Математика. Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02. Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика

• Название: Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика
• Анкор: Математика
• Дата: 26.03.2023
• Размер: 2.28 Mb.
• Имя файла: Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02.doc
• Тип: Методические указания; #1015704
• страница: 3 из 10

5. Таблица производных.

Производные основных элементарных функций	Производные сложных функций
1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.
10.	10.
11.	11.

Задача. Найти производные данных функций и их дифферен­циалы.

Решение. а) .

Приведем функцию y к виду, удобному для дифференцирова­ния, используя правила действия со степенями


По правилу дифференцирования суммы и разности функций:


Тогда дифференциал функции y:

.

б)
Воспользуемся правилом дифференцирования частного

, где .



Тогда дифференциал функции y:

.
в) .
Функция - сложная. Ее можно представить в виде , где Применим формулу .


Производную функции находим по правилу диффе­ренцирования произведения:

, где



Таким образом,


Тогда дифференциал функции y:

.

Исследование функции
Задачи31–40

Исследовать функцию y = f (x) средствами дифференциаль­ного исчисления и построить её график.
31. . 32. .

33. . 34. .

35. . 36. .

37. . 38. .
39. . 40. .

Методические указания к решению задач 31 – 40
1. Чётность, нечётность и периодичность функции.

Функция y = f(x) называется чётной, если для любых x из об­ласти определения функции справедливо равенство f(–x)= f(x), причём область определения также симметрична относительно точки 0, в этом случае график функции симметричен относительно оси Oy.

Для нечётной функции для любых x из области определения справедливо равенство f(–x)= – f(x), ее график симметричен отно­сительно начала координат.

Функция y = f(x) называется периодической, если существует число такое, что для любых x из области определения функ­ции справедливо f(x+T)= f(x).

2. 
   Проиллюстрируем на примере некоторые важные свойства гра­фика функции (рис. 2).
   

Рис. 2

Интервалы монотонности:

• 
  функция возрастает при ;
  
• 
  функция убывает при и .
  

Точки экстремума:

С – точка максимума (max); A – точка минимума (min).

Интервалы выпуклости и вогнутости:

• 
  функция выпуклая при ;
  
• 
  функция вогнутая при и при .
  

Точки В иDявляются точками перегиба, так как в них происхо­дит смена выпуклости и вогнутости.

2.Правило исследования функции y = f(x) на монотонность и

точки экстремума.

а) Вычислить первую производную .

б) Найти критические точки, то есть точки, в которых производная равна нулю или не существует.

в) Определить знак производной на интервалах между критиче­скими точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках монотонности функции со­гласно признакам монотонности:

если на (a;b), то функция убывает при ,

если на (a;b), то функция возрастает при .

д) Сделать выводы о наличии точек экстремума согласно достаточному признаку существования экстремума:

если при переходе слева направо через критическую точку произ­вод­ная меняет знак с плюса на минус, то – точка макси­мума; если с минуса на плюс, то – точка минимума.
3. Правило исследования функции y = f(x)на выпуклость,

вогнутость и точки перегиба.

а) Вычислить вторую производную .

б) Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, эти точки называются подозрительными на перегиб.

в) Определить знак второй производной на интервалах между найденными точками в области определения функции.

г) Сделать выводы о промежутках выпуклости и вогнутости со­гласно признакам выпуклости и вогнутости:

если на (a;b), то график вогнутый при ,

если на (a;b), то график выпуклый при

д) Сделать выводы о наличии точек перегиба согласно достаточ-ному условию существования точек перегиба: eсли при перехо­де через подозрительную на перегиб точку вторая производная меняет знак, то в этой точке имеется перегиб гра­фика функции.