Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
Подалгебра 3.26 задает представление инвариантного решения 1 1 ( ), u xt u s ( ), ( ), v v s w w s 1 ( ), ( ), ln . s S S s s xt t Из уравнений газовой динамики получается решение с точностью до гали- леевых переносов по y и z 1 1 0 0 ( ), 0, ( ), , ( , ), u xt u s v w s S S p f S где функции 1 ( ), ( ) u s s удовлетворяют квазилинейной системе обыкновен- ных дифференциальных уравнений 1 1 1 1 1 1 1 ' ' 1, ' ' u u u u f u Система не разрешается относительно производных, если определитель из коэффициентов при производных равен нулю (особое решение): 2 2 1 1 1 1 0, , u f a a ad xt D u a Особые решения возможны для любого уравнения состояния и являются плоскими центрированными простыми волнами. Если система уравнений разрешается относительно производных 1 ( ) u a , то она сводится к уравнению Риккати 2 2 2 2 1 2 2 , , 0, du u f u u d и квадратуре 1 2 du s C Случай 0 сводится к постоянному течению. Замена 2 1 , ( ) ( ) f g приводит уравнение Риккати к каноническому виду 1 1 2 2 2 2 2 2 2 du u g u g u g d (17.1) 163 Для нормального газа уравнение состояния ) ( f p , 0 имеет свойства 0 f , f , 0 f , 0 f , 0 f 0, f 0 0 Для функции 0 ), ( g p отсюда получим 0 0 g , 0 g g , 0 g , 0 g , 0 g 0, g Через каждую точку области 0 проходит единственное гладкое решение 2 u уравнения (1). В области 1 2 2 u g оно монотонно убывает, граница области состоит из точек минимумов решений. В областях u g 2 1 2 | | / , u g 2 1 2 | | / решение u 2 монотонно возрастает. В области 1 2 2 u g решение 2 u при 1 (полюс). Действительно, справедливо неравенство 1 2 1 1 2 2 0 0 2 2 2 1 2 0 exp exp , du u u g d u g d g d Интегрируя неравенство, получим 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 2 2 2 0 exp exp 0 u g d u u g d d , 1 Точки перегиба расположены на кривой 3 1 2 2 2 0. u g u g Существует отрицательная ветвь этой кривой с асимптотой 2 0. u В области 1 2 2 u g вдоль интегральных кривых 2 0 u при , зна- чит 2 0 u (см. рисунок 1). 164 Пусть 2 u монотонная ограниченная функция при 0( ). То- гда 2 2 2 2 2 u f u и следует противоречие. Значит, 2 u при 0. Имеется два типа интегральных кривых. Первый тип (I) имеет две вертикальные асимптоты 1 0, Вто- рой тип (II) имеет одну вертикальную асимптоту 0 и одну горизонталь- ную асимптоту 2 0. u Имеется разделительная кривая типа II(0), не имею- щая точек минимума. В соответствии с этим имеются два типа кривых 2 2 ( ). u u Для второго типа кривых (II и 0) 2 0 u при 0. Из уравне- ния следует 2 2 2 2 (0) (0). u u Если 2 (0) 0, u то 2 2 3 2 1 2 1 2 0 u c u c и имеем разделительную кривую. Если 2 2 (0) , u то 2 2 2 2 , 0 u u и имеем кривую типа II (см. рисунок 2). Каждая кривая 2 2 1 ( ) u u u вместе с квадратурой I 0 u 2 0 Рис. 1 II 165 1` 1 1 ( ) u u d C s (17.2) задает решение, обобщающее простую центрированную волну ( 0). Для разделяющего решения (0) в окрестности вакуума ( 0) имеем 1 1 1 1 2 ( (0) ...), ( ) (0) u f f Уравнение (17.2) опреде- ляет функцию ( ). s При 0 s C (вакуум). Квазилуч 1 0 ln s xt t s является изохорой. Мировые линии определяются из уравнения 1 1 0 ( ) ln 2ln u s ds t C Вакуумная линия ( 0) совпадает с мировой линией. Все мировые линии исходят из начала 0, касаются оси x, имеют бесконечные отрицательные ско- рости при t 0 и пересекают изохоры. Это мгновенный точечный источ- ник. В окрестности вакуумной линии мировые линии ведут себя как кривые 0 ln x i t Ct C t Мгновенный точечный источник в нуле (t=0) c бесконечными скоро- стями частиц можно физически объяснить как начальные движения частиц u 2 0 II Рис. 2 0 -arctg( 2 ) I 166 при t = из точек полупрямой x < 0. Одну из мировых линий можно взять в качестве двигающегося поршня. Сначала поршень вытягивает газ из отрезка, а затем толкает его в вакуум без образования ударной волны (см. рисунок 3). Для кривых типа II поведение таково 1 1 (0) ln ..., u f , 1 1 ( ) 2 (0) ln (0) f C f s Значит, функ- ция ( ) s двузначна, определена для s < C. (см. рисунок 4): 1 2 0 ( ) , ( ) , m m s s где m – минимум функции ( ). Ветвь 2 ( ) s похожа на разделяющее решение. Между этими реше- ниями может быть инвариантный ударный переход. Решение 1 ( ) s принци- пиально другое решение. Вакуум наступает при s Квазилуч, отве- чающий минимальной плотности не является мировой линией. Его можно трактовать как движущийся источник. Для кривых типа I поведение в окрестности полюса таково 0 t Рис. 3 s=C, =0 Мировая линия S=s 0 167 1 1 1 1 1 ( ) ln 1 при 1 , 1 1 2 2 1 ( ) f f d при , Имеются два решения аналогично кривым типа II. Отличие состоит в том, что первая ветвь отграничена от нуля 1 1 ( ) m s Значит, при s вакуум не достигается. Подалгебра 3.25 задает инвариантное решение, отличающееся от пре- дыдущего случая подалгебры 3.26 только тем, что 1 1 ln v t u ds Проекция мировой линии на ось y такова: 0 0 2 ln y C t y Подалгебра 3.22 дает 1 1 1 ln ( ), ln ( ), u zt t u s v t v s 1 1 ( ), w zt w s ( ) s , 0 , S S 1 ln . s yt t Из уравнений газовой динамики получается решение с точностью до галилеева переноса по x: 1 1 1 1 ln ln , ln ( ), u zt t w w v t v s 1 1 ( ), w zt w s ( ) s , 0 , S S 2 1 1 | |, w C v s , где функции 1 ( ), ( ) v s s удов- Рис.4 ( ) s m s s m C 0 arctg(f (0)) m 0 m 1 1 (s) II I 0 2 (s) 168 летворяют квазилинейной системе обыкновенных дифференциальных урав- нений 1 1 1 ( ) 1, v v s 1 1 1 ( ) v s v f Особое решение получается, когда определитель системы равен нулю: 1 2 , v s 2 0, f 1 0 exp 2 , s , 1 1 0 exp w w s и возможно лишь при линейном уравнении состояния 2 0 ( ) p f p Мировые линии таковы 0 2 ln y t t ty , 1 0 0 0 exp ( ) , z w y sign t tz 1 0 0 0 0 ln | | x z w y t x Плотность в частице изменяется по закону 2 1 0 0 exp 2 t y Ла- гранжевыми координатами частиц являются 0 0 0 , , ; x y z при этом выполня- ются равенства 2 1 1 0 0 0 det 1 exp ( ) , x t w y sign t x 0 0 1. t x rank x При 0 t частицы сосредоточены на прямой 0 y z (коллапс - мгновенный источник). Траектория есть квазилуч, лежащий в плоскости 1 1 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ln | | exp ( ) . z x x z w y z w y sign t Проекция движения частицы на ось y есть квазилуч отличный от квазилуча – изохоры. При 0 y квазилуч и квазилуч – изохора с 0 совпадают с полупрямой 0 y . Картина движения похожа на Рис. 4. Если 2 1 ( ) f s , то система уравнений сводится к уравнению Абеля 2-го рода 2 2 2 2 2 2 , v v f dv d v 2 1 , v v s (17.3) и квадратуре 169 2 2 1 2 2 2 2 2 f v d d s C v v v . (17.4) Интегральная кривая 0 отделяет полуплоскость 0 физических решений. Имеется три особые точки: 1. = v 2 = 0 (седло), 2. = 0, v 2 = - (узел), 3. v 2 = , = 1 , f ( 1 ) = 2 . Пусть = 9 2 - 8 1 f ( 1 ), тогда получа- ется 3a) узел при > 0, 3в) фокус при < 0, 3б) вырожденный узел при = 0 (см. рисунок 5). Для каждого > 0 имеется две точки экстремума у кривой v 2 = v 2 ( ). При v 2 = , 2 v . Для каждой однозначной ветви функции v 2 = v 2 ( ) по- лучается зависимость = (s) из квадратуры (17.4). Также как это делалось v 2 =- +2k Рис.5: ) 0 ( f k 1 , 2 1 1 2 3 v 2 1 v 2 =k - б) v 2 = + -( - 1 ) v 2 - 0 a) 1 v 2 = + + ( - 1 ) - в) v 2 1 1 170 при рассмотрении подалгебры 3.26, можно рассмотреть течения между ква- зилучами – изобарами. Если = 0, то уравнение (17.3) интегрируется и решения представля- ются квадратурами 1 2 v v s , 1 3 2 2 2 ( 4 ) v C f d , 1 1 3 3 2 2 1 2 2 2 ( 4 ) ( 4 ) s C C f d C f d d Мировые линии определяются из равенств ) s ( tz z 1 , ) 1 t (ln t x x 1 ; где функции s s t ( ) , z z s 1 1 ( ) , x x t 1 1 ( ) удовлетво- ряют дифференциальным уравнениям 2 ( ) ds dt v s t , dz w s v s ds 1 1 2 ( ) ( ) , dx dt z w w 1 1 1 1 ( ) ln| |. Подалгебра 3.21 задает представление ) s ( u t x u 1 , 1 ( ) y v v s t , w z t w s 1 ( ) , ) s ( , ) s ( S S , t ln t x s Из уравнений газовой динамики получаются интегралы S = S 0 , 3 3 1 1 ( ) v C u , ) u ( D 1 3 3 1 и подмодель ранга 1 1 1 1 1 ( ) u u f u , 3 ) u ( u 1 1 Особое решение возможно лишь при 0 для уравнения состояния 2 1 0 4 p p : 3 1 2 , u 1 0 exp 6s , где 0 , p 0 - постоянные. Мировые линии задаются равенствами: 3 2 (ln ) x t t a , y bt C e si gn t a ( ) ( ) 1 2 0 3 1 3 , z ct D e si gn t a ( ) ( ) 1 2 0 1 3 3 , где a, b, c – постоянные. 171 При 0 t частицы сосредотачиваются на прямой x = 0, Dy = Cz (коллапс – мгновенный источник). Плотность в частице изменяется по закону 3 a 3 0 t e . Траектория частицы есть пространственный квазилуч. Если f ) u ( 2 1 , то система уравнений сводится к уравнению Абеля 2-го рода 3 u 2 f 3 u u d du 1 1 2 1 1 и к квадратуре 1 1 1 1 3 ln ( ). s C u u d F Уравнение Абеля отличается от уравнения (17.3) лишь коэффициента- ми, поэтому картина интегральных кривых такая же как на Рис. 5. При = 0 уравнение Абеля интегрируется ) d f 3 C ( u 2 0 2 1 Из этой формулы следует, что плотность отграничена от нуля. Например, при B f , 2 1 , имеем 2 1 2 0 2 1 1 ) 2 B 3 C ( u , 2 1 0 0 ) C B 3 2 ( ; 2 1 2 1 0 C 3 ) ( F , при , 2 1 0 0 )) )( 2 ( C ( ) ( F , при 0 . Отсюда следует 0 2 C s , s u 1 t x 0 Рис.6 x=1/3C 1 t 172 при s ; ) 2 ( C ) s 3 C ( 0 2 1 0 , s 3 C u 1 1 при 1 C 3 1 s . Движение частицы в проекции на ось x таково: вблизи прямой t C 3 1 x 1 плотность 0 , 2 2 1 t C t C 3 1 x , при s имеем 2 2 C x , (см. рисунок 6). Получается фокусировка газа к заданной плотности = 0 Подалгебра 3.14 задает представление 1 1 U U ( ), xt s 1 ( )sin( ln | | ( )) V Q s t s , W Q s t s ( ) cos( ln| | ( )) 1 , ) s ( , ) s ( S S ; 1 1 ln s xt t Из уравнений газовой динамики следуют интегралы: S = S 0 , Q = Q 0 , 0 1 1 1 u ds при 0 Q 0 . Если Q 0 = 0, то (s) – произвольная функ- ция. Вращение вокруг оси x делает 0 = 0. После замены 1 1 1 , u U 1 получается подмодель та- кая же, как для подалгебры 3.26. Подалгебра 3.8 задает представление 1 1 U ln U ( ), t s 1 1 ( )sin( ln | | ( )), V rt Q s t s W Q s t s ( ) cos( ln| | ( )) 1 , ) s ( , ) s ( S S ; 1 1 ln . s xt t Из уравнений газовой динамики получаются интегралы: S = S 0 , exp , Q D , 3 1 1 ( ) Q C U s и подмодель ранга один 1 1 1 1 ( ) 2, U U s 1 1 1 1 1 ( ) U s U f Особое решение возможно лишь для уравнения состояния 2 2 1 0 4 p p и 0 : 1 3 1 2 , U s 1 0 exp 6 , s 1 0 exp 2 , Q Q s 1 2 s 173 Мировая линия задается формулами: 1 3 0 2 ( ln ), x t x t 1 1 1 1 0 0 0 0 0 ( 2 ) exp 2 , tg x tg Q x R t 2 2 1 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 cos exp 2 sin exp 4 cos , r tR Q x Q x где 0 0 0 , , x R – лангранжевы координаты. Вдоль мировой линии плотность изменяется по закону 0 6 3 1 0 0 exp 6 X x e t При t = 0 частицы сосредоточены на логарифмической спирали x = 0, 1 0 2 0, exp ( x r Q (коллапс – мгновенный источник). Проекция мировой линии на плоскость (t,x) есть квазилуч (см. рисунок 3), проекция на (t, r) есть гипербола с асимптотами 1 1 0 0 0 0 0 cos exp 2 sin r tR Q x и экстремальной точкой 1 1 1 0 0 0 0 2 exp 2 sin(2 ), m t Q R x 1 0 0 0 exp 2 cos , m r Q x про- екция на плоскость (t, ) есть монотонно возрастающая кривая 1 1 0 0 2 2 x Таким образом, особое решение типа мгновенного источника задает разлет частиц в вакууме по сложной пространственной траектории. Если 1 2 1 ( ) , f U s то система уравнений сводится к уравне- нию Абеля 2-го рода вида (17.3) 2 1 2 2 1 2 3 , 2 U f dU d U 1 2 1 U U s и квадратуре вида (17.4) U U d s C 2 2 1 1 3 Исследование интегральных кривых проводиться так же как при рас- смотрении подалгебры 3.22. Подалгебра 3.5 задает представление 174 ) s ( U U 1 , V = V(s), W = W(s), ) s ( , ) s ( S S ; exp s r Из уравнений газовой динамики получаются 4 типа решений. а) V = 0, 0, W = 0, p = p 0 - постоянная, = (s), U 1 = U 1 (s) – про- извольные функции. Решение описывает течение аналогичное решению, по- строенному по подалгебре 3.7 a). б) V = 0, = 0, 1 2 p r W , p(r) ( 0 ) r ( p ), (s), U 1 (s) – произвольные функции. Мировые линии определяются равенствами r = r 0 , 0 0 1 0 2 1 0 0 0 2 x t )) r ( U ( ) r ( r ) r ( p t 2 1 x , 0 2 1 0 0 0 ) r ( r ) r ( p t При = 0 траектории есть винтовые линии на цилиндре с шагом 2 0 0 0 0 1 2 1 2 U r r r p r ( ) ( ) ( ( )) Два таких решения с = 0 можно сопрячь через скачок уплотнения. Действительно, пусть h(x,r, ) = 0 есть уравнение поверхности скачка уплот- нения. Тогда 0 n D , n u u u n , n u u n , 1 n h h и из условия на скачке 0 u следует h r = 0, const k W r U h h x . Значит, 1 kx h след скачка на цилиндре r = r 0 есть винтовая линия с шагом 1 2 k . Уравне- ния (4.12) - (4.15) на скачке принимают вид p ) 1 r k ( ) W krU ( 1 2 2 2 2 1 1 , 2 1 2 2 2 p W ) 1 r k ( , W kr U , 0 ) , p ; , p ( H 1 1 2 2 - уравнение Гюгонио, где 1 1 2 1 r p W , 2 2 2 2 r p W . Если задать k, 1 , p 1 ( p 1 / > 0), то из уравнения Гюго- нио определяется 1 1 2 1 2 ) r , p ( V , 1 2 p p . Другие уравнения определяют U 1 , U 2 и остается обыкновенное дифференциальное уравнение для нахожде- ния p 2 (r): 175 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ( 1) ( )( ) ( 1) r k r Vp p p V V V p k r r Отсюда следует, что 0 p 2 Итак, для сопряжения двух решений через винтовой скачок уплотне- ния с заданным шагом (след скачка на цилиндре r = r 0 есть винтовая линия с шагом, не зависящем от r 0 ) можно взять решение перед скачком с произ- вольными функциями 1 (r), p 1 (r) ( 0 p 1 ). Тогда 2 (r), p 2 (r), U 2 (r), U 1 (r) опре- деляются из уравнений на скачке при этом 0 p 2 В зависимости от знака [W] есть две конфигурации течений: со стенкой перед скачком и со стенкой за скачком (см. рисунок 7). Стенки образованы винтовыми линиями траекторий. в) = 0, V 0, S = S 0 , r V = E, Rw =D, 2 1 2 2 2 2 V dp C r D , 1 1 1 0 ( ) U U DC r r dr . Это решение задает четыре истечения из ци- линдрического источника аналогичное решению, построенному на подал- гебре 3.6 б), и отличающееся от него лишь движением источника вдоль оси x. При = 0 контактный разрыв отсутствует. г) 0, V W, S = S 0 , 1 1 0 ln ( ) U U s V W , 2 2 1 2 2 V W dp C - интегралы движения. Подмодель ранга один (особое решение рассмотрено в а)) сводиться к автономному уравнению у.в. 2 u 1 u Рис.7 у.в. 176 ) W V ( VW ) V W ( f ) W V ( W ) W V ( f dW dV 2 (17.5) и к квадратуре 1 1 1 ln W W dV , или ) ( W dW dV 1 , (17.6) где s ln 1 1 , - постоянная. При = 0 течение безвихревое и не является простой волной подмоде- лей ранга 2 или ранга 3. В полярных координатах плоскости годографа cos , V Q sin W Q уравнения (17.5), (17.6) принимают вид: 2 2 C ) ( i 2 Q , f i , 0 Q f )] sin (cos sin Q f [ Q 2 , (17.7) 1 1 1 ln ln sin Q ctg Q dQ (17.8) Физические кривые уравнения (17.5) должны лежать в круге Q < C. Окружность Q = C интегральная кривая, на ней = 0, 1 sin exp s D Траектория на этом решении является границей с вакуумом 0 ) ( d ) cos sin ( sin rd cos dr При const 0 вакуумные траектории есть прямые 0 0 0 sin cos exp ( ) C y z , зависящие от параметра 0 . При 1 arctg вакуумная траектория есть логарифмическая спираль 0 exp r r , где 2 1 0 1 exp r D arctg , являющаяся огибаю- щей семейства прямых и одновременно некоторой линией уровня. Уравнение (17.5) допускает инверсию V V , -W W , значит, кар- тина интегральных кривых симметрична относительно начала координат. Имеется 5 особых точек уравнения: 1) V = W = 0, 0 , 2i( ) = C 2 – фокус и точка торможения; 177 2) W = 0, V = ±C, = 0 – узелы при 2 с касательными интегральных кривых m : W V C 1 2 ( ) ; - вырожденные узелы при = 2, где f( ) , при 0; 3) 2 1 C V , 2 1 C W , = 0 – два седла с сепаратрисами касатель- ными к окружности V W C 2 2 2 и к прямым l V W C :(( ) ) ( ) ( ) 1 2 1 1 1 2 2 (см. рисунок 8). Рис. 8 Непрерывный кусок течения может быть в области (фундаментальная область), заключенная между разными спиральными линиями уровня. Урав- нения разных линий уровня таковы 1 1 0 ln r , 2 0 0 ; или 0 exp r r , 0 1 exp 2 r Теорема 17.1. Линия тока не может быть продолжена за точку касания с линией уровня. Доказательство. Линии уровня удовлетворяют уравнению V W C V=αW S R P F 0 0 0 l + m − 178 1 r dr d или 0 d 1 , и являются логарифмическими спиралями 1 1 ln r const Линии тока по решению уравнений (17.5), (17.6) или (17.7), (17.8) оп- ределяются из равенств W rd V dr или d ctg r dr или 1 1 1 1 d VW d . (17.9) Условия касания линии тока и линии уровня имеют вид V = W или ctg ( 0 ). Интегральные кривые уравнения (17.5) пересекают прямую V = W под постоянным углом dV dW V W 2 1 2 . В полярных координатах плос- кости годографа подмодель имеет вид f ) 1 ( ) sin (cos Q Qf Q 2 2 2 1 , f ) 1 ( ) sin (cos Q ) sin (cos sin Q f 2 2 2 2 1 Отсюда следует 1 0 2 2 1 0 , Q Q 1 0 2 2 1 0 Значит, если двигаться вдоль линии тока в сторону увеличения 1 че- рез точку касания линии тока с линией уровня, то угол наклона вектора ско- рости к вектору точки положения монотонно убывает, а модуль скорости монотонно возрастает. Если линия тока лежит по одну сторону от линии уровня и касается ее, то соседняя линия уровня пересекает ее в двух точках, в которых одинако- во, и получается противоречие с монотонностью изменения угла наклона вектора скорости к вектору точки положения. Пусть линия тока пересекает линию уровня и касается ее в точке пере- сечения. Так как угол между вектором точки положения на линии уровня и 179 линией уровня постоянен и равен 0 , то угол между вектором точки на ли- нии тока с линией тока имеет экстремум в точке касания. Получается проти- воречие с монотонностью изменения при переходе через точку касания. Из этой теоремы следует, что интегральные кривые уравнения (17.5) нужно рассматривать лишь по одну сторону от прямой V = W (см. рису- нок 8). Каждый кусок интегральной кривой дает непрерывное течение в об- ласти, ограниченной двумя разными линиями уровня. Знак d 1 определяется знаком выражения ) 1 ( f ) sin (cos Q 2 2 2 На кривой = 0 меняется направление возрастания 1 и ускорение обра- щается в бесконечность. Уравнение = 0 равносильно уравнению 1 0 sin( ) sin aQ , – угол Маха, т.е. 0 . Дифференциро- вание по приводит к равенству 2 2 1 sin 2 ( 2 ) m a Q Q Q . При = 0 и 2 кривая = 0 (овал, эллипс для политропного газа) касается окруж- ностей Q = C и a Q . Для точек близких к окружности Q = C выполняется неравенство > 0. Направление возрастания 1 при движении вдоль инте- гральных кривых показано стрелками на рисунке 8. Рассмотрим пример построения линии тока для интегральной кривой SPF, идущей из седла в фокус, которая задается уравнением ( ) Q Q , ) , ( 0 0 . При движении от S к F значение переменной 1 убывает. За начальную точку линии тока возьмем точку P, для которой , Q = Q p и скорость направлена к центру по лучу. Пусть для этой точки 0 = 0, этого можно добиться поворотом начального луча полярной системы координат. Линия тока задается равенствами 1 0 ( ) ctg Q dQ , 180 1 1 1 1 ln Q ctg dQ Q dQ , где - параметр, задает начальную линию уровня P , которую можно выбрать произвольно (см. рисунок 9). Из уравнения (17.7 ) для ) , ( 0 следует неравенство 1 1 f Q 1 Q Q 1 2 2 1 , где ) , ( ctg В силу этого равенства получим F 0 F 0 F 0 1 Q ln 1 dQ Q Q 1 ctg Q ln 1 ) ( 0 , 0 0 ) sin( ln 1 dQ Q Q ) ( ctg ) ( 0 0 0 0 0 u S u P u F 1 R 1 S P 1 P 1 F P Рис. 9 181 и линия тока наворачивается из бесконечности, где приближается к линии уровня F 1 Для ) , ( 0 воспользуемся равенствами C 1 1 Q 0 , p Q 1 Q , C ) ( Q 0 , p Q ) ( Q и априорным представлением о картине интегральных кривых (Рис. 8), в частности, для интегральной кривой, иду- щей из седла, справедливы неравенства 1 Q Q 1 1 . Тогда 0 0 ) sin( ln d Q Q ) ( ctg ) ( 0 1 0 1 0 0 0 ; s 1 1 1 0 0 1 d ) Q Q ( ctg C ln ) ( 0 , где интеграл сходится, так как в особой точке 0 или ctg подынтегральное выражение ) Q Q ( ctg 1 1 2 p 2 p 2 Q a имеет конечный предел. Итак, линия тока разворачивается в бесконечность при 0 , при- ближаясь к линии уровня s 1 Другие линии тока получаются перенесением скоростей вдоль линии уровня. Такое перенесение можно сделать неограниченно далеко в беско- нечность и неограниченно близко к нулю, если все линии уровня в этом те- чении различны. Для этого необходимо выполнение условия 0 0 d Q Q 1 ctg Q C ln 1 2 ) ( ) ( F 0 1 0 1 , которое можно удовлетворить выбором . В этом случае получается закру- ченное течение между спиральными линиями уровня с переходом через ско- рость звука ( R 1 - звуковая линия уровня) из бесконечности в бесконеч- ность с разворотом потока (Рис. 9). Любая линия тока наворачивается из бес- конечности, где она асимптотически приближается к линии уровня F 1 и, которую можно считать стенкой; на некотором витке она разворачивается, 182 пресекает звуковую линию, и далее разворачивается в бесконечность асим- птотически приближаясь к линии уровня S 1 , за которой вакуум. Если 2 F S , то получается однолистное течение. Если 2 F S , то непрерывный кусок течения возможен только на одном витке. Но можно представить и многолистное течение, когда 0 и имеется движение частиц в направлении перпендикулярном плоскости пере- менных r, Две разные линии тока задают бесконечное скрученное сопло, которое можно обрезать на любом витке. |