремлении аргумента х. 2. Теоремы о пределах. Пусть существуют конечные пределы  и  . Тогда справедливы следующие утверждения: ; ;  , где с – число;  , если  . 3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Бесконечно малой функцией при  называется функция  , предел которой равен нулю при :  . Если значения функции f(x) неограниченно возрастают по абсолютной величине при , то такую функцию называют бесконечно большой при . Предел этой функции обозначают знаком бесконечности  :  .Теоремы о связи бесконечно малых и бесконечно больших функций. Если  , то  .Если  , то  Утверждения всех вышеприведённых теорем также справедливы, если х ∞ (+∞ или −∞). Задача. Вычислить пределы функции  при  Решение. В задаче следует найти предел частного. С этой целью необходимо вычислить пределы числителя и знаменателя дроби, подставив в них предельное значение аргумента х. а)  .б)  .При подстановке  в числитель и знаменатель дроби убеждаемся, что их значения равны нулю, поэтому теорема о пределе частного здесь не применима. В данном случае говорят, что имеется неопределенность вида  . Неопределенность вида при может быть раскрыта сокращением дроби на множитель вида (х–х0), который обращает числитель и знаменатель дроби в нуль, в данном случае на (х+4). Поэтому следует разложить на множители числитель и знаменатель дроби.
Таким образом,  в)  Здесь применима теорема о пределе частного, так как предел знаменателя существует и не равен нулю. г)  Здесь использована теорема о связи бесконечно малой и бесконеч-но большой функций. д)  .Пределы числителя и знаменателя дроби равны . В этом случае говорят, что имеется неопределенность вида «бесконечность на бесконечность». Теорема о пределе частного здесь не применима.Чтобы раскрыть неопределенность вида  при , каждый член числителя и знаменателя дроби делят на x в наивысшей степени (в нашем примере на х2), отчего величина дроби не изменится, но исчезнет неопределенность.  так как     (по теореме о связи бесконечно большой и бесконечно малой функций). Ответы. а)  ; б)  ; в) 0; г) ∞; д)  .Дифференциальное исчисление функции одной переменной Задачи 21–30 Найти производные данных функций и их дифференциалы.
Методические указания к решению задач 21 – 30 Производная и дифференциал функции одной переменной 1. Понятие производной. Производной для функции у = f(х) в точке х0 называется предел отношения приращения функции у к приращению аргумента х, при условии, что приращение аргумента стремится к нулю и указанный предел существует: Производная f’(х0)показывает скорость изменения функции f(х) в точке х0. Геометрически f’(х0) = tg, где – угол наклона касательной, проведенной к графику функции f(х) в точке х0. Нахождение производной для функции f(х) называется её дифференцированием. 2. Дифференциал функции. Дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной dx= х:  3. Правила дифференцирования. Пусть даны дифференцируемые функции u(x) и | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
; 
;
.
; 
;
. 
; 
;
. 
; 
;
. 
; 
;
.
; 
;
. 
; 
;
. 
;
;
. 
; 
;
. 
; 
;
. 
(
является сложной, так как ее можно представить в виде
, где 
является сложной, так как ее можно представить в виде 
, где 
.