Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного

• Название: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
• Анкор: Лекции по газовой механике
• Дата: 12.05.2023
• Размер: 4.39 Mb.
• Имя файла: habirov.pdf
• Тип: Книга; #1124687
• страница: 10 из 15

§16. Инвариантные решения ранга один
Для нахождения решений по трехмерной подалгебре необходимо вы- числить ее инварианты. Подалгебры, содержащие оператор вращения
7
X
, за- писываются в цилиндрической системе координат
C
: cos ,
sin ,
cos sin ,
sin cos ,
;
y
r
z
r
v
V
W
w V
W
u
U













1 2
3 4
sin
,
cos
(
),
cos sin
(
),
,
x
r
V
W
r
V
W
x
U
X
X
W
V
r
X
W
V
X
t
r






 

 
    

 
    
   
5
sin cos (
)
[
(
)
],
r
V
V
W
r
X
t
t
W
V
r
t




   
   
 

140 6
7
cos sin (
)
[
(
)
],
,
r
V
V
W
r
X
t
t
W
V
r
t
X





   
   
 
 
8 9
10 11
sin (
) cos [
(
)],
cos (
) sin [
(
)],
,
x
r
U
V
U
W
V
W
x
r
U
V
U
W
V
W
t
t
x
r
x
X
r
x
V
U
W
U
W
V
r
x
X
r
x
V
U
W
U
W
V
r
X
X
t
x
r







       
        
 
       
        
 
     
Трехмерная подалгебра из 3-х вращений представляется в сферической системе координат S: sin cos ,
sin sin ,
cos ,
( sin cos )cos sin ,
( sin cos )sin cos ,
cos sin .
x
r
y
r
z
r
u
U
V
W
v
U
V
W
w U
V


























Инварианты трехмерной подалгебры вычисляются по следующему пра- вилу. Сначала вычисляется полный функционально независимый набор ин- вариантов первого базисного оператора. Затем два других базисных опера- тора записываются в инвариантах первого (замена переменных) и приравни- ваются нулю выражения при неинвариантной переменной Расщепления даст лишь два линейно не связных оператора. Далее вычисляются инварианты одного из оставшихся операторов, и последний оператор записывается в но- вых инвариантах. Наконец, вычисляются инварианты оставшегося операто- ра. Результат вычислений сводится в таблицу. Обозначения по столбцам :
№ - номер подалгебры из оптимальной системы, базис подалгебры, система координат K (
D
- декартова, С - цилиндрическая, S - сферическая); выраже- ния для инвариантов, в которых отсутствуют общие для всех подалгебр ин- варианты

,
p
; (
min
,


) - ранг и минимальный дефект возможного частично инвариантного решения.

141
№
Базис
K Инварианты (

,
p
- общие) min
,


3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 7,8,9 7,10,11 4,7,11 11 4
,
7 4
,
1




11 7
4
,
10
,
1




10 4
,
7 4
,
1



11 4
,
10
,
1


0 11 7
4
,
6
,
5






7 4
1
,
6 2
,
5 3






7 4
1
,
6
,
5



7 4
,
6
,
5


0 11 7
,
4
,
1




1,4,7
S
С
С
С
С
С
D
С
С
С
С
С
С
2 2
W
V
,
U
,
r
,
t

W
,
V
,
U
,
xr
1

W
,
V
,
xt
U
,
rt
1 1



W
,
V
,
t ln
U
,
rt
1





W
,
V
,
U
,
re




W
,
V
,
t
U
,
r



w
,
v
,
z ln u
,
yz
1



)
Q
)
rt
V
arcsin((
t ln
,
Q
W
)
rt
V
(
,
t ln
U
,
t ln xt
1 1
1 2
2 2
1 1
1 1



















2 2
1 2
2 1
2 1
1 2
1 2
2 1
2 2
1 2
1 2
2
Q
)
)
1
t
(
r
W
(
)
)
1
t
(
tr
V
(
,
U
,
x
,
t
:
0
)
Q
)
)
1
t
(
rt
V
arcsin((
)
t
(
x
,
Q
)
)
1
t
(
r
W
(
)
)
1
t
(
tr
V
(
,
)
t
(
x
U
,
t
:
0









































)
Q
)
rt
V
arcsin((
)
1
t
(
x
,
Q
W
)
rt
V
(
,
)
t
1
(
x
U
,
t
1 1
1 2
2 2
1 1


















2 2
1 1
1 1
2 2
2 1
1
W
)
rt
V
(
,
U
,
x
,
t
:
0
)
Q
)
rt
V
arcsin((
)
t
(
x
,
Q
W
)
rt
V
(
,
xt
U
,
t
:
0





















W
,
V
,
t ln
,
rt
1 1





W
,
V
,
r
,
t
2,1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2,1 1,0 1,0 2,1 2,1 2,1

142 3.14 3.15 3.16 3.17 3.18 3.19 3.20 3.21 3.22 3.23 3.24 3.25 3.26 3.27 3.28 3.29 3.30 3.31 0
11 7
4
,
3
,
2






2,3,

4+7,
 
0 2,3,1+7 2,3,7 1,4,7+10 2,3,
 
0


4 7
10
 
2,3,7+10 11 4
,
6
,
5


11 5
4
,
6 4
,
1






0 11 5
,
4
,
1




1,4,11 0
,
11 5
4
,
3
,
2






11 4
,
3
,
2


10 4
6 2
1
,
3





1,2+4,10 1,4,10 0
10 5
4
,
3
,
2





2, 3, 6+10
С
С
С
С
С
С
С
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
)
VQ
arcsin(
t ln
,
Q
W
V
,
xt
U
,
t ln xt
1 1
2 2
2 1
1 1














)
VQ
arcsin(
)
t
(
x
,
Q
W
V
,
xt
U
,
t
1 1
2 2
2 1










)
VQ
arcsin(
x
,
Q
W
V
,
U
,
t
1 2
2 2






2 2
W
V
,
U
,
x
,
t

W
,
V
,
t
,
r


)
VQ
arcsin(
t
,
Q
W
V
,
t
U
,
t
2
x
1 1
2 2
2 2
1











)
VQ
arcsin(
t
,
Q
W
V
,
U
,
x
1 2
2 2






1 1
1 1
zt w
,
yt v
,
xt u
,
t ln xt









1 1
1
zt w
,
t ln v
,
t ln zt u
,
t ln yt












t ln w
,
v
,
t ln zt
,
yt
1 1






w
,
v
,
zt
,
yt
1 1


w
,
t ln v
,
xt u
,
t ln xt
1 1







w
,
v
,
xt u
,
t ln xt
1 1





v
,
t u

2 1
2 1
1 1
2 1
t
2
x
,
y
:
0
)
t
2
x
(
w
,
y
:
0
,
0
y w
,
y
)
t
2
x
(
:
0

























w
,
v
,
y u
,
z

w
,
v
,
z
,
y t
w
,
v
,
t u
,
t
2
x
2 1





t w
,
v
,
u
,
x

1,0 1,0 1,0 2,1 2,1 1,0 1,0 1,0 1,0 2,1 2,1 1,0 1,0 1,0 1,0 2,1 1,0 2,1 1,0 1,0

143 3.32 3.33 3.34 3.35 3.36 3.38 3.37 3.39 3.40 3.41 3.42 3.43 3.44 3.45 3.46 2, 3, 4+10 2,3,10 6
3 2
1
,
5 3
2 1
,
4 3
2


















1
,
6 2
,
5 3
,
4 1
2 2










4,5,6 6
,
5
,
3 1


1 6
2 1
,
5 1
,
3 1
2 2
2














1 6
2
,
5 3
,
1






1,3+5,2-6 1,5,6 4
,
2
,
3 1


2,3,4 1,2,3+4 1,2,4 1,2,3
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D
D w
,
v
,
t u
,
t
2
x
2 1



x,u,v,w-t
)
,
,
(
c
,
c
E
C
C
},
,
,
1
{
diag
Д
,
tI
Д
C
A
;
A
A
,
x
A
u
,
t
:
1
)
t
(
T
1 1
1 2
2 2
2 2
2

































t, u-x(t +

)
-1
, v-(ty+

z)(t
2
+

2
)
-1
, w+(

y-tz)(t
2
+

2
)
-1 1
t x
u
,
t




1 1
1
yt v
,
u
,
x
,
t
:
0
)
t
)(
z x
(
w
,
yt v
,
u
,
t
:
0













y tv w
,
u
,
x
,
t
:
1
,
0
yt v
,
u
,
yt x
,
t
:
1
,
0
w tv y
,
u
,
w
)
t
(
v z
x
,
t
:
0 1
1 2
2 2
2








































t, u, v+(

z-ty)(t
2
-

)
-1
, w+(y-zt)(t
2
-

)
-1
t, u, v-(

z+ty)(t
2
+

)
-1
, w+(y-zt)(t
2
+

)
-1 1
1
zt w
,
yt v
,
u
,
t




w
,
v
,
zt xt u
,
t
1 1





w
,
v
,
xt u
,
t
1


w
,
v
,
z u
,
t

w
,
v
,
z
,
t w
,
v
,
u
,
t
1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2,1 1,0 2,1 2,1 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 2,1 1,0
Инвариантные решения ранга 1 возможны для подалгебр из таблицы, у которых в последнем столбце стоит (1,0). В этом случае инварианты, содер- жащие зависимые переменные, являются новыми функциями от инварианта, выраженного через независимые переменные. Из этих равенств определяется

144 представление решения через новые инвариантные функции. Подстановка в уравнения газовой динамики приводит к системе обыкновенных дифферен- циальных уравнений, у которой находятся не менее трех интегралов. Если система уравнений сводится к квадратурам, то говорят об инвариантных ре- шениях. Неинтегрируемая система называется инвариантной подмоделью ранга один.
Сначала рассматриваются барохронные инвариантные решения
)
t
(



В общем случае барохронные движения газа изучались А.П.Чупахиным
("Барохронные движения газа. Общие свойства и подмодели типов (2,1) и
(1,1)". Препринты № 4 - 98. Новосибирск: Институт гидродинамики СО РАН.
1998. 66 с.).
Подалгебра 3.46 дает представление инвариантного решения
( ),
( ),
( )
u
u t
t S
S t
 



Из уравнений газовой динамики получается постоянное решение:
,
S
S
,
,
u u
0 0
0







которое описывает равномерное прямолинейное течение.
Подалгебра 3.44 дает
).
t
(
S
S
),
t
(
),
t
(
w w
),
t
(
v v
),
t
(
u z
u
1








Из уравнений газовой динамики получается сдвиговое движение
S
S
,
,
w w
,
v v
,
t w
z u
0 0
0 0
0








В равномерно двигающейся системе координат со скоростью
)
w
,
v
,
0
(
u
0 0
0


решение имеет такой же вид, но с
0
w v
0 0


. В этом случае мировые линии частиц есть прямые z
z
,
y y
,
t z
x x
0 0
0 0




Траектории есть прямые параллельные оси x. В каждой плоскости y=const происходят одинаковые движения. При z=0 - покой. На прямой x=const , y=const профиль скоростей частиц линейный.
Квадрат из начального положения частиц в плоскости (x,z) переходит в па- раллелограмм (см. рисунок 1). Происходит сдвиговое движение.

145
Подалгебры 3.42

3.43 дают
).
t
(
S
S
),
t
(
),
t
(
w w
),
t
(
v v
),
t
(
u zt xt u
1 1
1












Из уравнений газовой динамики получается движение
0 1
0 1
S
S
,
t
,
0
w v
,
t
)
z x
(
u











с прямыми мировыми линиями z
z
,
y y
,
t u
z x
0 0
0 0





Траектории есть прямые параллельные оси x. В начальный момент t=0 все частицы сосредоточены в плоскости z
x


Из каждой точки этой плос- кости
)
z
,
y
,
z
(
0 0
0

начинают двигаться множество частиц со скоростями
)
0
,
0
,
u
(
0
, мгновенно заполняя прямую z
z
,
y y
0 0


Картина движения одина- кова в любой плоскости y=const (см. рисунок 2).
Плотность бесконечная в начальный момент становится конечной t t=1 x z u
0
x=

z
(
,
,
)

z y z
0 0
0
Рис. 2 arctg t
-1
z
1
x z
1
t z
Рис. 1

146 при t>0, уменьшается до нуля при


t
. Такое движение газа можно назвать мгновенным плоским источником.
Для отрицательных моментов времени t<0 частицы коллапсируют из пространства на плоскость z
x


Коллапс не физическое явление, частицы не должны сталкиваться. Поэтому существуют поверхности в области дви- жения частиц, по которым примыкают другие решения. Эти поверхности есть характеристики или ударные волны.
Подалгебра 3.41дает
).
t
(
S
S
),
t
(
),
t
(
w zt w
),
t
(
v yt v
),
t
(
u u
1 1
1 1











Из УГД получается решение, записанное в цилиндрической системе ко- ординат
S
S
,
t
,
0
W
,
rt
V
,
U
U
0 2
0 1
0









Галилеев перенос по x делает
0
U
0

(постоянная не существенна).
Мировые линии - прямые, одни и те же в каждой полуплоскости const


,
t q
r
,
x x
0 0
0





В момент времени t=0 частицы стартуют с оси x. Из каждой точки
0
x x

оси x вылетает множество частиц с различными скоростями в на- правлении лучей
0 0
,
x x




мгновенно заполняя всю плоскость
0
x x

Картина на каждом из лучей одинакова (см. рисунок 3) t Такое движение газа можно назвать
1 мгновенным линейным источником.
Для отрицательных t имеем коллапс на ось x.
0 0
q r
Рис. 3
Подалгебры 3.39

3.40 дают
).
t
(
w
)
t
)(
y tz
(
w
),
t
(
v
)
t
)(
z ty
(
v
),
t
(
S
S
),
t
(
),
t
(
u u
1 1
2 1
1 2



















147
Из УГД получается решение
2 1
2 1
0 0
0 1
0 0
2 1
1 0
0
,
,
(
) ,
(
)(
) ,
(
)(
) .
u
u S
S
t
v
w t
v
t
w
v t
w
t
 

















Галилеев перенос по x и переносы по y, z делают
0
v w
,
0
u
0 0
0



Общее решение подобно простейшему
)
t
)(
y tz
(
w
,
)
t
)(
z ty
(
v
,
)
t
(
,
S
S
,
0
u
1 2
1 2
1 2
0 0



















Мировые линии этого решения - прямые
,
t y
z z
,
tz y
y
,
x x
0 1
0 0
0 0







где
)
z
,
y
,
x
(
x
0 0
0 0


положение частиц в момент t=0 (лагранжевы коорди- наты). Матрица перехода от лагранжевых координат к эйлеровым имеет вид
1
t
0
t
1 0
0 0
1
x x
1 0







,
0 3
x
k
rank
x




при
0
t
2



, k=2 при
2
t


Если
0


,то
0
x x
det
0





и происходит движение частиц по прямым без особенностей (столкновений). Картина движения в каждой плоскости x=const одинакова. Траектория в плоскости x=const задается равенством
0 0
0 0
(
,
) (
,
)
0
y
y z
z
y
z






и является прямой перпендикулярной векто- ру
)
z
,
y
(
0 0


, проходящей через точку
)
z
,
y
(
0 0
. Расстояние
0
r между двумя частицами плоскости x=const:
)
z
,
y
(
),
z
,
y
(
02 02 01 01
изменяется со временем по закону
],
)
tg t
(
)
ttg
1
[(
cos r
r
2 0
1 2
0 0
2 2
0 2









где
)
y y
)(
z z
(
tg
1 02 01 02 01 0





Угол поворота отрезка, соединяющего две точки со временем изменяется так
)
ttg
1
)(
tg t
(
tg
1 0
0 1









Экстремум расстояния достигается в момент
1 0
2 2
0
m
)
tg
1
(
tg
)
1
(
t










и равен
)
sin
)(cos sin
(cos r
r
2 1
0 2
2 0
2 0
2 0
2 2
0 2
m











148
При этом tg tg
0
m




Начальные углы, в направлении которых происходит экстремальные удаления таковы
).
)
1
(
2
r r
(
tg
),
r r
(
,
2
,
0 2
1 0
m
1 0
2 0
m
0
















Константа квазиконформности есть отношение наибольшего и наименьшего удалений Q



2 1
1
 
(
)
. Она конечна при
0


и при
1



равна 1
(отображение лагранжевых координат в эйлеровы конформно).
Если
0


, то при
)
t
(
t





частицы сосредотачиваются в плос- кости
)
z y
(
z y





. В точку этой плоскости с координатами
1 1
1 1
1 0
z z
),
z y
y
(
z y
y
,
x x









попадают частицы, находящиеся на прямой
)
y z
y
(
y z
y
,
x x
1 0
0 1
0 0
0







в момент t=0.
За время






t происходит коллапс частиц всего пространства на плоскость z
y



. В момент



t рождается мгновенный плоский источник, и частицы при





t заполняют все пространство. При


t происходит коллапс частиц на плоскость z
y


. В момент


t рождается другой мгновенный плоский источник, заполняя все пространство при


t