Лекции по газовой механике. Министерство образования и науки российской федерации башкирский государственный университет нил "гамметт" уфимского государственного
 Скачать 4.39 Mb.
|
|
§11. Приближенные подмодели. Оптимальная система подалгебр позволяет строить множество точных решений уравнений газовой динамики, а также конструировать подмодели. На практике часто необходимо рассмотреть близкие к точным решения или более подробно выяснить поведение решений подмодели в малых областях особых многообразий. В обоих случаях в уравнениях газовой динамики или ее подмоделях вводится малый параметр. Формальное введение малого па- раметра может осуществляться с помощью некоторой группы преобразова- ний, не допускаемой исходными уравнениями. Если малый параметр ввели в систему, то далее производится асимпто- тическое разложение решений по этому параметру. Члены наименьшего по- рядка образуют приближенную подмодель. Основная трудность состоит в оценке младших членов, что сделано лишь в редких случаях простейших краевых задач. 1 . Наиболее часто встречающийся приближенный метод есть линеа- ризация на точном решении. Пусть u u x t p p x t x t S S x t 0 0 0 0 ( , ), ( , ), ( , ), ( , ) (11.1) есть решение уравнений газовой динамики. 88 Разыскивается другое решение вида u u u p p p S S S 0 0 0 0 , , , , (11.2) где – малый параметр, u p S , , , – новые неизвестные функции перемен- ных t x , , Подстановка (11.2) в (3.5), (3.6), (3.8) и в уравнение состояния, сокра- щение на общий множитель дает D u di v u di v u u di v u D u u u p p u u D S u S u S p f S S f S 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 , ( ) , , , , , (11.3) где D u t 0 0 Основное предположение, обоснование которого делает законным процесс линеаризации, заключается в следующем. Функции u p S , , , , как решения точных уравнений (11.3), их производные имеют конечные пре- дельные значения при : ( , , ) ( , ), u t x u t x ( , , ) ( , ), t x t x ( , , ) ( , ) S t x S t x . Если предположение оправдано, то предельный пере- ход в (11.3) дает уравнения для возмущений основного движения 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0, 0, 0, , S D divu u divu D u u u p p D S u S p a f S (11.4) где f f S a f S S S 0 0 0 0 2 0 0 ( , ), ( , ) – квадрат скорости звука основного дви- жения. Приближенная подмодель (11.4) является линейной системой для предельных возмущений. Рассмотрим пример постоянного основного решения u p S 0 0 0 0 0 , , , – постоянные. 89 Система (11.4) принимает вид уравнений акустики 0 1 0 0 0 0 2 0 0 0, ( ) 0, 0, t t t S u divu u u u p S u S p a f S (11.5) Замена 0 y x tu приводит к покою 0 ( 0) u : 0 1 2 0 0 0 0, 0, 0, t t t S divu u p S p a f S Замена плотности приводит к нулевой энтропии. Отсюда следует волновое уравнения для давления 2 0 , tt p a p (11.6) где – оператор Лапласа. Уравнению (11.6) удовлетворяет плотность , а для скорости u имеется система уравнений 2 0 tt u a divu В потенциальном случае u скорости и потенциал скорости удовлетворяют уравнению (11.6). 2 . Рассматриваются изоэнтропические безвихревые установившиеся движения, описываемые интегралом Бернулли (10.7) и уравнением для по- тенциала скоростей (10.8). Околозвуковое приближение описывает малые возмущения звукового потока u a v w a a , , 0 (11.7) Линеаризация на решении (11.7) дает неудовлетворительную прибли- женную модель. Правильное описание возмущений получится, если сделать следующую замену переменных x x y y z z a x a a a k k k k 1 3 2 , , , , (11.8) при любом выборе значения параметра k. Подстановка (11.8) в интеграл Бернулли (10.7) и уравнения потенциала (10.8) приводит к равенствам m a x 2 2 ( ), где m f ( )f ( ) 1 ; 90 2 1 2 a a x x x y y z z ( ) ( ). Предполагается, что функции x y z a , , , как решения соответст- вующих точных уравнений, их производные при фиксированных конечных значениях переменных x y z , , имеют конечные предельные значения при Предельный переход в последних равенствах дает подмодель около- звукового приближения a m x x x y y z z 1 2 ( ) (11.9) 3 . При установившемся обтекании тонких тел, двигающихся с боль- шими сверхзвуковыми скоростями, делают гиперзвуковое приближение. Так как уравнения газовой динамики допускают преобразования Галилея 4 из G 11 (§ 1), то можно считать, что тело покоится, а на него набегает гипер- звуковой поток. Основное постоянное течение таково: u u v w a a 1 1 0 , , , где a u 1 1 1 – малый параметр. Правильное описание возмущений гипер- звукового потока получается при следующей замене переменных x x y y z z u u u v v w w p p S S , , , , , , , , 1 2 2 Подстановка в подмодель 1.10 стационарных движений газа (§ 8) дает 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 0, 0, 0, 0, x y z x x y z y x y z z x y z x y z u u u v u w u p u u v v v w v p u u w v w w w p u u v w u v w 2 1 0. x y z u u S v S w S 91 Предполагается, что u v w p S , , , , , и их производные по x y z , , имеют при фиксированных конечных значениях переменных x y z , , ко- нечные предельные значения при . В результате предельного перехода получается подмодель гиперзвукового приближения u u v u w u p u v v v w v p u w v w w w p u v w u S v S w S x y z x x y z y x y z z x y z x y z 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 , , , ( ) ( ) , (11.10) Пусть поверхность тонкого тела задана уравнением F x y z ( , , ) 0 . Тогда на этой поверхности выполняется условие обтекания u n 0 , (11.11) где внешняя нормаль n F F F i F j F kF n i u D n F F j F kF D u F F F x y z x y z y z y z x y z 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 1 2 / / / ( ), , Подстановка в (11.11) и предельный переход дает приближенное усло- вие обтекания для системы (11.10) u F v F w F x y z 1 0 при F x y z ( , , ) 0. (11.12) Если ввести переменную x u t 1 1 , то система (11.10) без первого уравнения становится подмоделью 1.13 двумерных движений газа, а условие обтекания (11.12) есть условие не протекания газа сквозь контур F t y z (u , , ) 1 0 в плоскости y z , , представляющей собой сечение обтекае- мого тела плоскостью x u t 1 92 Упражнение 1. Вывести условие сильных разрывов для подмодели (11.10). Упражнение 2. Провести вывод подмодели околозвуковых приближе- ний (11.9). Упражнение 3. Найти алгебру Ли, допускаемую подмоделью (11.9). Упражнение 4. Для уравнений в новых штрихованных переменных провести асимптотическое разложение, представив решение в виде ряда по неотрицательным степеням малого параметра. Упражнение 5. Провести линеаризацию уравнений газовой динамики на решении (11.7). § 12. Нестационарное одномерное движение. 1 . Инвариантные подмодели ранга два получаются при рассмотрении двумерных подалгебр. В оптимальной системе 27 классов неподобных по- далгебр. Рассмотрим лишь некоторые из них. Так же как для инвариантных подмоделей ранга 3 для двумерных по- далгебр инварианты можно выбрать так, что подмодель будет иметь одну из двух форм: эволюционный тип 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 3 1 1 4 1 1 5 , , , , ( , ) , t x x t x t x t x x t x x u u u bR P a v u v a w u w a R u R Ru Ra P u P A R P u a (12.1) где b x a i (t, ) , 1 0 – линейные или квадратичные функции по переменным u v w 1 1 1 , , ; стационарный тип 93 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 4 1 1 1 1 5 , , , ( ) , ( , )( ) , x y x x y y x y x y x y x y x y u u v u b R P a u v v v b R P a u w v w a u R v R R u v Ra u P v P A R P u v a (12.2) где b y a i i (x , ) , 1 1 0 – линейные или квадратичные функции по переменным u v w 1 1 1 , , Системы (12.1), (12.2) записываются в симметрическом виде так же, как это было сделано в § 3. Система (12.1) всегда гиперболическая. Область гиперболичности для решения системы (12.2) определяется неравенством b u b v a 1 1 1 2 2 1 1 2 2 (12.3) Доказательство такое же как теоремы 1 из § 8. Подалгебра 2.27 задает подмодель нестационарных одномерных дви- жений эволюционного типа (12.1) с b a a a a a 1 0 1 2 3 4 5 , . Вто- рое и третье уравнения системы отщепляется, т.е. могут быть рассмотрены после нахождения решения остальных уравнений. Подалгебра 2.11 задает подмодель вращательных движений. В цилинд- рических координатах представление решения таково U v V u W w p P R 1 1 1 , , , , , где функции u v w P R 1 1 1 , , , , за- висят от t, x r 1 , – алгебраический параметр. Получается система эво- люционного типа (12.1) с b a r w a r w 1 1 1 1 2 2 1 1 , , , a r u w a r u a A a 3 1 1 1 4 1 1 5 4 , , Второе уравнение отщепляется, а вместо третьего можно получить интеграл закрутки r w S 1 ( ), (12.4) где – произвольная функция. 94 Подалгебра 3.1 имеет инварианты , , , t r x p и инвариантное мно- гообразие u x v y w z , которые задают особое инвариантное решение вида 1 1 ( , ), ( , ), ( , ). u xr u t r p P t r R t r (12.5) Подстановка (12.5) в уравнения газовой динамики (3.5), (3.6), (3.9) приводит к подмоделе сферических движений u u u p u u r u p u p a u r u t r r t r r t r r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 0 , , , (12.6) где =2. Если в (12.6) =1, то получается подмодель вращательных дви- жений без отщепленных уравнений и при =0. При =0 получается подмо- дель нестационарных одномерных движений без отщепленных уравнений. Далее в системе (12.6) индекс "1" опускаем и назовем ее уравнениями одно- мерных движений с плоскими ( =0), цилиндрическими ( =1) и сфериче- скими ( =2) волнами. 2 . Характеристическая матрица системы (12.6) имеет вид A a ( ) , 0 0 0 1 2 где u, ( , ) – характеристический век- тор (§ 5). Характеристическое уравнение det ( ) ( ) A a 2 2 2 0 имеет три вещественных корня 0, a . Левые собственные векторы матри- цы A( ) для них соответственно равны ( , , ), ( , , ). 0 1 01 2 a a Если характери- стические линии разыскивать в виде h r r (t) , 0 то их уравнения и ус- ловие на них таковы 95 C r u, D p a D S C r u a D u a D p r au, C r u a D u a D p r au, 0 0 2 0 1 1 1 1 0 : ( ), : , ( ) : , ( ) или D 0 (12.7) где D u D a t r t r 0 , (u ) Лемма. Пусть для непрерывного движения 0 в некоторой точке M ( r 0 при > 0). Тогда 0 вдоль всей траектории C 0 (M) , проходящей через точку M. Доказательство. Второе уравнение системы (12.6) записывается в ви- де обыкновенного дифференциального уравнения для вдоль C 0 D r u) r 0 1 0 (u Это линейное однородное уравнение имеет непрерывный коэффици- ент. Интегрирования вдоль C 0 с начальными данными (M) 0 дает (C (M)) 0 0 в силу единственности решения. Аналогичное свойство справедливо для p и а в нормальном газе. Отсю- да следует, что если какая-либо из величин , a, p отлична от нуля в точке M, то все они не равны нулю вдоль линии C 0 (M). Точкой вакуума называют точку, в которой a p 0. Линия вакуума может быть только траекто- рия C 0 , которая сливается с характеристиками C (см.(12.7)). В непрерывном движении через каждую точку M проходят три ха- t рактеристики, как показано на T Рис. 1, если M не есть точка ваку- M ума. Внутри характеристического C C 0 C треугольника AMB нет точек ваку- 0 A N B r ума. Также как в § 6 доказывается Рис. 1 теорема единственности гладкого решения задачи Коши в характеристическом треугольнике. 96 3 . Система (12.6) сводится к одному квазилинейному уравнению вто- рого порядка для лагранжевой координаты (r , ): , t u t r 0 r 0. В этом случае справедлив интеграл энтропии S S ( ) (12.8) Дифференцирование по r дает D u r r r 0 0 . В силу второго уравнения (12.6) следует D r r 0 1 0 ( ) . Значит, r t r r u ( ), ( ). (12.9) На данном движении лагранжева координата определена с точностью до взятия от нее произвольной монотонной функции. Если конкретизировать ( ), например, =1, то определена однозначно и называется массовой лагранжевой координатой. В этом случае из (12.9) находятся r u p f S r t r , , ( , ) 1 (12.10) Подстановка (12.10) в первое уравнение (12.6) дает универсальное уравнение возможных лагранжевых замен на каком-либо движении газа: r t t r t r t t r r r r r S a r a f S 2 2 2 2 1 2 3 3 2 ( ) ( )r (12.11) Упражнение 1. Построить класс точных решений уравнений газовой динамики в случае политропного газа, положив r b(t) в уравнениях (12.11). 4 . Для изэнтропических непрерывных движений с плоскими волнами многие уравнения интегрируются. В этом случае r =x, x , 0 0 , S S const , u uu a u u t x x t x x 1 2 0 0 ( ) , (12.12) Уравнения (12.7) для (12.12) принимают вид C x u a r u const C x u a l u const : , (a) ; : , (a) , 97 где 1 0 a r l ( )d ; , – инварианты Римана. Для нормального газа (a) , 2 2 0 1 1 1 f f m т.е. (a) монотонная функция имеет обратную ( ) 1 Поэтому u и a выражаются через инварианты Римана u r l a r l 1 2 1 2 1 ( ), ( ) ( ) Так как D r D l 0 0 , , то система (12.12) записывается в инвариантах Римана r r l r l r l r l r l l t x t x 1 2 1 2 0 1 2 1 2 0 1 1 ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) (12.13) Результаты § 9 о простых волнах в рассматриваемом случае уточняются. Теорема 1. В простой волне (решение не постоянно) один из инвари- антов Римана r или l сохраняет постоянное значение в области течения. Если r const l const ( ), то линии уровня являются прямолинейными характе- ристиками C (C ) . Обратно если в некоторой области непостоянного тече- ния один из инвариантов Римана постоянен, то движение в этой области есть простая волна. Доказательство. В простой волне все функции зависят от одного па- раметра-функции (x, ), t т.е. r r l l ( ), ( ) (12.14) Подставка в (12.13) дает равенества r l ( )D , ( )D 0 0 Случаи r l ( ) ( ) 0 и D D 0 не годятся, так как приводят к постоян- ному решению. 98 Случай r D ( ) , 0 0 приводит к r – волне r r const 0 и вдоль C const , т.е. разность u-a – постоянна и уравнение характеристик интегрируется x a F u r (u )t (u), (a) , 0 (12.15) где F - произвольная функция. Случай l D ( ) , 0 0 приводит к l – волне l l const 0 : x a G u l (u )t (u), (a) 0 , (12.16) где G - произвольная функция. Обратно, пусть l const в области течения и r const . Тогда u, a – функции от r, т.е. задают простую волну. Теорема 2. Пусть в непрерывном движении есть характеристика C (C ), не являющаяся линией вакуума, и вдоль которой u, , p постоянны. Тогда в окрестности этой характеристики движение является изэнтропиче- ским и либо постоянным, либо простой l – волной (r – волной). Доказательство. Пусть u, , p постоянны вдоль C , значит, S const Так как C не есть линия вакуума, то пересекающие ее траектории C 0 обра- зуют область, в которой энтропия постоянна. Пересекающие C характери- стики C образуют область, в которой l const . Значит, в пересечении рас- сматриваемых областей течение либо постоянно, либо простая l – волна. Простая r – волна (l – волна) называется центрированной в точке (x , ) 0 0 t , если все ее прямолинейные характеристики C (C ) пересекаются в точке (x , ) 0 0 t . Из (12.15) и (12.16) получаются уравнения центрированной r – волны u a r const u a x x t t ( ) , ; 0 0 0 (12.17) и центрированной l – волны 99 u l const u a x x t t (a) , 0 0 0 (12.18) Центрированные простые волны дают пример решений с особенно- стью. Из (12.17), (12.18) следует, что основные величины не являются непре- рывными в центре волны (x , ) 0 0 t , а область существования решения есть сектор, не содержащий прямой t t 0 Упражнение 2. С помощью центрированных волн решить задачу об истечении покоящегося газа в вакуум. Простая волна называется волной сжатия (волной разрежения), если плотность в частице со временем возрастает D 0 0 (убывает D 0 0 ). Теорема 3. Простая волна является волной сжатия (волной разреже- ния), если и только если для углового коэффициента k u a соответст- вующего семейства прямолинейных характеристик выполняется неравенство k x x 0 0 (k ). Доказательство. Для r – волны (l – волны) из (12.15) ((12.16)) имеем u a u a x x x x 0 0 ( ) . Дифференцирование равенства a f 2 по x дает a m u a m u x x x x 2 2 , где m f f 1 0 для нормального газа. Отсюда k m u x x 1 1 2 и из уравнения неразрывности системы (12.12) получим равенство k m D x 2 2 0 , из которого следует утверждение теоремы. t C C На Рис. 2 изображены вееры прямолинейных характери- x стик для l – волны сжатия и 100 разряжения. В волнах сжатия характеристики при некотором t 1 пересекают- ся: k x при t t 1 . Происходит неограниченный рост градиентов ос- новных величин. Такое явление типично для нелинейных гиперболических уравнений и называется градиентной катастрофой. Оно может произойти в непрерывных движениях общего характера. В действительности такие осо- бенности отсекаются сильными разрывами. Упражнение 3. Вычислить время наступления градиентной катастро- фы в простых волнах сжатия. 5 . Если инварианты Римана r r t l l t (x, ), (x, ) имеют ненулевой якобиан j r l r l x t t x 0, то в (12.13) удобно поменять местами зависимые и независимые переменные, т.е. выразить x x l t t l (r , ), (r , ) (переход в плоскость инвариантов Римана). В силу (12.13) j ar l x x 2 . Якобиан j обра- щается в нуль либо при r r r x t 0 0 (r ), либо при l l l l x t 0 0 ( ), либо r r l l r l l x t x t 0 0 0 (r , ). Значит, прямым r r l l 0 0 ; и точке r r l l 0 0 , в плоскости инвариантов Римана соответствует в про- странстве R t 2 (x, ) r – волна, l – волна и постоянное течение соответственно. Так как вдоль C меняется только l, то уравнение характеристики C : dx = (u + a) dt равносильно уравнению x a l l (u )t . Аналогично, вдоль C меняется только r, значит, x a r r (u )t . Получается система линейных уравнений, которую можно привести к гиперболическому уравнению Дарбу t H l t r l r l (r )(t ) , 0 (12.19) где функция H(z) определяется параметрически z H a 2 1 8 2 1 (a), (z) (m(a) ). Упражнение 4. Пользуясь определением инвариантов Римана вывести уравнение (12.19) или равносильное самосопряженное уравнение (ht ) (ht ) , l r r l 0 где h(z a ) 101 Упражнение 5. Свести задачу о взаимодействии двух центрирован- ных волн к задаче Гурса для уравнения (12.19). Применить метод Римана для решения задачи Гурса. Далее рассматривается классическое решение газодинамической зада- чи с использованием простых волн и сильных разрывов. 6 . Задача о распаде произвольного разрыва формулируется так: при t =0 заданы разрывные начальные данные u u p p u u p p 1 1 1 2 2 2 0 0 , , (x ); , , (x ), где u p j j j j , , , , 1 2, – постоянные. Задача инвариантна относительно рас- тяжения 5 группы G 11 из § 1, поэтому ее решение разыскивается как инва- риантное: u u( p p xt ), ( ), ( ); 1 (12.20) Простые волны возникающие при решении задачи всегда центриро- ванные. Линии уровня газодинамических функций и линии сильных разры- вов на плоскости R t 2 (x, ) есть прямые, проходящие через начало. В простых волнах величину можно рассматривать как функцию ( ). p В r – волне выполняется соотношение u p u p u a ( ) ( ), 0 0 , (12.21) в l – волне выполняется соотношение u p u p u a ( ) ( ), 0 0 , (12.22) где (u , ) 0 0 p – состояние перед волнами. В плоскости (p,u) имеются две кривые для простых волн. Ветви, для которых p p p p 0 0 ( ) , соответствуют волнам сжатия (разрежения). ( , p u) – диаграмма простых волн с центром (u , ) 0 0 p симметрична относи- тельно прямой u u 0 (Рис. 3). Верны следующие равенства для производ- ных 102 du dp a d u dp m a m f f 1 2 2 2 2 2 3 , , , (12.23) где верхний знак для r – волны, нижний знак для l – волны. p сжатие l – волна r – волна p 0 разрежение Рис. 3 0 u 0 u Для ударных волн равенства (4.8), (4.13), (4.14) принимают вид (u )V (u )V D D 0 0 (12.24) (u ) ( )(V ), u p p V 0 2 0 0 (12.25) e p e p p p V (V, ) (V , ) ( )(V ), 0 0 0 0 1 2 (12.26) где D – скорость ударной волны. Уравнение (12.26) задает адиабату Гюгонио V W p V p ( ; , ) 0 0 с цен- тром в ( , ) p V 0 0 , уравнение (12.25) после исключения V задает (p, u) – диа- грамму ударных волн с центром (u , ). 0 0 p Величина V 0 определяется из уравнения состояния p g S S 0 0 0 0 (V , ), – энтропия непрерывного изоэн- тропического течения, являющаяся параметром (p, u) – диаграмм. (p, u) – диаграмма ударных волн симметрична относительно прямой u u 0 (см. (12.25)). Дифференцирование (12.25) дает 2 0 0 0 (u ) ( ) u du dp V W p p dW dp , (12.27) 103 2 2 2 0 2 2 2 0 2 2 ( ) ( ) u u d u dp du dp dW dp p p d W dp (12.28) В точке ( , ) u p 0 0 получается формула du dp dW dp a 0 2 0 0 2 0 2 1 , (12.29) где последнее равенство следует из теоремы 2 § 4. Значит, через центр ( , ) u p 0 0 проходят две ветви (p, u) – диаграммы ударных волн. Из (12.27) в силу (12.25) получается неравенство (u )( ) u p p du dp 0 0 0. (12.30) Отсюда и из теоремы 1 § 4 следует, что ветви есть монотонные кривые, вдоль которых принимаются все значения давления, 0 p Закон сохранения массы (12.24) записывается в виде (u )V (D )(V ) u u V 0 0 0 0 Отсюда следует, что знак произведение (u )( ) u p p 0 0 совпадает со зна- ком величины D u 0 . Для волн, обращенных вправо (x ), 0 D u 0 0 , для волн, обращенных влево (x ) 0 , D u 0 0. волна влево p волна вправо В силу неравенства (12.30) это "0" перед фронтом означает, что du dp 0 для волн, обращенных вправо; p 0 du dp 0 для волн, обращенных "0" за фронтом влево (Рис. 4). u 0 u Дифференцирование (12.28) с учетом формул из теоремы 2 § 4 дает 104 d u dp m a 2 2 0 0 2 0 3 2 2 (12.31) Таким образом, (p, u) – диаграммы простых волн и ударных волн с од- ним центром (u , ) 0 0 p имеют касание второго порядка в центре (см. (12.23), (12.29), (12.31)). Теорема 4. Задача о распаде произвольного разрыва в нормальном газе при любых начальных данных имеет единственное инвариантное решение вида (12.20). Доказательство. По теореме единственности из § 6 в окрестности лу- чей t x t x 0 0 0 0 , ; , имеются постоянные решения u u 1 , 1 1 2 2 2 , ; , , p p u u p p Эти решения могут измениться либо непрерывным образом в некоторых центрированных волнах разрежения, ли- бо через ударные волны. (p, u) - диаграммы изменений таковы p p Ударная волна обра- щена вправо Ударная волна p 2 2 обращена влево l – волна p 1 1 r – волна разрежения разрежения u 1 b 1 u b 2 u 2 u Рис. 5 Рис. 6 Из свойств нормального газа и адиабаты Гюгонию (теорема 1 § 4) сле- дует, что диаграммы определены в интервале 0 p , монотонные, при- чем вдоль ударных волн u при p Если совместить Рис. 5 и Рис. 6, то существует единственная точка 3 пересечения диаграмм, за исключением случая b b 1 2 105 Точка пересечения (u , ) 3 3 p дает решение задачи. Оба газа 1 и 2 после переходов 1-3 и 2-3 имеют одинаковую скорость u 3 и давление p 3 , поэтому их можно связать контактным разрывом, идущим по лучу x u t 3 , вдоль ко- торого могут претерпевать разрыв и S. Возможны 10 типов конфигураций распада произвольного разрыва в зависимости от расположения точек 1, 2, 3 на совмещенных рисунках 5, 6. Например, p t контактный ударная волна разрыв p 3' 3" простая волна 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x p 3 3 1 u 1 2 x 0 b 2 u 3 b 1 u x 1 x 2 x 3 x 4 x Рис. 7 рассмотрим распад, изображенный на Рис. 7. Ударная волна обращена влево D u 1 , поэтому из (12.24) следует D u 3 . На задней стороне центрирован- ной l – волны 3 3 3 3 u a u . Значит, луч контактного разрыва x u t 3 находится между ударной волной и l – волной. Случай b b 1 2 возможен, когда 1 0 или 2 0 , т.е. вместо одного из газов находится вакуум. Происходит истечение в вакуум с помощью цен- трированной простой волны. Единственность инвариантного решения следует из того, что C 0 – тра- ектория вида x t может быть только одна. Точнее, две контактные инва- риантные характеристики C 0 : x t 1 , x t 2 , 1 2 возможны только в случае, если между ними находится вакуум. Действительно, масса газа меж- ду ними равна 106 x t dx t d t t 1 2 1 2 и не должна зависеть от t, что возможно только когда интеграл равен нулю, т.е. ( ) 0 в интервале 1 2 . Если есть C 0 – характеристика x u t 3 , то состояния по каждую ее сторону получаются из состояния 1 с помощью волн, обращенных влево, из состояния 2 с помощью волн, обра- щенных вправо. В инвариантном решении не может быть двух последова- тельных волн (ударных или простых), обращенных в одну сторону. Напри- мер, пусть две ударные волны, обращенные вправо, двигаются со скоростями D D D D 2 2 2 2 , , (Рис. 8). Тогда D u 2 2 , D u 2 2 , по теореме 4 t (Цемплена) из § 4 D 2 D u a D u a 2 2 2 2 2 2 , . Откуда D D 2 2 , что противоречит предпо- 2' D 2 ложению. Для двух центрированных 2 простых волн, идущих в одну сторону x последняя характеристика Рис. 8 одной волны и первая характеристика второй волны совпадают, так что есть только одна простая волна. Аналогич- но рассматриваются другие комбинации волн, идущих в одну сторону. Если есть только по одной волне, идущих в разные стороны, то со- стояние между ними определяется точкой пересечения (p, u) – диаграмм. В противном случае были бы нарушены условия контактного разрыва. Упражнение 6. Рассмотреть все случаи теоремы 4. Упражнение 7. Написать формулы для кривых на Рис. 5,6. Упражнение 8. Два покоящихся газа разделены заслонкой. При t =0 заслонку мгновенно убирают. Описать движение газов и рассчитать их пара- метры при t > 0. 107 Упражнение 9. В трубе газ перекрыт поршнем. В момент t =0 поршень начинает двигаться с постоянной скоростью. Рассчитать параметры газа при t >0. Упражнение 10. В трубе закрытой жесткой стенкой и заполненной по- коящимся газом двигается ударная волна с постоянной скоростью. Найти па- раметры отраженной ударной волны. Упражнение 11. Рассчитать взаимодействие ударной волны и контакт- ного разрыва в покоящемся газе. Упражнение 12. Рассчитать взаимодействие двух ударных волн в по- коящемся газе. Упражнение 13. Рассчитать взаимодействие ударной волны и простой волны в акустическом приближении, когда (p, u) – диаграммы заменяются прямыми – касательными в центре диаграммы. |