ппп. Метод указ по мат методам. Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине Математические методы

• Название: Методические указания по выполнению практических работ по дисциплине Математические методы
• Дата: 19.09.2022
• Размер: 1.97 Mb.
• Имя файла: Метод указ по мат методам.doc
• Тип: Методические указания; #685112
• страница: 5 из 14

5 вариант.

Задача 1. Составить математическую модель следующей задачи. Предположим, что для производства продукции вида А и В можно использовать материал трех сортов. При этом на изготовление единицы изделия вида А расходуется а1 кг первого сорта, а2 кг второго сорта и а3 кг третьего сорта. На изготовление продукции вида В расходуется b1 кг первого сорта, b2 кг второго сорта, b3 кг третьего сорта. На складе фабрики имеется всего материала первого сорта с1 кг, второго сорта с2 кг, третьего сорта с3 кг. От реализации единицы готовой продукции вида А фабрика имеет прибыль вида α руб., а от реализации единицы готовой продукции вида В фабрика имеет прибыль вида β руб. Определить максимальную прибыль от реализации всей продукции видов А и В.

а1= 19, а2= 16, а3= 19, b1= 31, b2= 9, b3= 1, c1= 1121, c2= 706, c3= 1066,

α=16, β=19.

Задача 2. Фирме необходимо выбрать наилучший вариант закупки оборудования, если задана закупочная цена каждого из вариантов оборудования и время изготовления и доставки. Под наилучшим вариантом понимается вариант с минимальными закупочной стоимостью и временем доставки.

А) Для заданной двухкритериальной задачи, задавшись коэффициентами α и β провести линейную свертку критериев и и определить минимальное решение.

Б) Для заданной двухкритериальной задачи найти множество Парето в случае двух критериев вида и .

Значения и заданы таблицей:

	1	2	3	4	5	6	7	8
	5	5	5	6	6	7	7	8
	7	8	9	6	7	7	8	6

Контрольные вопросы

1. 
   Какие задачи называются однокритериальными?
   
2. 
   Какие задачи называются многокритериальными?
   
3. 
   Какие способы решения однокритериальных задач вы знаете?
   
4. 
   Какие подходы к отысканию подходящего решения вы знаете у противоречивых критериев?
   
5. 
   Какое множество называется множеством Парето?
   

Практическая работа №3

«Сведение произвольной задачи линейного программирования к ОЗЛП. Решение задач линейного программирования симплекс-методом»

Цель работы: Научиться сводить произвольную задачу линейного программирования к основной задаче линейного программирования. Решить задачу линейного программирования симплекс-методом.

Краткая теория

Задачи оптимального планирования, связанные с отысканием оптимума заданной целевой функции (линейной формы) при наличии ограничений в виде линейных уравнений или линейных неравенств относятся к задачам линейного программирования.

Линейное программирование – это направление математического программирования, изучающее методы решения экстремальных задач, которые характеризуются линейной зависимостью между переменными и линейным критерием.

Сущность линейного программирования состоит в нахождении точек наибольшего или наименьшего значения некоторой функции при определенном наборе ограничений, налагаемых на аргументы и образующих систему ограничений, которая имеет, как правило, бесконечное множество решений. Каждая совокупность значений переменных (аргументов функции F), которые удовлетворяют системе ограничений, называется допустимым планом задачи линейного программирования. Функция F, максимум или минимум которой определяется, называется целевой функцией задачи. Допустимый план, на котором достигается максимум или минимум функции F, называется оптимальным планом задачи.

Система ограничений, определяющая множество планов, диктуется условиями производства. Задачей линейного программирования (ЗЛП) является выбор из множества допустимых планов наиболее выгодного (оптимального).

Общая форма задачи линейного программирования формулируют следующим образом:

	(1)
	(2)
	(3)

Коэффициенты a_i,j, b_i, c_j, j = 1, 2, ... , n, i =1, 2, ... , m – любые действительные числа (возможно 0).

Итак, решения, удовлетворяющие системе ограничений (1) условий задачи и требованиям неотрицательности (2), называются допустимыми, а решения, удовлетворяющие одновременно и требованиям минимизации (максимализации) (3) целевой функции, - оптимальными.

Выше описанная задача линейного программирования (ЗЛП) представлена в общей форме, но одна и та же (ЗЛП) может быть сформулирована в различных эквивалентных формах. Наиболее важными формами задачи линейного программирования являются каноническая и стандартная.

В канонической форме задача является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х₁, х₂, ..., х_n являются неотрицательными:

	(4)
	(5)
	(6)

К канонической форме можно преобразовать любую задачу линейного программирования.

Правило приведения ЗЛП к каноническому виду:

1. Если в исходной задаче некоторое ограничение (например, первое) было неравенством, то оно преобразуется в равенство, введением в левую часть некоторой неотрицательной переменной, при чем в неравенства «≤» вводится дополнительная неотрицательная переменная со знаком «+»; в случаи неравенства «≥» - со знаком «-»

(7)

Вводим переменную .

Тогда неравенство (7) запишется в виде:

(8)

В каждое из неравенств вводится своя “уравнивающая” переменная, после чего система ограничений становится системой уравнений.

2. Если в исходной задаче некоторая переменная не подчинена условию неотрицательности, то ее заменяют (в целевой функции и во всех ограничениях) разностью неотрицательных переменных

, l - свободный индекс

3. Если в ограничениях правая часть отрицательна, то следует умножить это ограничение на (-1)

4. Наконец, если исходная задача была задачей на минимум, то введением новой целевой функции F₁ = -F мы преобразуем нашу задачу на минимум функции F в задачу на максимум функции F₁.

Таким образом, всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в канонической форме.

В стандартной форме задача линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа « <= » или « >= ». Все переменные задачи неотрицательны.

	(9)

Всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме. Преобразование задачи на минимум в задачу на максимум, а также обеспечение не отрицательности переменных производится так же, как и раньше. Всякое равенство в системе ограничений равносильно системе взаимопротивоположных неравенств:



Существует и другие способы преобразования системы равенств в систему неравенств, т.е. всякую задачу линейного программирования можно сформулировать в стандартной форме.

Решение задач линейного программирования симплекс-методом.

Идея симплекс-метода заключается в последовательном улучшении первоначального плана путем упорядоченного перехода от одного опорно­го плана к другому и завершается нахождением оптимального плана. Сим­плекс-методом решаются только канонические задачи линейного программирования. Решение канонической задачи симплекс-методом существенно облегчается применением так называемых симплексных таблиц. Всякую
каноническую задачу можно записать условно в виде таблицы. Таблица
заполняется следующим образом: первые т строк содержат в условной
форме уравнения системы ограничений, разрешенные относительно базис­ных переменных. В последней строке записана целевая функция, эта строка называется F -строкой. В столбцах записаны свободные переменные и свободные члены.

Условие оптимальности плана:если ЗЛП на максимум, то в F-строке не должно быть отрицательных элементов; если ЗЛП на минимум, то в F-строке не должно быть положительных элементов.

Алгоритм решения:

1. 
   Исходную задачу линейного программирования приводим к каноническому виду путем введения базисных переменных.
   

1. 
   Базисные переменные выражаем через свободные переменные.
   

3. 
   Строим начальный план, полагая свободные переменные равными
   нулю, тогда базисные переменные будут равны свободным членам.
   
4. 
   Строим первую симплекс-таблицу.
   
5. 
   Проверяем план на оптимальность. Если план не оптимален, то его улучшаем.
   
6. 
   Улучшение плана.
   

а) выбор разрешающего столбца: для этого в F- строке выбираем максимальный по абсолютной величине из отрицательных элементов, если задача на максимум, или, максимальный из положительных элементов, если задача на минимум. Пусть это будет столбец с номером s;

б) выбор разрешающей строки: выбираем строку с минимальным симплексным отношением. Симплексные отношения - это отношение свободных членов к положительным элементам разрешающего столбца. Пусть это будет строка с номером r.

в) выбор разрешающего элемента: элемент, стоящий на пересечении разрешающих строки и столбца. Пусть это будет элемент .

г) переменную вводим в базис вместо переменной .

д) элементы новой симплекс-таблицы пересчитываем по следующим формулам:

разрешающий элемент ,

элементы разрешающего столбца ,

элементы разрешающей строки ,

остальные элементы симплекс-таблицы по правилу прямоугольника:

3. 
   Вновь полученный план проверяем на оптимальность.
   

Порядок выполнения заданий

Задание 1. а) Привести к канонической форме задачу линейного программирования.



б) Напишите задачу в стандартной форме.

Решение:

а) Введем дополнительные переменные  x₄ , x₅ . Причем в первое неравенство введем переменную x₄ со знаком плюс, а в третье – неотрицательную переменную, x₅ со знаком минус запишем задачу в виде:



Переведем min на max, домножив целевую функцию на (-1)



что и дает эквивалентную задачу в канонической форме.