Математика. Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02. Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика

• Название: Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика
• Анкор: Математика
• Дата: 26.03.2023
• Размер: 2.28 Mb.
• Имя файла: Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02.doc
• Тип: Методические указания; #1015704
• страница: 7 из 10

Линейная алгебра

Задачи 101–110
Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение, и найти его матричным способом. Сделать проверку.

101. 102.
103. 104.
105. 106.
107. 108.

109. 110.


Методические указания к решению задач 101 – 110

Матрицы и определители

Матрицей размера (m×n) называется прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах. Например, матрица имеет размер . В общем виде матрицу размера (m×n) записывают так:



Числа а_ij(i=1,2,…,m), (j=1,2,…,n), входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. Индекс i указывает номер строки, в которой находится элемент, j – номер столбца.

Матрица-строка – это матрица, состоящая из одной строки, матрица-столбец – матрица, состоящая из одного столбца.

Матрица, в которой число строк равняется числу столбцов (m=n), называется квадратной, число ее строк (столбцов) называ­ет­ся порядком квадратной матрицы.

Элементы квадратной матрицы образуют главную диагональ матрицы. Она идет из левого верхнего угла этой матрицы в ее правый нижний угол.

Единичной матрицей Е называют квадратную матрицу, у которой элементы, стоящие на главной диагонали, равны единице, а все остальные элементы равны нулю. Например, единичная матрица третьего порядка запишется следующим образом:

Для квадратных матриц вводится важнейшая числовая характеристика, которую называют определителем (детер­минантом) и обозначают одним из символов: Δ, det A, .

Рассмотрим сначала квадратную матрицу второго порядка. Ее определителем называется число, равное

.

Пример 1: .
Рассмотрим теперь определитель третьего порядка.
Δ =

Вычисление этого определителя может быть сведено к вычислению определителей второго порядка. Для этого введем понятия минора и алгебраического дополнения.

Минором М_ij определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, получающийся из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением А_ij элемента а_ij называется минор М_ij , взятый со знаком +, если сумма (i +j) – четное число, и со знаком – , если сумма (i +j) есть нечетное число:


Определитель третьего порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:
.
Пример 2:Вычислить определитель

.
Решение: Найдем определитель Δ, используя элементы первой строки этого определителя и их алгебраические дополнения

Вычислим А₁₁ – алгебраическое дополнение элемента а₁₁, то есть элемента, который находится в первой строке (i=1) и в первом столбце (j=1). Сумма i+j = 1+1 = 2 есть четное число, следовательно, А₁₁ = М₁₁. Далее, найдем М₁₁. Для этого в определителе Δ вычеркнем первую строку, так как i=1, и первый столбец, так как j=1. Оставшиеся, невычеркнутые, элементы запишем в виде определителя второго порядка. Получим

Найдем А₁₂ – алгебраическое дополнение элемента а₁₂. Здесь i=1, j=2. Сумма i+j = 1+2 = 3 есть нечетное число, значит А₁₂ = – М₁₂. Для нахождения М₁₂ вычеркнем в определителе Δ первую строку и второй столбец. Из оставшихся чисел составим определитель второго порядка, таким образом,

Аналогично, находим

Следовательно,
.
Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю.
Системой линейных алгебраических уравнений называется совокупность линейных уравнений

(1)
Здесь – неизвестные; – заданные числа, которые называют коэффициентами системы; – также известные числа, которые называют свободными членами системы.

Решением системы (1) называется любая совокупность значений неизвестных , после подстановки которых в систему все ее уравнения обращаются в верные равенства.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения.

Система уравнений может иметь единственное решение, в этом случае она называется совместной определенной. Если система уравнений имеет бесконечное множество решений, тогда она называется совместной неопределенной. Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной.

Матричный способ решения системы
Рассмотрим матричный способ решения системы на конкретном примере.

Задача. Показать, что система линейных уравнений имеет единственное решение. Найти его матричным способом. Сделать проверку.
(2)

Решение: Свяжем с этой системой матрицы A, X, B.
, ,
Матрица А – это матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных.

Матрица Х есть матрица-столбец из неизвестных.

Матрица В – матрица-столбец, составленная из свободных членов.

Систему уравнений (2) можно записать с помощью этих матриц:



или кратко, в матричном виде,
А∙Х = В
Поясним, как матрицу А умножить на матрицу-столбец Х. Заметим вначале, что результат произведения А∙Х есть матрица-столбец из трех элементов. Для того, чтобы получить первый элемент (в первой строке) этой матрицы, возьмем первую строку матрицы А - это числа 3; -3; 1, и умножим их соответственно на элементы столбца х₁, х₂, х₃ матрицы неизвестных Х, затем полученные произведения сложим: 3∙х₁+(-3)∙х₂+1∙х₃. Аналогично, поступим со второй и третьей строками матрицы А. Таким образом,

Заметим, что мы получили матрицу, элементы которой есть ни что иное, как левые части уравнений нашей системы (2).

Две матрицы называются равными, если у них соответствующие (стоящие на одинаковых местах) элементы равны.

В нашем случае матрица А∙Х равна матрице В:


Действительно, равенства соответствующих элементов этих матриц есть уравнения нашей системы. Таким образом мы показали, что систему (2) можно записать в виде А∙Х = В.

Решение системы (2) также можно записать с помощью матриц. Для этого введем понятие обратной матрицы.

Матрица А^-1 называется обратной для квадратной невырожденной матрицы А, если А^-1∙А= А∙А^-1 = Е, где Е единичная матрица такого же порядка, что и матрица А.

Отметим, что умножение матриц А и А^-1 происходит по тому же принципу, что и описанный выше, а именно: матрицу А умножим на первый столбец матрицы А^-1 получим первый столбец матрицы произведения А∙А^-1, затем матрицу А умножим на второй столбец матрицы А^-1, получим второй столбец матрицы произведения, аналогично получим третий столбец.

Далее, если матрица А невырожденная ( ), то система (2) имеет единственное решение и его можно найти по формуле

Х=А^-1∙ В,

где обратную матрицу А^-1 можно записать, используя алгебраические дополнения:


Следует обратить внимание на то, что алгебраические дополнения, соответствующие элементам строк данной матрицы А, располагаются в столбцах с теми же номерами, что и строки.

Покажем, что наша система имеет единственное решение, и найдем его.

Сначала найдем все алгебраические дополнения (более подробные разъяснения см. в примере 2).











Найдем определитель матрицы А.


Для вычисления определителя используем его разложение по элементам первой строки:



Тогда

Δ = 3∙6 + (-3)∙4 + 1∙1 = 18 - 12 + 1 = 7.
Видим, что Δ=7≠0. Значит, наша система имеет единственное решение.

Составим А^-1:



Найдем решение данной системы уравнений:




Здесь, в последнем действии, мы воспользовались правилом умножения матрицы на число: нужно каждый элемент матрицы умножить на это число (в примере это число ).

Далее, из равенства матриц


,

Проверка: имеем х₁ = 1, х₂ = 2, х₃ = 1.

Подставим найденные значения неизвестных х₁, х₂, х₃ в каждое уравнение системы


Все равенства верные.

Ответ: (1; 2; 1) – единственное решение системы.