§9. Частично инвариантные подмодели.
Для некоторых подалгебр из оптимальной системы нельзя построить инвариантных решений. Это случается, когда из инвариантов подалгебры невозможно определить все газодинамические функции. Число
лишних функций, неопределяемых из выражений для инвариантов, называется де-
фектом инвариантности. Инварианты, из которых определяются некоторые газодинамические функции, назначаются функциями от лишних функций и инвариантов, выражающихся через независимые переменные. Число r неза- висимых переменных этих функций называется рангом.
В качестве примера рассматривается подалгебра 5.34 из приложения, состоящая из всех переносов и растяжения. Ее инварианты: u, v, w,
, p. Ин- вариантное решение ранга ноль есть постоянное решение:
u u
p p
0 0
0
,
,
Частично инвариантное решения подалгебры 5.34 ранга n дефекта n называется n - волной: простая волна при n=1, двойная волна при n=2,
тройная волна при n=3.
Рассматривается простая волна, для которой представление решения удобно искать в параметрическом виде
u u
p p
S
S
( ),
( ),
( ),
( ),
где
(t, )
x
– новая иско- мая функция. Поверхности уровня простой волны есть гиперповерхности
(t, )
x const
, на них газодинамические функции постоянны. Из уравнений газовой динамики (3.5), (3.6), (3.8) следует переопределенная система урав- нений
D
u
u D
p
S D
0 0
0
,
,
(9.1)
77
Условия совместности системы (приведение в инволюцию) порождают новые уравнения. Часть из них образует систему обыкновенных дифферен- циальных уравнений для
u p
, , ,
остальные уравнения есть пассивная систе- ма уравнений для
Последнее уравнение системы (9.1) приводит к альтернативе: либо
D
0, либо
S
0
В первом вырожденном случае p const
. Изобарические течения бу- дут рассмотрены позже.
Теорема 1. Невырожденная простая волна есть изоэнтропическое без- вихревое движение. Поверхности уровня являются гиперплоскостями и зву- ковыми характеристиками.
Доказательство. Во втором случае альтернативы
S
const,
p
0, r ot u u
ku
0,
, где
k t x
,
0 – фиксированная функция.
Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на
в силу первого урав- нения дает
(D )
2 2
0
p или
(D )
2 2
2 0
a
В силу (5.2) уравнение
const задает звуковую характеристику.
Скалярное умножение второго уравнения (9.1) на
u в силу первого уравнения дает
2 2
u p
(9.2)
Так как D
u ku u t
t
, то из первого уравнения (9.1) получаем в силу (9.2)
t k u u
p ku
1
,
(9.3)
Отсюда следует, что нормаль к поверхности
const имеет одно и тоже направление для всех ее точек, т.е. эта поверхность является гиперплоско-
78 стью.
Из доказательства теоремы 1 следует, что система обыкновенных диф- ференциальных уравнений для
u p S
, , ,
есть
S
0, (9.2) и уравнение со- стояния p
f
S
( , ).
Имеется произвол в решении в 3 функции одного пере- менного. Система (9.3) есть пассивная система для
. Для поверхности уров- ня
=const имеем уравнение с постоянными коэффициентами
0 1
d
dx
dt
k u
dx
u u
p dt
t
Интегрирование приводит к неявному заданию функции
1
( )
x u
t u u
p
F
, если определены
u p
F
( ), ( ), ( ), ( )
Рассматривается другой пример частично инвариантного решения для всей допускаемой алгебры
L
11
. Имеется только два инварианта
, p. Изоба- рические течения p=const есть частично инвариантные решения ранга ноль дефекта 4. Уравнения газовой динамики становятся переопределенной сис- темой для лишних функций
D
Du divu
0 0
0
,
,
(9.4)
Для описания таких движений удобно ввести лагранжевы переменные (1.2) dx dt u x t x
t
( , ),
0
(9.5)
Тогда определяются все искомые функции
,
,
,
u u
x t u
(9.6) а последнее уравнение системы (9.4) в силу равенств (3.2), (9.6) принимает вид
1 1
2 1
3
det det det
,
I
t
u
t tr
u
t tr
u
u
t
u
79 где I – единичная матрица. Отсюда следуют три уравнения для начальных скоростей, которые в декартовой системе координат таковы
u
v
w
u
u
v
v
u
u
w
w
v
v
w
w
u
u
u
v
v
v
w
w
w
0 0
0
,
,
(9.7)
Для системы (9.7) найдено общее решение (Л.В. Овсянников. Изобарические движения газа. Дифференциальные уравнения. 1994. Т.30, № 10. С.1792-
1799). Пусть r r ank u
.
Теорема 2. Любое решение системы (9.7) принадлежит одному из трех классов: r
0
– постоянное решение, r
1
– простая волна, r
2
– двойная волна.
Поверхности уровня простой волны есть цилиндрические поверхности в R
3
( )
. Линии уровня двойной волны есть плоские кривые второго порядка.
Решения типа простой волны зависят от двух произвольных функций одного переменного и одной произвольной функции двух переменных. Ре- шения типа двойных волн зависят от трех произвольных функций двух пе- ременных.
Доказательство. Если r
0,
то
u const
. Если r
1
, то
u u
( ) – простая волна. Подстановка в (9.7) дает
u ( )
,
0
(9.8)
80 т.е. поверхность
const есть цилиндр с образующей параллельной векто- ру
u ( )
. Общее решение (9.8) можно представить в виде:
u, v v(u), w w(u);
w v
(u,
), где v, w,
– произвольные функции своих аргументов.
Если r
2
, то
u u
,
– двойная волна. Подстановка в (9.7) дает
u u
0,
(9.9)
u u
0
(9.10)
Двойную волну можно задать равенством f (u, v, w) =0, f (u (
) , v (
), w (
))=0. Отсюда следуют равенства
u u
u f u f u f
m u u
0 0
,
,
с некоторым множителем m
. Для линий уровня
const
,
const имеем
d d
d n
0 0
,
,
, с некоторым множителем n
. В силу (9.10) имеем
u f d
0, и после интегрирования вдоль линии тока получаем
u f
g u
( ),
(9.11) т.е. линии уровня есть плоские кривые в R
3
( ).
Дифференцирование (9.11) по
дает
u
f
A u
A u
(
)
(
)
,
0 где
2 2
,
u
u
u
A
f
g
f
– матрица из вторых производных.
Скалярное умножение на
u u
,
с учетом (9.9) дает
B
B
0,
B
A u
u
A u u
A
u
u
(
)
(
)
(
).
Отсюда
B
l
с некоторым множителем l
0 и d
B
0. Так как
81
d
B
d
A
u
u
A d
u
u
u
u
d
A
(
)
(
)
u u
A d
, то
A d
0
. Интегрирование вдоль линии уровня да- ет равенство
u u
f g
h(u
2 2
),
(9.12) которое показывает, что линии уровня есть плоские кривые второго порядка.
Пусть f
v)
w,
u,
v,
(u,
тогда (9.11), (9.12) задают общее решение уравнений (9.7)
u v
uu uv vv u
v g
v),
g g
h(u, v),
(u,
2 2
2 2
2
(9.13) зависящее от трех произвольных функций.
Упражнение 1. Записать уравнения (9.7) в полярных координатах, свя- занных с цилиндрическими формулами
V
Q
W
Q
cos ,
sin ,
;
,
,
r
R
x t t t t t t
0 0
0
Упражнение 2. Вывести представление решения (9.7) для r
0 1 2
, ,
в полярной системе координат: r
U
u
V
v w
W
v w
0 0
0 0
0 0
:
,
cos sin ,
sin cos ;
r
Q
Q
R
U R
1 2
2 2
1 2
:
sin(
)
,
cos(
) ,
/
где t g
Q
Q
(Q
) ,
(U), (U),
1
– произвольные функции;
r
U
Q
R
RQ
g Q
Q
2 1
:
,
,
cos(
)
sin(
)
( , );
R
R Q
R Q
R Q
R Q
R
RQ
h(Q
QQ
Q
Q
Q
2 2
2 2
2 2
1 2
1 2
2 2
1 2
2 2
2
cos (
)
sin (
)
sin (
)
sin (
)
sin (
)
cos(
)g sin(
)g
, ).
82
§10. Дифференциально инвариантные подмодели. Для подгрупп большей размерности точечных инвариантов становится мало, для того чтобы существовало представление конструктивно вычисляе- мого группового решения. Число инвариантов можно увеличить с помощью продолжения операторов подалгебры на производные по формулам (7.6).
Такие инварианты называются
дифференциальными. Для любой алгебры операторов существует
базис дифференциальных инвариантов, из которого все остальные получаются с помощью операторов инвариантного дифферен- цирования и функциональными операциями [6, стр. 319].
Уравнения газовой динамики записываются через дифференциальные инварианты базиса, тем самым определяются независимые инварианты бази- са.
Дифференциально инвариантной подмоделью ранга
rr
1
называ- ется представление уравнений газовой динамики как многообразие размер- ности
rr
1
в пространстве независимых дифференциальных инвариантов, проекция которого в пространство инвариантов нулевого порядка имеет раз- мерность
r .
Величина
r ограничена сверху числом независимых
переменных и ог- раничена снизу числом инвариантов, зависящих только от независимых пе- ременных. Величина
r1
ограничена сверху числом независимых дифферен- циальных инвариантов базиса.
Для каждой подалгебры из оптимальной системы можно рассмотреть более общее определение дифференциально – инвариантных решений: до- полнительные соотношения на дифференциальные инварианты. Эти соот- ношения называют инвариантными дифференциальными связями.
Рассматривается известный пример такого представления.
Нетрудно проверить, что векторное уравнение
83 r ot u
0
(или
0
)
(10.1) инвариантно относительно всей алгебры
L
11
, продолженной на производ- ные. Оно может быть записано через дифференциальные инварианты. Дви- жения газа, удовлетворяющие (10.1), называются
безвихревыми. Из анализа известно, что (10.1) равносильно существованию
потенциала
( , ):
x t
u
,
(10.2) поэтому безвихревое движение называют также
потенциальным.
Лемма. При непрерывном безвихревом движении нормального газа выполняется соотношение
S
0.
(10.3)
Доказательство. Из уравнения (3.14) для вихря
D
u divu p
(
)
2
в силу равенства
p a
f
S
S
2
при
0
получается (10.3).
Если движение газа баротропно
( )
pp
, непрерывно и в начальный момент безвихревое, то оно будет безвихревым во все моменты времени.
Для безвихревого изэнтропического движения уравнение импульсов интегрируется. Действительно, S
const
из (2.2) следует dp di
или
p i
. Уравнение (3.13) принимает вид
t u
i
1 2
0 2
. Отсюда получается
интеграл Коши - Лагранжа
t i
b
1 2
2
( )
(t).
(10.4)
Без ограничения общности b(t) можно считать равным нулю. Вместе с урав- нением неразрывности получается замкнутая подмодель
D
t
,
(10.5) где
div
– оператор Лапласа.
84
Из (10.4), (10.5) исключается
; получается квазилинейное дифферен- циальное уравнение второго порядка:
D
a t
1 2
0 2
2
( )
,
где
должно быть найдено из (10.4),
D
t
В декартовой системе координат имеем
tt
x
x t
y
yt
z
zt
x
x x
y
yy
z
zz
x
y
x y
x
z
x z
y
z
yz
a
a
a
2 2
2 2
2 2
0 2
2 2
2 2
2
(
)
(
)
(
)
(10.6)
Уравнение (10.6) имеет только две звуковые характеристики. Следова- тельно, в потенциальном движении слабый разрыв распространяется только по звуковым характеристикам, а на поверхностях из линий тока всякий сла- бый разрыв есть контактный разрыв.
Для установившегося потенциального течения интеграл Коши-
Лагранжа (10.4) совпадает с интегралом Бернулли (8.8)
2 2
2
I
q m
(a )
,
(10.7) где q
m не зависит от линий тока. Из (10.6) получим
(u
)
(v
)
(w
)
2 2
2 2
2 2
2 2
2 0
a a
a uv uw vw xx yy zz xy xz yz
(10.8)
Характеристическая квадратичная форма для единичного нормального вектора имеет вид:
2 2
a
. Так как
u
, то в области течения с дозвуковыми скоростями уравнение (10.8) имеет эллиптический тип. Ес- ли
u a
, то квадратичная форма разлагается на два действительных мно- жителя, т.е. (10.8) имеет гиперболический тип. В области течения с транс- звуковыми скоростями
M
u a
1
уравнение (10.8) имеет смешанный эл- липтико - гиперболический тип.
85
Уравнения газовой динамики вместе с (10.1) допускают
L
11
. Значит, уравнение (10.6) допускает аналог
L
11
, записанный для производных от функции
(это алгебра контактных преобразований). Уравнения (10.8) до- пускают аналог нормализатора алгебры X
10
из оптимальной системы, т.е. подалгебру 8.1, записанную в переменных x, y, z.
На группе вращений рассматривается особое инвариантное решение с представлением вида
u x
r r
x
(r ),
Подстановка в (10.8) и (10.7) дает
d a
dr r
d
2 2
,
2 2
2
I
q m
(a )
(10.9)
Подстановка в первое равенство дифференциала второго равенства
d
a
d
2 2
1 2
0
и интегрирование дает
r
Q
const
2 0
,
(10.10) где 4
Q есть расход газа через сферу радиуса r.
Итак, имеется два интеграла (10.9), (10.10) для описания движения.
Для конечных значений
и
из (10.10) следует, что r
r
. Минимум
1/2
r
Q
a
вычисляется y функции
1 4
2 2
2 2
1 0
2
,
m
r
Q
q
a
d
достигается для критической скорости при
a
a
u
и равен
1/2
r
Q
a
При r
либо
0, либо
0 при этом
q m
(Рис. 1).
Таким образом, при
> 0, Q > 0 (
< 0, Q < 0) получаются два возможных неточечных звуковых источника (стока).
В случае
0
a течение вне источника (стока) дозвуковое, в случае a
q m
течение сверхзвуковое.
86 r r
Рис. 1 0 a
q m
Ускорение частицы в рассматриваемом радиальном течении вычисля- ется по формуле
a
u
u
x r
x r
a
a
1 2
2 2 2
2 1
2
(
)
. При
r
r
получаем
a
a a
,
Таким образом, течение двулистно и происходит с дозвукового листа на сверхзвуковой лист через звуковую сферу
r
r
с бесконечным ускоре- нием. Поверхность, на которой ускорение бесконечно, называется предель-
ной поверхностью и физически реализоваться не может. До ее появления в течении образуется поверхность слабого или сильного разрыва, по которой примыкает другое решение уравнений газовой динамики или какой-то дру- гой модели.
Другой пример дифференциально - инвариантного решения есть дви- жение газа с не изменяющимся объемом
J
t
0
или di vu
0 (см. (3.2)). Это уравнение инвариантно относительно всей алгебры
L
11
Из уравнений газовой динамики и закона (2.2) следует
0,
0.
Di
Du
i
Эта переопределенная подмодель изохорических движений не приведена в инволюцию.
Упражнение 1. Продолжить операторы алгебры
L
11
на производные.
87
Упражнение 2. Проверить инвариантность относительно
L11
равенств
rot u
0,
di v u
0
Упражнение 3. Построить решение уравнений газовой динамики с div u
0
Упражнение 4. Построить все инвариантные подмодели ранга 2 для уравнения (10.6).
Упражнение 5. Вычислить характеристическую квадратичную форму для уравнения (10.8).
Скачать 4.39 Mb.