Математика. Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02. Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика

• Название: Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика
• Анкор: Математика
• Дата: 26.03.2023
• Размер: 2.28 Mb.
• Имя файла: Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02.doc
• Тип: Методические указания; #1015704
• страница: 9 из 10

Тема 4. Интегральное исчисление

и его приложения

Основные вопросы.

1. 
   Определённый интеграл, его геометрический смысл.
   
2. 
   Основные методы интегрирования.
   

Типовые задачи.

1. Найти неопределенные интегралы. Результаты прове­рить дифференцированием.
а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) .
2. Вычислить площади фигур, ограниченных линиями. Сделать чертеж.

а)	у = х2 ,	у = 0, х = 2;
б)	y = x3,	у = 8;
в)	y = x2,	y = ;
г)	y = 4 – x2,	у = х2 – 2x.

Тема 5. Дифференциальные уравнения

Основные вопросы.

1. 
   Понятие дифференциального уравнения и его порядка.
   
2. 
   Задача Коши для дифференциальных уравнений первого и второго порядков.
   
3. 
   Общее и частное решение дифференциального уравнения.
   
4. 
   Структура общего решения неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.
   

Типовые задачи.

1. Найти решение задачи Коши для дифференциального уравнения с разделяющимися переменными:

а) б)

2. Найти общее решение и частное решение, удовлетво­ряющее начальному условию, для следующих линейных уравне­ний:

а) б)

3. Найти общее решение и решение задачи Коши для однородных линейных ДУ с постоянными коэффициентами:





Тема 6. Аналитическая геометрия в пространстве

Основные вопросы.

1. 
   Линейные операции над векторами, заданными геометрически и в координатной форме.
   
2. 
   Скалярное произведение векторов.
   
3. 
   Понятие векторного произведения векторов, его вычисление в координатной форме.
   
4. 
   Условия коллинеарности и ортогональности векторов.
   
5. 
   Общее уравнение плоскости в пространстве. Его частные случаи.
   
6. 
   Общие и канонические уравнения прямой в пространстве.
   

Типовые задачи.

1. Найти вектор 4a– 3b, если а = 2i -5j, b = -i +4j.

2. Найти скалярное и векторное произведения векторов:

,

3. Найти параметр tтак, чтобы векторы a = -6i +7j -tk и

b = ti -2j +k были ортогональны.

4. Найти угол между векторами и .

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору .

6. Составить уравнение прямой, проходящей через точку параллельно вектору а= (3;2;0).

7. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки А(3;2;1) и В(0;2;5).

8. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .

9. Найти уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки: М₁(3; -1;5), М₂(-2;1;4) и М₃(0;-3;6).

Тема 7. Функции нескольких переменных

Основные вопросы.

1. 
   Понятие функции двух переменных, её графическое изображение. Линии уровня для функции двух переменных.
   
2. 
   Понятие частных производных, их смысл. Полный дифференциал для функции двух и трёх переменных.
   
3. 
   Производная по направлению, её смысл.
   
4. 
   Вектор-градиент, его смысл.
   
5. 
   Понятие экстремума для функции двух переменных, необходимые и достаточные условия существования экстремума.
   

Типовые задачи.

1. Найти уравнение линий уровня и построить несколько линий уровня для функции:

а) z = х – 2у; б) z = ху.
2. Найти частные производные и для функции:

а) б)

3. Найти градиент функции в точке М(2;1).

4. Найти производную функции в точке М(2;3) в направлении вектора .

5. Найти экстремум функции во всей её области определе­ния:



6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

в области

7. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге

Тема 8. Матрицы

Основные вопросы.

1. 
   Векторное пространство Rⁿ.
   
2. 
   Матрицы, действия над матрицами.
   
3. 
   Определители. Свойства определителей.
   
4. 
   Обратная матрица.
   

Типовые задачи.

1. Вычислить определители:

а) , б) , с)

2. Вычислить обратную матрицу и сделать проверку:

а) , б) , с)

Тема 9. Система линейных алгебраических уравнений

Основные вопросы.

1. 
   Решение СЛАУ методом исключения Жордана-Гаусса.
   
2. 
   Решение СЛАУ методом Крамера и обратной матрицы.
   
3. 
   Решение однородных систем алгебраических уравнений.
   
4. 
   Фундаментальная система решений СЛАУ.
   

Типовые задачи.

1. Решить систему уравнений:

а) б)

2. Исследовать совместность системы уравнений и в случае совместности найти её общее решение:
а) б)
Тема 10. Задачи линейного программирования

Основные вопросы.

1. 
   Постановка задачи линейного программирования (ЛП).
   
2. 
   Выпуклые многогранники в Rⁿ. Геометрическая интерпретация решения задачи ЛП.
   
3. 
   Существование решения задачи ЛП. Задача ЛП как экстремальная задача функции нескольких переменных.
   
4. 
   Схема симплекс – метода.
   

Типовые задачи.

1. Для изготовления компота двух видов используются яблоки, вишни, сливы. Количество фруктов в килограммах для изготовле­ния одной банки компота и цена одной банки компота каждого вида даются в таблице:

Фрукты	Вид компота		Запасы фруктов
	Первый	Второй
Яблоки	1,6	0,8	8000
Вишни	0,4	0	1200
Сливы	0	1,2	9600
Цена одной банки, руб.	10	8

Составить план производства, дающий максимальный доход от реализации продукции.

2. Решить графически задачу линейного программирования:

.
Тема 11. Транспортная задача линейного программирования

Основные вопросы.

1. 
   Постановка транспортной задачи, сведение ее к задаче ЛП.
   
2. 
   Схема решения транспортной задачи.
   

Типовые задачи.

1. На трех станциях А₁, А₂, А₃ сосредоточен однородный груз соответственно в объемах 9,16,5 (т), который необходимо доста­вить четырем потребителям В₁, В₂, В₃, В₄ соответственно в объемах 11, 7, 8, 4 (т). Затраты на перевозку тонны груза из каждой станции до каждого потребителя заданы матрицей тарифов:

.

Требуется спланировать перевозки так, чтобы обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов.

Тема 12. Оптимизационные задачи

Основные вопросы.

1. 
   Экономические задачи, приводящие к задаче математического программирования. Построение математической модели.
   
2. 
   Задачи на безусловный экстремум, задача на условный экстремум, множители Лагранжа.
   

Типовые задачи.

1. 
   Найти экстремумы функции f(x)= 2x₁+4x₂приусловии
   

.

2. 
   Имеется 3 механизма: А₁, А₂, А₃, каждый из которых может быть использован на каждой из трёх видов работ: В₁, В₂, В₃. Производительность их даётся в таблице
   

	В1	В2	В3
А1	1	2	3
А2	2	4	1
А3	3	1	5

Требуется так распределить механизмы по видам работ, чтобы суммарная производительность была наибольшей, причём каждый механизм выполнял бы только один вид работ.

Тема 13. Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Основные вопросы.

1. 
   Испытание, события, виды событий.
   
2. 
   Классическое и статистическое определения вероятности.
   
3. 
   Теоремы сложения вероятностей для несовместных и совместных событий.
   
4. 
   Теоремы умножения вероятностей для независимых и зависимых событий.
   
5. 
   Вероятность появления хотя бы одного события.
   
6. 
   Полная группа событий.
   
7. 
   Формула полной вероятности и формула Байеса.
   

Типовые задачи.

1. Эксперт оценивает качественный уровень трех видов изделий по потребительским признакам. Вероятность того, что изделию первого вида будет присвоен знак качества, равна 0,95; для изделия второго вида эта вероятность равна 0,85; а для изделия третьего вида 0,65. Найти вероятность того, что знак качества будет присвоен: а) всем изделиям; б) только одному изделию; в) хотя бы одному изделию.

2. В партии товара, состоящей из 50 мужских костюмов, находится 30 изделий местного производства. Товаровед наудачу отбирает три изделия. Какова вероятность, что все три изделия окажутся:

а) местного производства; б) не местного производства?