Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного

• Название: Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
• Анкор: Лекции по газовой механике
• Дата: 12.05.2023
• Размер: 4.39 Mb.
• Имя файла: habirov.pdf
• Тип: Книга; #1124687
• страница: 14 из 15

§19. Инвариантные решения подмодели сферически симметричных
движений газа.
Сферически симметричные движения газа описываются особой инва- риантной подмоделью на группе вращений
1 1
2 0,
(
2
)
0,
0,
( , ),
t
r
r
t
r
r
t
r
U
UU
p
U
U
r U
S
US
p
f
S a
f


















(19.1)
Групповая классификация системы (19.1) совпадает с групповой клас- сификацией общих уравнений газовой динамики. Ядро групп состоит из пе- реноса по времени и равномерного растяжения:
,
t
t
r
t
r
 


, что совпадает с фактором нормализатора подалгебры вращений. Допускается отражение
,
t
t U
U


 
 
Рассмотрим инвариантные решения ранга 1. Оптимальная система од- номерных подалгебр состоит из двух представителей
t

и
t
r
t
r



1. Стационарное решение на подалгебре
t

таково:
0
S
S

,
2 1
2 2
U
dp
C





,
2
r
U
D


Оно задает течение газа из неточечного источника или стока.
Для политропного газа
p
B



,
1


,
2 1
a
B




имеем
2 1
U
Dr




,


2 4
2 2
1 1
( )
2
(
1)
( ).
G r
D r
C
B
F


 










Построим график функций
( )
G r
и
( )
F

с осями
r
и

на одной прямой (см. рисунок 1). Нулями функции
( )
F

являются
0


,
1
 

,
1 2
1 1
(
1)(2
)
C
B








. Максимум функции
( )
F

достигается в точке

201
 


,
1 2
1
(
1)(
(
1))
C
B



 






. Равенство
(
)
( )
F
G r




определяет область течения
1/4 1
1
D
r
r
C

 





 





Имеется две ветви решения
( ),
1, 2,
i
r i
r
r




. Истечение из источ- ника
r
r


звуковое:
( )
( )
U r
U
a
a r







. Для первой ветви (см. рису- нок 1)
1 1
( )
r



,
(
1)/2 1
1
a
a
B

 

 
,
r
 
,
0
U

течение дозвуко- вое. Для второй ветви
2
( )
0
r


,
U
C

,
0
a

,
r
 
течение сверх- звуковое.
Сфера
r
r


является предельной линией, на ней ускорение бесконеч- но
2 3
4 4
1
©( )
r
D
D
U
r
r
F






  




при
r
r


,




Наличие предельной линии говорит о невозможности стационарного решения в целом. К подобласти определения стационарного течения (на- пример ограниченной конусом) должна примыкать по характеристике УГД рассматриваемого течения область другого движения, вместо характеристи- ки можно взять сильный разрыв.
2. Автомодельные решения на подалгебре
t
r
t
r



совпадает
F( )

G r
( )

2
( )
r

1
( )
r
0



1

r

r
0
Рис. 1

202 простыми волнами
0
S
S

,
( )
U
U s

,
( )
a
a s

,
1
s
rt


, и образуют под- модель ранга один
2 2
2 2
(
)
Ua
sU
a
U
s
  


,
2 2
(
)
( )
(
)
aU U
s
sa
M a
a
U
s

 


,
( )
f
M a
f




,
2
a
f


При
1
M

 
,
const


, т.е. с уравнением состояния вида
1
( )
( )
p
B S
B S




, система приводится к автономному уравнению после замены функций
1
U
sU

,
1
a
sa

,
2 1
1 1
1 1
2 2
1 1
1 1
(
1)(
1)
3
(
1)
da
a a
U
U
dU
U
a
U







, (19.2) и квадратуре
2 2
2 2
1 1
1 1
1 1
2 2
2 1
1 1
1 1
1 1
(
1)
(
1)
(
1)(
1)
3
(
1)
a
U
da
a
U
dU
ds
s
a
U
U
a
a
U
U





 
 





. (19.3)
Уравнение (19.2) имеет 6 особых точек при
1 3


:
1.
1 1
0
U
a


- дикритический узел;
2.
1 1
0,
1
a
U


- при
1 2

 
двойной узел с касательными интегральных кривых
1 1
(2
) / 3(
1)
a
U

 


;
3.
1 1
1,
0
a
U


- вырожденный узел;
4.
1 1
1,
0
a
U
 

- вырожденный узел ;
5.
1 10 1
10 2 / (3 1)
,
3(
1) / (3 1)
,
1/ 3
U
U
a
a





 


 

- седло с сепаратрисами, касательными к прямым
10 1
10 2 3(
)
(
)
a
a
k U
U




,
2
(3
) / 2
((3
) / 2)
1
k



 



,
0
k


,
0
k


6.
1 10
U
U

,
10
a
a
 
- седло.

203
Имеются интегральные прямые
1 0
a

и
1 0
U

. Уравнение (19.2) до- пускает отражение
1 1
a
a
 
, значит, картина интегральных кривых сим- метрична относительно оси
1
U
Интегральные кривые имеют направления с нулевым углом к оси
1
U
, в точках гиперболы
2 2
2 1
1
(
(
1) / (2 ))
1 (
1) / (4 )
a
U








 

, и имеют направления с нулевым углом к оси
1
a
в точках скрещивающихся прямых
p

:
1 1
3
(
1)
a
U
 

(см. рисунок 2).
Картина интегральных кривых совпадает с одной из картин, получен- ных Л.И. Седовым для политропного газа (Метод подобия и размерности в механике. 1965. § 5, рис. 30, стр. 200).
В бесконечно удаленную точку входят только интегральные прямые
1 0
a

и
1 0
U

. Гипербола
2 1
1 1
:
(
1)(
1)
g a
U
U




, прямые
p

:
1 1
3
(
1)
a
U
 

,
q

:
1 1
(
1)
a
U
 

есть линии перемена знака в выраже-
0 1
U
1 1 g g
p



1
p

q

q

a
1
Рис. 2

204 ниях (19.3). Стрелками на рисунке указаны направления движения по инте- гральным кривым, чтобы выполнялось неравенство
s ds


1 0
Непрерывным решениям соответствуют интегральные кривые в пер- вом квадранте, входящие в дикритический узел, и идущие из вырожденого узла и двойного узла. Граничные интегральные кривые есть сепаратрисы седла. Направления возрастания величины
1
s ds

меняется на прямых
1 1
(
1)
a
U
 

В окрестности дикритического узла интегральные кривые имеют асимптотическое поведение
1 1
a
kU

. Уравнение (19.3) принимает вид
2 2
1 2
1 1
1 1
1 1
1 1
1
(
1)
2 1
(
2
)
(( 3 1)
1)(( 3 1)
1)
k
U
U
dU
ds
U
k U dU
s
U
k
U
K
U




 
 





Интегрирование дает
1 1
2 2
1 1
exp(
)
rt
s
CU
k U


 
 
при
1 0
U

При фиксированном значении времени
t
получаем распределение функций
1 1
,
U a
такое, что
1 0(
)
U
U
C


,
1 0(
)
a
a
kC


при
r
 
, т.е. в бесконечности имеется постоянный поток частиц.
В окрестности двойного узла интегральные кривые имеют поведение
1 1
(2
) / 3(
1)
a
U

 


. Уравнение (19.3) принимает вид


1 1
1 1
(
1) 3(
1)
s ds
U
dU




  

Интегрирование дает
1 3(
1)
1 1
rt
s
CU
C






 

при
1 1
U

При
1
t

имеется сфера
r
C

, на которой частицы имеют скорость
1
(
1)
U
C U


и скорость звука
1 0(
0)
a
a


(вакуум).
В окрестности вырожденного узла интегральные кривые имеют пове- дение
1 1
1 1
2 1
(
ln |
|)
a
U k
U


 

. Уравнение (19.3) принимает вид
1 1
1 2
[
(1 ln |
|)]
ds
s
k
U
dU


  

Интегрирование дает

205 1
1 1
1 2
ln ln ln |
|
ln
s
C
kU
U
U
C






при
1 0
U
s
C
  
При
1
t

имеется сфера
r
C

, на которой частицы имеют скорость
1 0(
0)
U
U


и скорость звука
1
(
1)
a
C a


(торможение).
Возможны два типа непрерывных движений со специальным распре- делением параметров газа при
1
t

1) Интегральная кривая соединяет дикритический узел и двойной узел. Имеется вакуум внутри сферы
r
C

, задается достаточно большой импульс к разлету
U
C

при
r
C

и на бесконечности
r
 
имеется достаточно малое противодавление
a
kC

,
0
k
k

, где
0
k
- наклон сепарат- рисы седла, идущей в дикритический узел (см. рисунок 3).
2) Интегральная кривая соединяет дикритический узел и вырожден- ный узел. В этом случае имеется покоящийся газ внутри сферы
r
C

, сток газа на бесконечности
r
 
с большим противодавлением
0
,
a
kC k
k


(см. рисунок 4).
( )
a r
С
0
С r kC
U r
( )
Рис. 4
U( r )
С
a r
( )
0
С r kC
Рис. 3

206
Условие на инвариантной ударной волне
r
Dt

запишем в перемен- ных
1 1
,
U a
:
1
U
sU

,
1
a
sa

,
D
s

- скорость поверхности,
D
const

,




1 1
2 1
1 1
1 1
2 2
1` (
1)
(
1)
1
,
U
U
a U





 
 

(19.4)




1 2
2 2
1 2
2 1
1 1
1 1
2 2
1
[
(
1) ][2
(
1)
1
]
a
a
U
a U














При таких переходах остаются инвариантными прямые
2 2
1 1
(
1)
a
U


. В точках этих прямых ударная волна вырождается в слабый разрыв. Прямые слабых разрывов совпадают с прямыми, на которых происходит смена знака выражения
1
s ds

, поэтому однолистный непрерывный инвариантный сла- бый переход невозможен. На этих же прямых достигается знак равенства в утверждении теоремы 4.4 (Цемплена).
Прямая точек вакуума
1 0
a

при преобразовании (19.4) переходит в прямые
2 1
2 1
1 2 (
1) (
1)
a
U
 




, ограничивающие область ударных пере- ходов. Прямая точек покоя
1 0
U

переходит через ударную волну (преобра- зование (19.4)) в эллипс
2 1
1 1
1 2
(1
)(1
)
a
U
U


 

. Прямая
1 1
U

точек инва- риантного движения поршня не входит в область ударных переходов.
Итак, если двигаться по интегральной кривой по стрелки в области выше прямых
1 1
(
1)
a
U
 

, то непрерывное инвариантное движение не- возможно в целом. Непрерывная часть движения возможна до пересечения с прямыми
2 1
2 1
1 2 (
1) (
1)
a
U
 




, ограничивающими область ударных пе- реходов. Из области ударных переходов преобразованием (19.4) перейдем в область, ограниченную сепаратрисами седла, или в область ниже прямой
1 1
1
a
U


. Далее двигаемся по стрелки вдоль новой интегральной кривой в вырожденный узел или в двойной узел (см. рисунок 2). Получается движе- ние газа с ударной волной в целом.

207
Если двигаться вдоль интегральной кривой от прямой
1 1
U

до эл- липса, то через ударную волну перейдем к покою. Такая интегральная кривая описывает движение газа под действием расширяющегося сферического поршня, который производит ударную волну, двигающуюся по покою.
3. Простые волны. Для двумерной алгебры Ли, допускаемой уравне- ниями (19.1), инвариантами являются
, ,
U
S

. Нерегулярные частично инва- риантные решения ранга 1 дефекта 1 называются простыми волнами. Если
0
 

- постоянная, то
0
U

,
0
S
S

,
0
p
p

- равномерный покой. Пусть
const


и
( )
U
U


,
( )
S
S


,
( )
p
p


Если
0
S
 
, то
0
U

,
0
p
p

,
( )
R r


,
0
( ( ), ( ))
p
f R r S r

- не- равномерный покой.
Пусть
0
S
S

- постоянная, тогда из системы (19.1) следует
0
t
r
p
U
U














,
2 2
2 2
(
)
r
UU
r p
U








Первое уравнение интегрируется




1
( )
r
R
t U
p
U








, (19.5) а из второго уравнения следует соотношение








1 1
2 2
2
(
)
2
R
t U
p
U
p
U
UU
R
t U
p
U















 














Приравнивая коэффициенты при
t
, получим
1 2
2 2
2
p
U
p
p
R
U
U
UU
U
U
R












 







 





 

Если
0
R

, то последнее равенство отсутствует.

208
При
0
R

имеется интеграл




1
r
C U
p
U






. Первое урав- нение определяет функцию
( )
U

по заданному уравнению состояния
0
( )
( ,
)
p
f
S



,
2
( )
p
a
f


 

Подстановка в (19.5) определяет функцию
( , )
t r

, при этом перенос по
t
делает
0(
0)
C
R


Итак, без ограничения общности считаем
0
R

и простые волны определяются уравнением
2 3
2 2
2 4
2 3
(4
)
,
ln
a UU
UU
a U
aa
a UU
a













Из уравнения (19.5) следует, что
1
( ),
s s
rt
 



. Значит, простые волны подобны автомодельным решениям.

209