Математика. Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02. Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика

• Название: Методические указания и задания к занятиям семинарского типа, контрольной и самостоятельной работе по дисциплине математика
• Анкор: Математика
• Дата: 26.03.2023
• Размер: 2.28 Mb.
• Имя файла: Б1.Б.11_ММ Математика 38.03.02.doc
• Тип: Методические указания; #1015704
• страница: 8 из 10

Линейное программирование

Задачи 111-120
Решить графически задачу линейного программирования (ЛП).
111. 112.
113. 114.
115. 116.
117. 118.

119. 120.

Методические указания к решению задач 111– 120

Постановка задачи линейного программирования

Многие экономические задачи связаны с нахождением наилучших решений в условиях многочисленных пожеланий и ограничений. Математическое описание таких задач приводит к составлению их математических моделей.

Построение математической модели экономической задачи включает следующие этапы:

1). выбор переменных задачи;

2). выбор и составление целевой функции;

3). составление системы ограничений.

Переменными задачи называются величины , которые полностью характеризуют экономический процесс.

Целевой функцией называют функцию переменных задачи, которая характеризует качество выполнения задачи, и экстремум которой требуется найти.

Системой ограничений называют систему уравнений и неравенств, которым должны удовлетворять переменные задачи.

Часто рассматривают наиболее простой случай, когда целевая функция и система ограничений являются линейными.

В общем виде математическая модель задачи линейного программирования имеет вид:

при ограничениях:




где – неизвестные; – заданные постоянные величины,
z = z (x₁, x₂ ,…, x_n) – целевая функция.
Допустимым решением (планом) задачи линейного программирования называется совокупность значений переменных х₁, х₂, …, х_n, удовлетворяющая системе ограничений, включая условия неотрицательности переменных. Множество допустимых решений образует область допустимых решений (ОДР).

Оптимальным решениемзадачи линейного программирования называется допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения (максимума или минимума).

Система ограничений задачи может содержать как уравнения, так и неравенства. Однако, ее всегда можно привести к виду, когда система содержит только уравнения (каноническая форма записи) или только неравенства (стандартная форма записи). В настоящее время задачи линейного программирования решаются с помощью компьютерных технологий. Если задача линейного программирования в стандартной форме записи содержит две переменные х₁ и х₂, то ее можно решить графически.
Графический метод решения задачи ЛП
Задача. Решить графически задачу линейного программирования
z =3х₁+4х₂ max

при ограничениях:




Р
ешение: Решение задачи состоит из двух этапов: построение ОДР и нахождения оптимального решения из допустимых.

1). Для построения области допустимых решений изобразим графически множество решений каждого неравенства системы ограничений.

a). Рассмотрим первое неравенство: . Множество решений этого неравенства есть полуплоскость с граничной прямой . Построим эту прямую по двум точкам, например, (0;15) и (10;0). На рис. 10 прямая - это прямая (1). Видим, что эта прямая разбивает координатную плоскость на две полуплоскости. Определим, какая из них задается неравенством . Это можно сделать с помощью пробной точки. В качестве пробной точки возьмем любую точку, не лежащую на граничной прямой. Например, точку (0,0). Подставим координаты этой точки в неравенство, получим



- верное неравенство.

Следовательно, искомая полуплоскость содержит точку (0,0), то есть, выбираем полуплоскость ниже прямой (1).

б). Аналогично, находим графически множество решений второго неравенства. Неравенство есть полуплоскость. Прямая - граница этой полуплоскости. Строим эту прямую, найдя координаты двух ее точек, например, (0;2/3) и (-2;0). На рис.10 прямая это прямая (2). Выбираем нужную нам полуплоскость с помощью пробной точки (0;0). Подставив точку (0;0) в рассматриваемое неравенство, получим


- неверное неравенство.

Следовательно, выбираем полуплоскость, которая не содержит точку (0;0), то есть полуплоскость, расположенную выше прямой (2).

с). Далее, множество решений третьего неравенства, , есть полуплоскость с граничной прямой . Строим эту прямую по двум точкам: (0;6) и (-10/3;0). На рис.10 это прямая (3). Искомую полуплоскость определим с помощью пробной точки (0;0): - верное неравенство. Следовательно, искомая полуплоскость содержит точку (0;0) и лежит ниже прямой (3).

Условия неотрицательности и означают, что область допустимых решений находится в I-й четверти.

Найдем множество точек, лежащих одновременно во всех полуплоскостях и в I-й четверти. В нашей задаче, на рис. 10, это четырехугольник АВСД. Точки, лежащие внутри и на границе этого четырехугольника, и есть допустимые решения задачи, очевидно, что их бесконечно много.

2). Из бесконечного множества допустимых решений нужно выбрать оптимальное. Это делается с помощью целевой функции z =3x₁+4x₂. На координатной плоскости эту функцию можно изобразить с помощью линий уровня, то есть с помощью линий, на которых значения функции zпостоянны, z = С (const)или 3x₁+4x₂=С. Графически, линии уровня есть семейство параллельных прямых. Покажем, как построить линии уровня.

Если масштабы по осям одинаковые, то построение можно начать с вектора , который перпендикулярен всем линиям уровня. Таким вектором является вектор-градиент , его координаты совпадают с коэффициентами целевой функции z. Вектор-градиент показывает направление быстрейшего возрастания функции z. Начало этого вектора удобно поместить в точке (0;0), тогда его конец будет в точке (3;4). Построим этот вектор и заметим, что при необходимости его длину можно увеличить, так как для решения задачи важно лишь направление этого вектора.

Линии уровня расположены перпендикулярно этому вектору . Проведем одну из них, которая пересекает ОДР. На рис.10 это прямая l.


l: 3x₁+4x₂=C
Рис. 10
Далее, перемещаем прямую l по направлению вектора . Точкой выхода этой прямой из области допустимых решений является точка В. Эта точка и есть точка максимума целевой функции. Видим, что точка В лежит на пересечении прямых (1) и (3). Ее координаты находим, решая систему уравнений:


Таким образом найдена точка В(10/3;10). Обратите внимание, что ее координаты должны соответствовать графику. Вычислим максимальное значение целевой функции:

z_max = z (B) =

Ответ: z_max = 50 при х₁=10/3, х₂ = 10.
Замечание: Для задач на минимум линию уровня перемещаем в направлении, противоположном вектору до тех пор, пока у нее не окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка и будет точкой минимума.

Если окажется, что линии уровня параллельны одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений.

Задача ЛП может быть неразрешима, если ее ограничения окажутся противоречивыми, тогда ОДР есть пустое множество.
ЗАДАНИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ

Тема 1. Аналитическая геометрия на плоскости

Основные вопросы.

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Смысл углового коэффициента, особенности расположения прямой в зависимости от величины углового коэффициента.

2. Общее уравнение прямой и его частные случаи.

3. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Типовые задачи.

1. Построить прямые, заданные уравнениями: а) у = 4 - 2х;

б) 3х – 5у + 15 = 0; в) 2у + 5 =0; г) х – 6 = 0; д) 4х – 5у = 0.

2. Найти длину и середину отрезка АВ, если известны точки: А(1;-2) и В(7; 6), сделать чертеж.

3. Найти уравнения прямых, проходящих через точку М(2,-3) параллельно и перпендикулярно прямой 3х – 4у + 12 = 0.

4. Найти уравнение прямой, проходящей через две точки А(4,-1) и В (-5,3), сделать проверку и чертеж.

5. Найти острый угол между прямыми 5х – 2у + 1 = 0 и у = 7 – 3х.

6. Найти расстояние от точки М(-9;5) до прямой у = 3х – 8.

Тема 2. Функция и предел функции

Основные вопросы.

1. 
   Понятие предела функции в точке и на бесконечности, их графические пояснения. Односторонние пределы.
   

1. 
   Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства и взаимная связь.
   
2. 
   Первый и второй замечательные пределы. Число е.
   
3. 
   Определение эквивалентных бесконечно-малых, привести примеры эквивалентных бесконечно-малых.
   
4. 
   Понятие непрерывности функции в точке. Точки разрыва, их виды.
   

Типовые задачи.
1. Вычислить пределы функций:

а) б)

в) г)

д) е)

2. 
   Исследовать на непрерывность функцию изобразить схематически ее график.
   

Тема 3. Дифференциальное исчисление

и его приложения

Основные вопросы.

1. 
   Понятие производной и дифференциала функции.
   
2. 
   Геометрический, механический и экономический смысл производной.
   
3. 
   Признаки возрастания и убывания функции.
   
4. 
   Необходимые и достаточные условия экстремума функции.
   
5. 
   Признаки выпуклости и вогнутости графика функции.
   
6. 
   Необходимые и достаточные условия перегиба графика функции.
   

Типовые задачи.
1. Найти производные функций:

а) ; б)

в) г) y = x²ln(3x-1).
2. Исследовать функции средствами дифференциального исчисления и построить их графики:

а) y = x³ - 9x²; б) в) .

3. Составить уравнение касательной, проведенной к гра­фику функции в точке x = 1. Результаты изобразить гра­фически.

4. Найти пределы функций по правилу Лопиталя:

a) б)