Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
§18. Неавтономные подмодели ранга один. Подалгебра 3.2 задает представление конических течений ( ) U U s , ( ) V V s , ( ) W W s , ( ) s , ( ) S S s ; 1 s xr ctg Подмодель 3.2 вкладывается в подмодель 2.5, построенной по под - алгебре { , } t . Подмодель 2.5 допускает операторы x , x r x r , поэто- му у неё существуют простые волны, когда все функции зависят от одного параметра. Из представления конических течений видно, что решение есть простая волна. Верно и обратное утверждение: всякая осесимметричная про- стая волна есть коническое течение с точностью до переноса по x [1, c. 259]. Из уравнений газовой динамики получаются два типа решений. а) 0 U V W , 0 p p и можно взять ( , , ) x y z как произ- вольную функцию. Это движение задает изобарический покой с произвольно распределенной плотностью. 183 б) 0 S S - интеграл энтропии, 2 W D U sV - интеграл закрутки, 2 2 2 1 2 2 U V W dp C - интеграл Бернулли. Обозначим 0 D , ( ) sign U sV . Получается подмодель ранга один автомодельных закру- ченных при 0 D волн: sU V D , 2 ( ) U sV f U sf V Vf (18.1) Подмодель допускает отражение W W , что позволяет считать W 0 Особое решение получается, если определитель квазилинейной систе- мы (18.1) обращается в нуль. В этом случае V Ds , 2 ( ) U Ds a , 2 1 s , a f , 2 W D a ( и a должны быть одного знака, например, положительны), 2 2 2 2 2 2 2 2 (1 2 ) ( ) D s D s a a I s C , 1 ( ) 2 I dp , (18.2) 1 2 2 2 0 2 D a f sds d D a . (18.3) Два последних равенства определяют уравнения состояния, где s- параметр. Теорема 18.1. Существует единственное особое решение с точностью до отражения для уравнения состояния 2 2 1 0 0 2 p a p Доказательство. Уравнения (18.3) и (18.2) записываются в переменных , , a 0, 2 a D d d a D 2 4 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) D D a a D D a I C Дифференцирование последнего равенства в силу предыдущего дает 2 2 (2 ) (2 ) 9 0. D a D a a 184 Для есть три корня: D a 2 , D a 2 , D a и лишь один положительный имеет физический смысл. Подстановка D a в (18.3) приводит к равенству 0 a a . Отсюда следует уравнение состояния 2 2 1 0 0 2 p a p и решение 2 0 2 2 (1 ) a D s , 2 0 2 (1 ) a s V D s , 2 2 0 2 (1 2 ) (1 ) a s U D s , 2 0 a W D , (18.4) которое задает сверхзвуковое течение 4 2 4 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 (1 2 ) 2 (1 ) (1 ) a s a q U V W a D s D s В начальном сечении 0 s имеем 0 V , 2 2 0 0 D a , 0 U D W закрученный поток. При s имеем V W , 0 2 U D истечение в вакуум с удвоенной начальной продольной скоро- стью. Линия тока L удовлетворяет уравнениям 2 2 2 2 2 dx dr d r x xr x r и определяется равенствами 2 2 2 2 0 ( 1) x r K r , 1 0 0 ( ) r K ch , где 0 K , 0 - постоянные. Отсюда следует, что 1 0 r K , график функции ( ) r r x симметричен относительно оси r , в первом квадранте имеются точка перегиба 1 1 1 3 2 0 0 2 ( 3 , ) K K и точка минимума 1 0 (0, ) K , нет асимпто- ты (рисунок 1). Линия тока есть спираль, намотанная на цилиндрическую поверхность, образованную вращением кривой ( ) r r x вокруг оси x. Плотность и число Маха вдоль линии тока имеют предельные значения 1 2 0 0 0 L K r , 2 2 2 2 2 0 2 1 2 2 2 1 L M q a ( s ) ( K r ) при r 185 x r 2 / 3 0 k 1 0 k 0 2 / 3 k Рис. 1 Плоскость 0 x ( 0 s ) является C характеристикой для подмодели установившихся течений на решении (18.4). Значит, к течению (18.4) в области может примыкать через слабый разрыв ( 0 x ) равномерный закрученный поток в области 0 x . Имеется единственный ненулевой скачок ускорения 2 1 1 0 x V a D r Цилиндрическая поверхность вращения из линии тока задает разгонное сопло вращающегося поступательного потока в поступательный поток, истекающий в вакуум. Если определитель системы (1) не равен нулю, то система разрешается относительно производных 2 2 2 2 ( ) ( ) (1 ) a V Ds U U sV a s , 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) (1 ) Ds U sV a sD sV V U sV a s , (18.5) где плотность определяется из уравнения Бернулли 2 2 2 ( ) U V D U sV I C Завихренность вычисляется по формуле 1 1 1 x r q r q x q x r rot u e (W r V r W) e (r U W ) e (V U ) 186 1 ( , , ). r W sW W D Для системы (18.5) можно рассмотреть точные решения, задав одну из функций U или V и подобрав уравнения состояния. Для одного простого решения уравнение состояния произвольно: 0 U U const , 0 V D s , 2 2 0 0 0 W D U D s , const 0 определяется из уравнения 2 2 0 0 0 0 2 ( ) U D U i C Если 1 , то 2 0 0 U D s и течение определено в области 1 1 0 0 x r U D . Граница области есть конус, где 0 W и вектор скорости направлен по касательной (см. рисунок 2). При 0 x имеем 0 U U , 0 V , 0 0 W D U постоянный закрученный поток. Итак, решение описывает непрерывное обтекание конуса закрученным потоком. r 0 0 0 U D K x 0 0 U D arctg Рис. 2 187 При 1 течение происходит по тем же линиям тока в обратном направлении. Линии тока L определяются из равенств dx dr rd U V W : 2 2 2 0 0 0 ( ) U r D x K , 0 0 0 0 cos( ) r U K D . Эта прямая на симметричном относительно оси x однополостном гиперболоиде. При 0 0 K гиперболоиды приближаются к граничному конусу. При 1 0 2 частица уходит в бесконечность r , x . Вдоль линии тока при r : 0 U U , 0 2 2 2 2 2 ( ) 0 0 0 L K W K D r , 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 V D U K D r D U течение стремится к равномерному потоку, при этом модуль скорости сохраняется. Плоскость 0 x будет звуковой характеристикой для подмодели ранга 2 стационарных вращательных течений (подалгебра 2.5), если 0 0 U a Поэтому к этой плоскости может примыкать через слабый разрыв равномерный закрученный поток. При 0 D получаются течения Буземана ([2, с. 318]; [4, c. 374]). Выполняются условия безвихревого течения, так как 0 W . С независимой переменной , 0 , уравнения принимают вид: 0 V tg U или 1 0 U V tg V f NU , 2 2 ) sin cos ( n V f U V f N , (18.6) 2 2 2 2 ( ) m U V i q , 1 0 ( ) i f d Направление линии уровня const совпадает с направлением нормали к кривой ( ) V V U , sin cos n V U V есть нормальная составляющая скорости к линии уровня (см. рисунок 3). 188 Исключение приводит к уравнению 2 1 2 1 2 2 1 ( ) (1 )(1 ) UU U U n U VV V f U VV f V V (18.7) или 2 2 1 1 (1 ) n R R V a , где R - радиус кривизны кривой ( ) V V U , 1 R - расстояние от точки на кривой до точки пересечения нормали с осью U (Рис. 3). При переходе от переменной к переменной U якобиан преобразования отличен от нуля в области непрерывного однолистного течения 2 sin 0 U UU V 0 , 0 UU V Рассмотрим непостоянное течение, непрерывно примыкающее к однородному поступательному потоку вдоль линии уровня 0 : 0 0 U U , 0 V N 2 2 2 0 0 0 sin a U 0 0 U a Если 1 0 2 , то примыкание возможно только к звуковому потоку 0 0 U a . Дифференцированием уравнений (18.6) по можно показать, что все производные при 1 2 равны нулю. Значит, непостоянное коническое течение не может непрерывно примыкать к звуковому потоку. Рис. 3 V n x V r U V n R 1 V V=V(U) R V arctg V U 189 Пусть 0 0 U a сверхзвуковой поток примыкает по конусу Маха 0 , 1 0 0 0 0 sin sin a U , где 0 - угол Маха набегающего потока. Отсюда следует 0 0 и выполняется условие 0 dU tg dV на характеристике 0 r tg x подмодели 2.5. Дифференцирование уравнений (18.6), (18.7) при 0 дает значение производных 1 0 0 0 0 0 2 cos sin U U m , 1 2 0 0 0 0 2 cos V U m , (18.8) 2 0 0 0 0 sin cos N U , 2 2 4 3 0 0 0 0 0 0 0 0 2 (1 ) 0 U UU U V V a U V m a U , где 2 0 0 0 0 m a f Пусть 1 0 2 , т.е. характеристика набегающего однородного потока направлена по потоку 0 d . Тогда из равенств (18.8) следует 0 0, U 0 0, V 0 0 N и 0 dU , 0 dV , 0 dN U возрастает, V убывает ( 0 V ), V возрастает, 2 2 2 q U V возрастает, и p убывают, 2 2 n N a V возрастает и положительно, n V a , 0 0 U V , 0 0 UU V Нормальная к лучу const составляющая скорости становится дозвуковой. Имеем волну разрежения. Лучи const в примыкающей простой волне не являются характеристиками. Такое течение продолжается до 1 0 , при котором 1 0 UU V . Действительно, если течение продолжается до оси симметрии 0 , то существует 2 , для которого 2 0 V , 2 0 U V и 0 UU V при 2 0 . Соотношения (18.8) справедливы при 2 и, значит, 2 0 UU V ; противоречие. 190 Дифференцирование уравнения (18.7) в силу (18.6) дает 3 2 2 3 ( 2) ( )(4 cos ) 0 sin n n n UUU m V f V V f V V f Так как 1 2 2 1 (1 )(1 ) 0 UU U n V V V V f при 0 , то UU V возрастает до нуля. При 1 имеем 0 UU V , 2 n f V , 1 1/2 3 1 ( 2) sin 0 UUU V m V f , 1 0 U V ctg , 0 N , U , V , Луч 1 имеет характеристическое направление, но не является характеристикой, так как не выполнено условие на характеристике. Этот луч есть огибающая характеристик и не может быть конической ударной волной, так как n V a перед скачком. Значит, простая коническая волна подрезается характеристикой C , за которой формируется не коническая волна сжатия с появлением в ней ударной волны (см. рисунок 4). Пусть 1 0 2 , т.е. волна примыкает к набегающему однородному потоку вдоль обращенной вперед характеристики 0 d . Тогда по формулам (18.8) 0 0 U , 0 0 V , 0 0 N и 0 dU , 0 dV , 0 dN V 1 x r C + 0 0 1 0 0 U 0 V=V(U) V n V U Рис. 4 191 U убывает, V убывает и отрицательно, V возрастает, N убывает и отрицательно, n V a . Это направление изменения U и V сохранится при изменении от 0 до 1 2 . Действительно, пусть при 1 , 1 0 1 2 величина 1 U впервые обратится в нуль. При 1 величина N не может стать нулем, так как тогда вместе с N обратится в нуль V и по теореме Ролля V , а значит, U обратятся в нуль для 1 . Из уравнения (18.6) следует, что 0 U , 0 V При уменьшении угла 1 2 меняется знак 0 V (см. (18.6)) и V возрастает, V - убывает. Продолжить течение до 0 V при некотором 0 нельзя, так как при этом 0 N , и выполняются соотношения (18.8), из которых следует 0 V , противоречие. Таким образом, непрерывно соединить волну с однородным потоком невозможно в простой волне. Поскольку 0 N , 0 V , 0 U , то проекция скорости на нормаль к лучу сверхзвуковая n V a и возможно поместить на луче s скачок уплотнения, переводящий течение в простой волне в однородный дозвуковой поток вдоль оси x . Это следует из того, что при 1 2 имеем у.в. s 0 C B A x r U V A B 0 V C V=V(U) a * V n s 0 Рис. 5 192 простую волну сжатия. Действительно, убывает и 1 ( ) sin 0 n UU VV U Vctg U V U q убывает, возрастает из интеграла Бернулли (см. рисунок 5). Коническую простую волну можно применить для решения задачи о сверхзвуковом обтекании кругового конуса 0 . Головной скачок уплотнения, отделяющий однородный набегающий поток от возмущенного течения за ним, должен быть конусом s . За скачком течение изэнтропическое, значит, безвихревое. Течение за скачком есть осесимметричная простая волна, и в плоскости годографа удовлетворяет уравнению 2 2 2 (1 )(1 ) UU n U VV a V V , 2 2 2 2 ( ) m V U I a q , а в плоскости течения находится по решению в плоскости годографа согласно равенству U V ctg На поверхности конуса 0 выполняется соотношение 0 V Utg или в плоскости годографа 0 U VV U , значит, нормаль к кривой ( ) V V U в точке, соответствующей поверхности конуса, должна проходить через начало координат плоскости годографа. На скачке уплотнения s значения U , V удовлетворяют соотношениям 0 s U Vtg U (касательные к скачку скорости неизменны), 2 2 2 2 ( ) m V q U i (интеграл Бернулли), 2 0 0 0 0 ( ) ( 2 ( )) m U U U q U U i (ударная поляра), а производная U s V ctg . Требуется определить кривую ( ) V V U и угол s по заданному углу 0 (см. рисунок 6). 193 Ударная поляра На практике числено решают серию прямых задач: по заданному s определяют 0 и ( ) V V U (задача Коши), а затем подбором находят решение обратной задачи (Н.Е. Кочин, И.А. Киболь, Н.В. Розе. Теоретическая гидромеханика. т.2. С.195). Подалгебра 3.3 задает представление 1 1 ( ) U xt U s , ( ) V V s , ( ) W W s , ( ) s , ( ) S S s ; 1 s rt Из УГД получаются интегралы 0 S S , 3 2 ( ) W s C V s , 1 U DsW и подмодель ранга один 1 1 ( ) 1 V V s s V , 2/3 1 2/3 7/3 2/3 ( ) V s V f C s V s Особое решение задается равенствами: 2 ( ) 0 f V s , 4 3 2 2 ( ) ( ) 0 s V s V s C , 2 3 ( ) (2 ) V s V s s E При 0 E имеется два решения а) 1 2 V s , 1 4 3 4 3C s , 1 2 3 W s , 2 1 1 2 3 U Ds ; 1/2 7/4 3/2 0 3 p C p Мировые линии частиц задаются равенствами C U U 0 A 0 B a * V Рис. 6 x s B A r C 0 194 1/2 0 r r t , 0 3 ln 2 t , 2 1 0 0 2 3 x u t Dr signt При 0 t все частицы сосредоточены на оси x (в начальной точке при 0 D ). Траектории есть спирали на параболоиде. Получается мгновенный закрученный источник с полуоси x ( 0 x ), двигающийся с постоянной скоростью 0 u . Относительная скорость частицы стремится к нулю на бесконечности. Лагранжевыми координатами являются 0 r (фиксирует точку на полуоси мгновенных источников), 0 u и 0 (задают всевозможные наклоны параболоидов и спиралей на них). б) V s , 1/2 0 s , 0 W , 1 0 U ; 4 3 4 0 0 3 p p 2 a s Мировые линии задаются равенствами 1 0 r r t , 0 , 0 x u t При 0 t частицы сосредоточены на плоскости 0 x в бесконечно удаленной точке. При 0 t частицы выходят из плоскости 0 x , симметрично, двигаясь к оси x . При t частицы стремятся к оси x и равномерному движению. Получается осесимметричная струя с траекториями - гиперболами 0 0 xr r u Рассматриваемое решение является частным решением подмодели 2.1 ( 0 a b ). Эта подмодель стационарного типа с независимыми переменными 1 1 x xt , 1 1 r rt . Условие гиперболичности выполнено во всей области течения, причем тройная характеристика 0 C является гиперболой 1 1 x r const , а характеристики C и C совпадают и являются двойной характеристикой 1 r const 195 В общем случае 0 E , 0 C для 1 1 V s V имеем кубическое уравнение 2 6 1 1 ( 1) (2 1) F V V Es G и 2 2 8 2 2 1 1 ( 1) (1 ) C s V V 1 1 V . При 1 1 V наступает вакуум 0 Графики функций ) ( 1 V F , ) (s G определяют несколько ветвей решения (см . рисунок 7). При 0 E имеется одна ветвь решения 1 1 2 1 V , 1 s s , 1 1/6 1 (4 ) s E , 0 При 0 E имеется две ветви решений 1) 1 1 0 V , 2 s s , 1/6 2 s E , 1 4 2 0 C s ; 2) 1 1 2 0 V , 2 s s , 1 4 2 C s Получаются различные течения специального газа из неточечного расширяющегося источника (или стока) с образованием вакуума. Если 2 ) ( s V f , то система разрешается относительно производных 1 2 2 2/3 7/3 2/3 2/3 2 ( ) ( ) ( ) s V s C s V s f V s , 1 2/3 7/3 2/3 5/3 2 ( ) ( ) ( ) s V s f C s V s V f V s -1 1/2 1 s 1 s 2 Рис. 7 V 1 -1 E<0 E>0 s F G 196 Этим уравнениям соответствует автономная система 3-го порядка 2 2 4/3 2/3 5/3 2/3 ( ) ( ) V s s C V s , 4/3 2/3 2/3 5/3 ( ) ( ) V V s s f C V s , 7/3 2 ( ) s s f V s Стационарные точки лежат на линиях в 3 ( , , ) R s V : 1. 0 , 0 s (ось V ); 2. 0 , V s (прямая); 3. 0 V s (ось ); 4. 3 4 2 2 ( ) ( ) 0 s V V s s C , 2 ( ) f V s Мы не будим изучать поведения интегральных кривых в пространстве, а приведем лишь частные решения. Пусть 0 V , тогда 2 0 0 p a p , 3 1 0 a C s , 0 W a , 1 0 U Da s и решение УГД принимает вид 1 1 0 U xt Da rt , 0 V , 0 W a , 1 0 rt , 0 S S Мировые линии есть винтовые линии на цилиндре 0 r r , 0 0 a t , 0 0 0 x Da r u t , где величины с индексом ноль и D постоянные. Пусть V Ks , K const , тогда из уравнений подмодели следует 2 5/3 2 1 2/3 ( 1) ( 1) ( ) 2 1 2 1 K K K f s C s K K , 2 1 1 0 K K s , 3 1/3 1/3 1 ( 1) K K W C K s , 2 1 1/3 1/3 1 1 ( 1) K K U DC K s Отсюда определяется уравнение состояния 2 1 1 3 4 1 5/3 2 2 2/3 1 3 2 1 2 1 2 1 2 1 0 0 0 3 ( 1) ( 1) 4 1 K K K K K K K K p K K C p K , 197 которое при 0 C или при K 1 2 , 0 C соответствует политропному газу. Подалгебра 3.4 задает представление 1 ln ( ) U t U s , ( ) V V s , ( ) W W s , ( ) s , ( ) S S s ; 1 s rt Из УГД получаются интегралы 0 S S , 2 ( ) W s D V s , 1 0 ( ) s W U U ds s V s , и подмодель ранга один 1 1 ( ) V V s s V , 1 2 ( ) ( ) V s V f Ds V s Особое решение 2 ( ) 0 f V s возможно лишь для уравнения состояния 2 1 0 4 p p D и дается формулами 1 2 1 2 D s , 0 D , 1 2 V s , 1 2 W s , 1 0 (2 )ln U U s Мировые линии особого решения имеют уравнения 1/2 0 r r t , 1 0 2 ln t , 0 0 0 0 ( (2 )ln ) x t U r x Траектория частицы есть логарифмическая спираль 0 ( ) 0 r r e на параболоиде 2 2 0 0 0 0 0 ( (2 )ln ) x x r r U r . Плотность частицы изменяется по закону 1 2 1 1 0 2 r D t . При 0 t частицы сосредоточены на оси x , имеют бесконечную радиальную скорость (мгновенный источник) и бесконечную плотность. При t скорость становится конечной, частицы летят в бесконечность, плотность стремится к нулю (вакуум). Итак, получается истечение в вакуум из мгновенного линейного источника. Если 2 ( ) f V s , то подмодель разрешается относительно производных 2 2 ( )( ) ( ( ) ) V s D Vs s f V s , 2 2 2 ( ) ( ( ) ) sVf V s D V s f V s 198 и эквивалентна автономной системе 3-го порядка ( )( ) V s Ds Vs , 2 ( ) V sVf D V s , 2 2 ( ( ) ) s s f V s Стационарные точки образуют следующие множества точек 1. 0 , 0 s (ось V ); 2. 0 , V s (прямая); 3. 0 V , 0 (ось ); 4. 0 D Vs , 2 2 2 ( ) f s D s при 0 D ; 4. 0 s (плоскость) при 0 D , 5. 0 V , 2 f s Мы не будем изучать поведения интегральных кривых в пространстве, приведем лишь частные решения. Пусть V Ks , K const , тогда из уравнений подмодели следует 1 2 2 2 1 1 2 2 ( 1) ( 1) f DK K K s , 2 1 0 K K s , 2 2 1 0 ( 1) K K W D K s , 2 1 1 1 1/2 1 1 0 0 1 ln ( ( 1)) 2 1 K K U U K s D K K s Отсюда определяется уравнение состояния 1 1 1 2 1 2 1 1 0 0 2 4 ( 1) 1 K K K p p K K DK K Мировые линии определяются равенствами 0 K r r t , 2 1 1/2 1 1 2 1 0 0 0 ( ( 1)) (1 2 ) K K K D K K r t , 1 0 0 0 0 ( 1 ln ) x x t U K r При 0 K и 0 t частицы сосредотачиваются на оси x . Получается мгновенный источник. 199 При 0 K и t частицы стремятся к оси x . Образуется струя. Еще одно решение, справедливое для любого уравнения состояния, имеет вид 0 , 1 0 V D s , 2 2 0 0 ( 1) W D D s 0 D , 1/2 0 s D , 2 0 2 1 1 0 0 2 0 ln( ) s D U U s D arctg D Мировые линии этого решения задаются равенствами 2 2 2 0 0 r D t r ; 0 0 0 ( ) r tg D t , 1 0 0 0 0 2 ( ln ) x x t U r и являются прямыми, так как в декартовых координатах имеем 0 0 0 0 cos sin y r D t , 0 0 0 0 sin cos z r D t Получается движение газа вне расширяющегося цилиндра 1/2 0 r D t по прямым без особенностей с постоянной плотностью и постоянным давлением. |